课件PPT平面直角坐标系中的距离公式.ppt

1、解析几何初步解析几何初步 第二章第二章 1 直线与直线的方程直线与直线的方程 第二章第二章 1.5 平面直角坐标系中的距离公式平面直角坐标系中的距离公式 精品PPT 课堂典例讲练课堂典例讲练 2 易错疑难辨析易错疑难辨析 3 课时作业课时作业 4 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 如图所示，在铁路的附近，有一大型仓 库现要修建一条公路将铁路和仓库连接起 来那么怎样设计能使公路最短？最短路程 是多少？ 1.两点间的距离公式 若两点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2， y2)，则有|AB|_. 2点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离d _.

2、 3两条平行线间的距离公式 两条平行线l1：AxByC10与l2：AxBy C20之间的距离为d_. x2x12y2y12 |Ax0By0C| A2B2 |C1C2| A2B2 温馨提示 上述公式应用的前提条件有两个：两直线 的方程必须是一般式；两直线的方程中 x，y 的系数必须要对 应相等，不相等的一定要化为相等 1.点(1，1)到点(3,2)的距离是( ) A. 13 B 17 C. 5 D5 答案 D 解析 由两点间距离公式可得 d x2x12y2y12 42325. 2原点到直线 3x4y260 的距离是( ) A.26 7 7 B26 5 C.24 5 D27 5 答案 B 解析 d

3、|304026| 3242 26 5 . 3已知点(a,2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于( ) A. 2 B2 2 C. 21 D 21 答案 C 解析 |a23| 2 1， 解得 a 21， a 21(舍去) 4已知三角形的三个顶点A(2,1)，B(2,3)， C(0，1)，则BC边上中线的长为 _ 答案 3 解 析 BC中 点 坐 标 为 ( 1,1) ， 中 线 长 为 2121123. 5已知点A(3,4)，B(6，m)到直线3x4y7 0的距离相等，则m_. 答案 7 4或 29 4 解析 由题意得|9167| 5 |184m7| 5 ， 解得 m7 4或

4、 m 29 4 . 课堂典例讲练课堂典例讲练 两点间的距离 已知点 A(1,2)，B(2， 7)，在 x 轴上求一点 P， 使|PA|PB|，并求|PA|的值 思路分析 由两点间的距离公式，建立等式求解 规范解答 点 P 在 x 轴上，故可设 P(x,0)，由两点间的 距离公式得 |PA| x12022 x22x5， |PB| x220 72 x24x11 |PA|PB|， x22x5 x24x11， 解得 x1，即所求点 P 的坐标为(1,0) 且|PA| 1252 2. 规律总结 1.解决本题熟练地应用两点间的距离是关键 2由|PA|PB|知 P 点在线段 AB 的中垂线上 已知两点 A(

5、a， ab)和 B(b， ab)，则|AB|等于( ) Aab B|ab| Cab D|ab| 答案 D 解析 利用两点间的距离公式直接代入便可得： |AB| ab2 ab ab2 a22abb2|ab|. 点到直线的距离 求点 P(3，2)到下列直线的距离： (1)y3 4x 1 4；(2)y6；(3)y 轴 思路分析 先将直线方程化成一般式，再利用点到直线 的距离公式求解，特殊直线也可以数形结合求距离 规范解答 (1)把方程 y3 4x 1 4写成 3x4y10，由点 到直线的距离公式得 d|33421| 3242 18 5 . (2)因为直线 y6 平行于 x 轴，所以 d|6(2)|8

6、. (3)d|3|3. 规律总结 1.点到直线的距离公式有明显的 形式特征，使用时注意以下几点： (1)所给直线方程必须是一般式，若不是一般 式，应先转化为一般式； (2)公式中的分母是二次根式，被开方式是直 线方程中变量x，y的系数的平方和； (3)点P(x0，y0)可以是平面内的任意一点，无 需判断P(x0，y0)与直线的位置关系； (4)当直线方程AxByC0中A0或B0 时，公式仍然成立 2求点到一些特殊直线的距离时，可用以下 方法求解： (1)点P(x0，y0)到直线xa的距离为d|x0 a|； (2)点P(x0，y0)到直线yb的距离为d|y0 b|. 若点(2,2)到直线3x4y

7、m0的距离为4， 求m的值 解析 由点(2,2)到直线 3x4ym0 的距离为 4， 得 d|3242m| 3242 |2m| 5 4， |2m|20. m18 或22. 故 m 的值为 18 或22. 两条平行直线间的距离公式及应 用 (1)求两平行线l1：3x4y10和l2： 3x4y15的距离； (2)求与直线l1：x2y10和l2：x2y 130距离相等的直线的方程 思路分析 (1)将两直线方程化为一般式， 再套用公式计算；(2)由于l1l2，所以与l1，l2 等距离的直线一定与l1，l2都平行，且位于l1，l2 之间，可用平行直线系设法求解 规范解答 (1)直线 l1， l2的方程可

8、化为 3x4y100,3x 4y150， 则两平行线间的距离 d|1015| 3242 5 51. (2)依题意设所求直线方程为 x2yC0，则有 |1C| 1222 |13C| 1222，即|1C|13C|， 解得 C6，故所求直线方程为 x2y60. 规律总结 1.在应用两平行线间的距离公式 d |C1C2| A2B2 时要注意：(1)两直线的方程必须是一般式；(2)两直线的方程中 x，y 的系数必须要对应相等，不相等的一定要化为相等 2一般地，与已知直线 l 距离为 d(d0)的直线有两条，且 都与 l 是平行的求其方程时，可利用平行直线系方程的设法， 设出其方程，再利用两平行直线距离公

9、式求解；与两平行直线 l1，l2距离相等的直线只有一条，且与 l1，l2均平行，求其方程 时，也是利用平行直线系方程的设法设出方程，然后求解 已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的 距离是，求l1的方程 解析 解法 1：因为 l1l2，所以可设 l1的方程为 xy C0.在直线 l2上取点(1,0)，则点(1,0)到直线 l1的距离等于 2， 所以 |1C| 11 2，即|C1|2， 所以 C1 或 C3. 所以 l1的方程为 xy10 或 xy30. 解法 2：因为 l1l2，所以可设 l1的方程为 xyC0. 所以 l1与 l2的距离为|C1| 11 2， 即|C1|2，所以 C

10、1 或 C3. 因此 l1的方程为 xy10 或 xy30. 用坐标法证明平面几何问题 ABD和BCE是在直线AC同侧 的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE| |CD|. 思路分析 首先要建立适当的坐标系，用 坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把 代数运算“翻译”成几何关系 规范解答 如图， 以 B 点为坐标原点， 取 AC 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系 设ABD 和BCE 的边长分别为 a，c， 则 A(a,0)，E c 2， 3 2 c ，C(c,0)，D a 2， 3 2 a ， 于是|AE| c 2a 2 3 2 c0 2 a2acc 2 4 3 4c 2 a2acc2，

11、|CD| a 2 c 2 3 2 a0 2 a2 4 acc23 4a 2 a2acc2. 所以|AE|CD|. 规律总结 坐标法可以将几何问题代数化，把复杂的思 维转化为简单的运算，使问题的解决简单化 合适的坐标系可以使运算更简单，建立时应使点线尽可能 多的在坐标轴上 已知AO是ABC中BC边的中线，证明： |AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2) 解析 取 BC 边所在直线为 x 轴，边 BC 的中点为原点， 建立直角坐标系， 如图， 设 B(a,0)， O(0,0)， C(a,0)， 其中 a0， A(m，n)，则|AB|2|AC|2(ma)2n2(ma)2n2 2(m2a2n2)

12、， |AO|2|OC|2m2n2a2. |AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2) 易错疑难辨析易错疑难辨析 已知两条平行直线l1：3x4y5 0，l2：6x8y150，求与l1和l2距离相等的 平行直线l的方程 错解 错解一：设 P(x，y)为 l 上任意一点， 两条平行直线 l1与 l2间的距离 d|515| 3242 4， l 与 l1的距离为 2，设 l 的方程为 3x4yc0， |c5| 32422，解得 c15 或 c5. 直线 l 的方程为 3x4y150 或 3x4y50. 错解二：ll1， 可设 l 的方程为 3x4yc0， 又 l 与 l1和 l2的距离相等， |5c|

13、 3242 |15c| 3242 ， 解得 c5. 直线 l 的方程为 3x4y50. 辨析 两个错解的主要错因是利用两条平行 直线间的距离公式时，没有注意两条直线的 方程中x，y的系数不对应相等，不符合两条 平行直线间距离公式的使用条件，而直接套 用公式致错；另一错解还忽略了到两条平行 直线距离相等的直线有且只有一条，这也是 需要我们注意的 正解 将 l2的方程化为 3x4y15 2 0， ll1，ll2，可设 l 的方程为 3x4yc0. l 与 l1和 l2的距离相等， |5c| 3242 |15 2 c| 3242 ， 解得 c5 4.l 的方程为 12x16y50. 规律总结 直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20 之间的距离 d |C1C2| A2B2，在应用公式时，要特别注意 l1，l2 中 x，y 的系数要相等