系统可靠性分析课件.ppt

1、可靠性分析可靠性分析(0)1;()0RR()()F tP Tt(0)0;()1FF (2)失效概率密度失效概率密度是产品在包含是产品在包含t的单的单位时间内发生失效的概率，是累积失效位时间内发生失效的概率，是累积失效概率对时间概率对时间t的导数，记作的导数，记作f(t)。可用下式。可用下式表示：表示：0()()()()()tdF tf tF tF tf x dxdt；或tn(t)F(t)=N到 时刻失效的产品数累积失效概率为：试验产品总数(|)P tTtt Tt(|)P tTtt Tt 失效率定义：t时刻完好的产品，在(t,t+t)时间内失效的概率()()()F ttR t失效率:00000(

2、|)()lim(,)lim()()limlim()()()()()lim()()tttttP tTtt TtttttP tTttTtP tTttP TttP TttF ttF tF tR ttR t ()()()dF tf tF tdt()()()()()()1()()()F tF tf tR ttR tF tR tR t 失效率:0()exp()ttt dt重要关系式:R0()0()/()()()()()ln()()ttt dttR tdR tt dtR tt dtR tR te 由(t)=-R可得：将两边积分得：即：()1()R tF t()()()dF tf tF tdt0()()tt

3、dttR tee0()tf t dt000000()()()()|()()tf t dttdF ttdR ttR tR t dtR t dt 11niiMTTFtn111jnnijijMTTFtN11NiitN所有产品总的工作时间总的故障数222200()()f t dtt f t dt(t-)1221 111()niinitntn21 11()nitn1()()t rRr1(0.5)(0.5)tR111()()t eRe习题习题1：一组元件的故障密度函数为：一组元件的故障密度函数为：0.25()0.25()8f tt式中：式中：t为年。为年。求：累积失效概率求：累积失效概率F(t)，可靠度函

4、数，可靠度函数R(t)，失效率，失效率(t)，平均寿命，平均寿命MTTF，中位寿命中位寿命T(0.5)和特征寿命和特征寿命T(e-1)。习题习题2：已知某产品的失效率为常数，已知某产品的失效率为常数，(t)=(t)=0.25=0.251010-4-4/h/h。求：可靠度求：可靠度R=99%的可靠寿命，平均的可靠寿命，平均寿命寿命MTTF，中位寿命，中位寿命T(0.5)和特征寿和特征寿命命T(e-1)。习题习题3：50个在恒定载荷运行的零件，个在恒定载荷运行的零件，运行记录如下表：运行记录如下表：求：求：(1)零件在零件在100h和和400h的可靠度；的可靠度；(2)100h和和400h的累积失

5、效概率；的累积失效概率；(3)求求10h和和25h时的失效时的失效概率密度；概率密度；(4)求求t=25h和和t=100h的失效率。的失效率。时间时间h1025501001502504003000失效数失效数n(t)42375343累积失效数累积失效数n(t)4691621242831仍旧工作数仍旧工作数N-n(t)4644413429262219习题习题1 1：一组元件的故障密度函数为：一组元件的故障密度函数为：0.25()0.25()8f tt式中：式中：t为年。求：累积失效概率为年。求：累积失效概率F(t)，可靠度函数，可靠度函数R(t)，失效率，失效率(t)，平均寿命，平均寿命，中位寿

6、命，中位寿命T(0.5)和特征寿命和特征寿命T(e-1)。答案解：解：20222000.25()()0.25()160.25()1()1 0.2516()2 0.25()()8 20.1250.25()(1 0.25)16tF tf x dxttR tF tttf tttR tttR t dttt dt 8200.25(1 0.25)2.66716tt dt年上式中不知道上式中不知道是多少，但有是多少，但有R()=0R()=0，即：，即：20.251 0.25016tt解得解得t t1 1=t=t2 2=8=8年，表明年，表明8 8年后元件将全年后元件将全部失效部失效20.5Rr为中位寿命，即

7、：0.250.5=1-0.25r+16解得解得r r1 1=2.243=2.243年年(r(r2 2=13.66=13.66年年88年舍去年舍去)。20.368Rr为特征寿命，即：0.250.368=1-0.25r+16解得解得r r1 1=3.147=3.147年年(r(r2 2=12.85=12.85年年88舍去舍去)。习题习题2 2：已知某产品的失效率为常数，已知某产品的失效率为常数，(t)=0.25(t)=0.251010-4-4/h/h。求：可靠度求：可靠度R=99%的可靠寿命，平均寿命的可靠寿命，平均寿命，中，中位寿命位寿命T(0.5)和特征寿命和特征寿命T(e-1)。解：解：0(

8、)()1ln()tt dttR teetR t 4414001(0.99)ln(0.99)4020.25 101(0.5)ln(0.5)27725.60.25 101()ln(0.368)400000.25 101()40000tththt ehR t dtedth 可靠性寿命中位寿命特征寿命平均寿命：习题习题3 3：5050个在恒定载荷运行的零件，运行记录如下表：个在恒定载荷运行的零件，运行记录如下表：求：求：(1)零件在零件在100h和和400h的可靠度；的可靠度；(2)100h和和400h的累积失效概率；的累积失效概率；(3)求求10h和和25h时的失效概率密度；时的失效概率密度；(4)

9、求求t=25h和和t=100h的失效率。的失效率。时间h1025501001502504003000失效数n(t)42375343累积失效数n(t)4691621242831仍旧工作数N-n(t)4644413429262219解：解：(100)34(100)0.6850(400)22(400)0.4450(100)(100)16/500.32(400)(400)28/500.56Nn tRNNn tRNnFNnFN3333(10)2(10)2.67 10/50(25 10)(25)3(25)2.4 10/50(50 25)(25)3(25)2.7 10/(25)44(50 25)(100)5

10、(100)2.9 10/(100)34(150 100)nfhN tnfhN tnhNntnhNnt要点：要点：f(t)f(t)、(t)(t)是研究是研究t t时间后单位时间的失效产品数，时间后单位时间的失效产品数，f(t)f(t)是除是除以试验产品总数，以试验产品总数，(t)(t)是除以是除以t t时仍正常工作的产品数。注意单位。时仍正常工作的产品数。注意单位。维修性定义：维修性定义：维修性是指在规定的条件下使用的维修性是指在规定的条件下使用的可维修产品，在规定的时间内，按规定的程序和可维修产品，在规定的时间内，按规定的程序和方法进行维修时，保持或恢复到能完成规定功能方法进行维修时，保持或恢

11、复到能完成规定功能的能力。的能力。-对应产品应可靠性对应产品应可靠性维修性特征量有三个：维修性特征量有三个：维修度维修度M(t)M(t)；修复率修复率(t)(t)；平均修复时间平均修复时间MTTRMTTR。把产品维修时间把产品维修时间Y Y所服从的分布称为维修分布，所服从的分布称为维修分布，记为记为G(t)G(t)。维修度是指在规定的条件下使用的产品。维修度是指在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的时间发生故障后，在规定的时间(0(0，t)t)内完成修复的概内完成修复的概率，记为率，记为M(t)M(t)。()()()M tP YtG t维修度维修度(Maintainability)(Ma

12、intainability)定义定义 维修度是时间维修度是时间(维修时间维修时间t)的函数，故又称为维修度函数的函数，故又称为维修度函数M(t)，它表示当它表示当t=0时，处于失效或完全故障状态的全部产品时，处于失效或完全故障状态的全部产品在在t时刻前经修复后有百分之多少恢复到正常功能的累积概率。时刻前经修复后有百分之多少恢复到正常功能的累积概率。所以维修度所以维修度M(t)对应产品的累积失效概率对应产品的累积失效概率F(t)()()dM tm tdt 修复率指修理时间已达到某一时刻但尚未修复修复率指修理时间已达到某一时刻但尚未修复的产品在该时刻后的单位时间内完成修理的概率，的产品在该时刻后的

13、单位时间内完成修理的概率，可表示为可表示为(t)(t)。-对应于产品的失效率对应于产品的失效率(t)(t)。()1()()1()1()ttdM tm tM tdtM t时刻单位时间的维修度(M(t)尚未修复部分(1-M(t)修复率定义修复率定义 维修度维修度M(t)对应产品的累积失效概率对应产品的累积失效概率F(t)，m(t)为维修时为维修时间的概率密度函数。间的概率密度函数。-对应于产品的失效概率密度对应于产品的失效概率密度f(t)。()1,1()()1()tM tedM ttM tdt 如果服从指数分布 平均修复时间是指可修复的产品的平均修理时间，其估计平均修复时间是指可修复的产品的平均修

14、理时间，其估计值为修复时间总和与修复次数之比，记作值为修复时间总和与修复次数之比，记作MTTR(Mean Time To MTTR(Mean Time To Repair)Repair)。-对应于可修产品的平均工作时间对应于可修产品的平均工作时间(平均寿命平均寿命)MTBF)MTBF。0()MTTRtdM t平均修复时间平均修复时间(MTTR)定义定义1MTTR如果维修时间服从指数分布0()MTBFR t dt0(),1()tR teMTBFR t dt如果服从指数分布两个重要规律两个重要规律()1tM te 如果M(t)服从指数分布,项目项目可靠度可靠度维修度维修度累积分布函数累积分布函数可

15、靠度函数可靠度函数R(t)1-M()不可靠度函数：不可靠度函数：F(t)维修度函数：维修度函数：M()密度函数密度函数失效密度失效密度f(t)=dF(t)/R(t)维修概率密度维修概率密度m()=dM()/d(单位时间单位时间)率率失效率失效率(t)=f(t)/R(t)修复率修复率()=m()/1-M()可靠度与维修度之间的关系可靠度与维修度之间的关系R(t)及F(t)(%)100%R(t)F(t)M(t)M(t)100%可靠度或不可靠度可靠度或不可靠度维修度维修度平均修平均修复时间复时间例题：有效性定义：有效性定义：有效性也称可用性，表示可维修产品在规有效性也称可用性，表示可维修产品在规定的

16、条件下使用时具有维持规定功能的能力。规定条件包定的条件下使用时具有维持规定功能的能力。规定条件包括产品的工作条件和维修条件。有效性是一个反映可维修括产品的工作条件和维修条件。有效性是一个反映可维修产品使用效率的广义可靠性尺度。产品使用效率的广义可靠性尺度。2.2.3 有效度和可用度有效度和可用度 有效度定义：有效度定义：有效度有效度(也叫可用度也叫可用度)是指可维修的产品在是指可维修的产品在规定的条件下使用时，在某时刻具有或维持其功能的概率。规定的条件下使用时，在某时刻具有或维持其功能的概率。对于不可维修的产品，有效度等于可靠度。对于不可维修的产品，有效度等于可靠度。有效度是时间的函数，故又可

17、称为有效度函数，记为有效度是时间的函数，故又可称为有效度函数，记为A(t)。它又分为瞬时有效度、平均有效度、稳态有效度和。它又分为瞬时有效度、平均有效度、稳态有效度和固有有效度四形式。固有有效度四形式。1、瞬态有效度、瞬态有效度 瞬态有效度定义：瞬态有效度定义：瞬态有效度指在某一特定瞬时，可维瞬态有效度指在某一特定瞬时，可维修的产品保持正常工作的概率，又称瞬时利用率，记为修的产品保持正常工作的概率，又称瞬时利用率，记为A(t)。瞬时有效度常用于理论分析，而不便用于实践。瞬时有效度常用于理论分析，而不便用于实践。平均有效度定义：平均有效度定义：平均有效度是指可维修产品在一时间平均有效度是指可维修

18、产品在一时间区间的平均值。区间的平均值。又称任务有效度又称任务有效度。2、平均有效度、平均有效度00,()ttA t dt在时间的有效度为：1A(t)=t21121,()ttt tA t dtt2在时间的有效度为：1A(t)=t3、稳态有效度、稳态有效度 稳态有效度定义：稳态有效度定义：稳态有效度是时间稳态有效度是时间t趋近于趋近于的瞬时有的瞬时有效度。记为效度。记为A()或或A，又称为时间有效度或可工作时间比。，又称为时间有效度或可工作时间比。()UMTBFAAUDMTBFMTTR 可工作时间可工作时间不能工作时间U可维修产品平均能正常工作的时间，单位为可维修产品平均能正常工作的时间，单位为

19、h；D产品平均不能工作的产品平均不能工作的时间，时间，h；MTBF可修产品平均无故障工作时间；可修产品平均无故障工作时间；MTTR可修产品的平可修产品的平均修理时间，即平均修复时间。均修理时间，即平均修复时间。teA-t指数分布可靠度：R(t)=,维修度：M(t)=1-e，稳态有效度为：1MTTR01()MTBFR t dt4、固有有效度、固有有效度 固有有效度是事后维修，它分析的是实际不能工作的固有有效度是事后维修，它分析的是实际不能工作的时间。时间。MTBFAMTBFMADT可工作时间可工作时间实际不能工作时间MADT(mean active down time)平均实际不能工作的时间。平

20、均实际不能工作的时间。其与稳态有效度的区别：其与稳态有效度的区别：稳态有效度是时间稳态有效度是时间t趋近于趋近于的的瞬时有效度。瞬时有效度。()UMTBFAAUDMTBFMTTR 可工作时间可工作时间不能工作时间瞬时有效度、平均有效度瞬时有效度、平均有效度(即任务有即任务有效度效度)和稳态有效度之间的关系。和稳态有效度之间的关系。习题习题4：一设备从以往的经验知道，平均无故障时一设备从以往的经验知道，平均无故障时间为间为20天，如果出了故障需天，如果出了故障需2天方能修复，假定该天方能修复，假定该设备发生故障时间及修复时间服从指数分布。设备发生故障时间及修复时间服从指数分布。求：求：(1)该设

21、备该设备5天和天和15天的可靠度各为多少天的可靠度各为多少?；(2)该设备的稳态有效度为多少该设备的稳态有效度为多少?1MTTR如果维修时间服从指数分布，有0(),1()tR teMTBFR t dt如果服从指数分布提示：提示：习题习题4答案：答案：一设备从以往的经验知道，平均无故障时间一设备从以往的经验知道，平均无故障时间为为20天，如果出了故障需天，如果出了故障需2天方能修复，假定该设备发生天方能修复，假定该设备发生故障时间及修复时间服从指数分布。故障时间及修复时间服从指数分布。求：求：(1)该设备该设备5天和天和15天的可靠度各为多少天的可靠度各为多少?；(2)该设备该设备的稳态有效度为

22、多少的稳态有效度为多少?解：解：(1)该设备平均无故障时间时间为该设备平均无故障时间时间为20天，即天，即MTBF=20因因MTBF=1/，=1/20；同理平均修复时间为同理平均修复时间为2天，天，MTTR=1/，=1/2R(5)=exp(-t)=exp(-5/20)=0.779R(15)=exp(-t)=exp(-15/20)=0.472(2)A=/(+)=0.909或或A=MTBF/(MTBF+MTTR)=20/22=0.909 稳态有效度定义稳态有效度定义()UMTBFAAUDMTBFMTTR 可工作时间可工作时间不能工作时间2.4.1 随机事件随机事件 随机事件的定义：随机事件的定义：

23、凡是事先不能确定结果的现象称凡是事先不能确定结果的现象称随机现象，我们将一定条件下可能发生也有可能不发生随机现象，我们将一定条件下可能发生也有可能不发生的事件称为随机事件。随机事件的一个基本结果称为基的事件称为随机事件。随机事件的一个基本结果称为基本事件，随机事件的若干个结果也可组成一个事件，这本事件，随机事件的若干个结果也可组成一个事件，这种事件称为复合事件种事件称为复合事件(如从扑克牌中抽一张，抽出如从扑克牌中抽一张，抽出1、2、.、或、或13等都是基本事件，抽出偶数牌是复合事件等都是基本事件，抽出偶数牌是复合事件)。在一定的条件下，必然会发生的事件是必然事件，在一定的条件下，必然会发生的

24、事件是必然事件，记为记为；一定不可能发生的事件为不可能事件，记为；一定不可能发生的事件为不可能事件，记为 。2.4.2 随机事件的概率随机事件的概率 概率的统计定义：概率的统计定义：假定在相同条件下进行假定在相同条件下进行n次重复试验，次重复试验，事件事件A发生了发生了k次，当试验次数次，当试验次数n趋向无穷时，发生频率的极趋向无穷时，发生频率的极限定义为事件限定义为事件A发生的概率，记为发生的概率，记为P(A)。随机事件就其单独一次试验的结果是无法确定的，但只随机事件就其单独一次试验的结果是无法确定的，但只要同样的试验在同一条件下重复多次，各种结果出现的次数要同样的试验在同一条件下重复多次，

25、各种结果出现的次数占总次数的比例将会趋近于一个稳定的数值，占总次数的比例将会趋近于一个稳定的数值，这是平稳随机这是平稳随机过程及随机现象的一个重要特征。过程及随机现象的一个重要特征。()limnkP An2.4.3 事件间的关系与运算事件间的关系与运算 1、事件间的关系、事件间的关系 如果事件如果事件A包含事件包含事件B，且事件，且事件B包含事件包含事件A，则称事件，则称事件A与与B相等。记为相等。记为A=B。BAAB或(1)包含与相等关系：如果事件包含与相等关系：如果事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生，发生，则称事件则称事件B包含事件包含事件A，即：，即：(2)事件的和：事件的和：

26、“n个事件个事件A1，A2，An中至少有一个发生中至少有一个发生”这一事件，称为这一事件，称为Al，A2，An的和事件。记为：的和事件。记为：12nkAAAAnk=1，简记为：(3)事件的积：事件的积：“n个事件个事件A1，A2，An同时发生同时发生”，称为，称为Al，A2，An的的积事件。记为：积事件。记为：12nkAAAAnk=1，简记为：(4)事件的差：事件的差：“事件事件A发生，但事发生，但事件件B不发生不发生”，称为事件，称为事件A与与B的差。的差。记为：记为：A-B(5)对立事件或逆事件：对立事件或逆事件：“事件事件A不不发生发生”，称为事件，称为事件A的对立事件或逆的对立事件或逆

27、事件。记为：事件。记为：AAAAA(6)互斥事件或互不相容事件：互斥事件或互不相容事件：“如果事件如果事件A和事件和事件B不能同时发不能同时发生生”，称事件，称事件A与与B是互不相容事是互不相容事件件(互斥事件互斥事件)，有，有AB=。事件间的运算规律事件间的运算规律 1、概率的加法公式、概率的加法公式设设A与与B是任意两个事件，则是任意两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)特别地：特别地：(1)()1()AAP AP A若 是 的对立事件，则：(2)当当A与与B为互不相容事件：为互不相容事件：P(AB)=P()=0，P(A+B)=P(A)+P(B)推广到推广到n维，若维，若

28、A1、A2、A3、An为互不相容事件，有：为互不相容事件，有：121()()nnkkP AAAP A例题：例题：2、条件概率公式、条件概率公式设设A与与B是任意两个事件，如果是任意两个事件，如果P(B)0，P(A|B)(在事在事件件B发生的条件下，发生的条件下，A事件发生的概率事件发生的概率)为为()(|)()P ABP A BP B特别地：特别地：(|)()ABP A BP A如果，有 3、概率的乘法公式、概率的乘法公式设设A与与B是任意两个事件，如果是任意两个事件，如果P(B)0，由条件概率公，由条件概率公式：式：P(A|B)=P(AB)/P(B)，()()(|)P ABP B P A B

29、对于对于A，B，C三个事件：三个事件：()()()P ABP A P B()()(|)(|)P ABCP A P B A P C AB特别地：特别地：(1)如果如果A与与B相互独立相互独立(事件事件A的发生不受事件的发生不受事件B的影响，的影响，事件事件B的发生也不受事件的发生也不受事件A的影响的影响)，(2)当事件当事件A1,A2,An相互独立，概率的乘法公式可相互独立，概率的乘法公式可推广到推广到n维维1212(.)()().()nnP A AAP A P AP A概率概率乘法乘法公式公式例题：例题：4、全概率公式、全概率公式如果事件如果事件A1,A2,An满足：满足：(1)A1,A2,A

30、n两两互不相容，且两两互不相容，且P(Ai)0(i=1,2,n)(2)A1+A2+An=即即A的全事件的全事件对于任一事件对于任一事件B都有：都有：1()()(|)niiiP BP A P B A全概率公式的常用形式：全概率公式的常用形式：()()(|)()(|)P BP A P B AP A P B A重要重要公式公式 在实际应用中，如果能分析一个事件的发生是由几种原因引起的，或在实际应用中，如果能分析一个事件的发生是由几种原因引起的，或者说该事件的发生受到几种因素的影响，并且这几种原因或因素构成了一者说该事件的发生受到几种因素的影响，并且这几种原因或因素构成了一个完备事件组，那么可考虑使用

31、全概率公式。只要知道了各种原因个完备事件组，那么可考虑使用全概率公式。只要知道了各种原因Ai发生发生条件下事件条件下事件B发生的概率，该事件发生的概率，该事件B的概率就可通过全概率公式求得。的概率就可通过全概率公式求得。5、贝叶斯公式、贝叶斯公式(逆概率公式逆概率公式)设事件设事件 A1,A2,An为一完备事件，为一完备事件，B为任一事件，且为任一事件，且P(B)0，则：，则：1()(|)(|)()(|)jjjniiiP AP B AP ABP A P B A证明：证明：()(|)()P ABP A BP B由条件概率公式：()(|)()jjP A BP ABP B:()()(|)P ABP

32、B P A B乘法公式()()jP BAP B()()P ABP BA交换律：()(|)()jjP AP B AP B1()(|)()(|)jjniiiP AP B AP A P B A1()()(|)niiiP BP A P B A全概率公式：贝叶斯公式所解决的技术问题贝叶斯公式所解决的技术问题1()(|)(|)()(|)jjjniiiP AP B AP ABP A P B A 贝叶斯公式解决：贝叶斯公式解决：如果已知各种原因的概率如果已知各种原因的概率(A(Aj j)，设在，设在随机试验中该事件随机试验中该事件B B已发生，问在这个条件下，各种原因已发生，问在这个条件下，各种原因A Aj

33、j发生的概率是多少发生的概率是多少?如在可靠性工程中，已知某产品有如在可靠性工程中，已知某产品有n n种故障模式种故障模式A1A1，A2A2，AnAn，知道各故障模式发生的概率，知道各故障模式发生的概率P(AP(Aj j)，现在该，现在该产品发生了故障产品发生了故障(事件事件B)B)，那么是故障模式，那么是故障模式A Ai i引起的概率引起的概率是多少是多少?在这在这n n种故障模式中，最大可能的是哪种故障模式种故障模式中，最大可能的是哪种故障模式引起的引起的?例题：贝叶斯公式贝叶斯公式1()(|)(|)()(|)jjjniiiP AP B AP ABP A P B A概率运算公式汇总表概率运

34、算公式汇总表2.5 随机变量的概率分布及其数字特征随机变量的概率分布及其数字特征2.5.1 随机变量的概念随机变量的概念 在实际问题中，常用的随机变量有在实际问题中，常用的随机变量有离散型随机变量离散型随机变量和和连连续型随机变量续型随机变量两种类型：两种类型：(1)如果随机变量所可能取的值能够一一列出来，即它的如果随机变量所可能取的值能够一一列出来，即它的取值是有限个或无限个但可列出来，则称取值是有限个或无限个但可列出来，则称X为离散型随机变为离散型随机变量。如掷骰子，出现的点数量。如掷骰子，出现的点数X是能够一一列出来的是能够一一列出来的(X=1，X=2，X=6)，X是一个离散型随机变量。

35、是一个离散型随机变量。(2)如果随机变量如果随机变量X的所有可能取值充满某个区间的所有可能取值充满某个区间(a,b）。）。a可以是可以是-，b可以是可以是+，则称，则称X为连续型随机变量。如一为连续型随机变量。如一批零件的测量直径，规定其偏差不超过批零件的测量直径，规定其偏差不超过1mm，则偏差是一个，则偏差是一个连续型随机变量。连续型随机变量。2.5.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 1、分布律、分布律 对于离散型随机变量对于离散型随机变量X，其概率分布就是指它的概率，其概率分布就是指它的概率分布律，简称分布律。离散型随机变量分布律，简称分布律。离散型随机变量X的一个可能

36、取值，的一个可能取值，它取该值的概率为它取该值的概率为pi，则，则X的分布律可用下式表示：的分布律可用下式表示：()iiP Xxp 离散型随机变量离散型随机变量X的分布律满足以下两条性质：的分布律满足以下两条性质：(1)X的每个取值的概率的每个取值的概率A非负；非负；(2)X的所有可能取值对应的概率之和为的所有可能取值对应的概率之和为1，即，即pi=1。判断离判断离散型随散型随机变量机变量的条件的条件例题例题,1,2,3,;0!kCCkkk取什么值，实数列p成为分布律？解：必须满足两个条件解：必须满足两个条件:(1)pk 0；(2)1kkp 110111(1)(1)!(1)0(1)kkkKKk

37、kpCCC ekkCepCe得；且即其条件是0!kkek 2、累积分布函数或分布函数、累积分布函数或分布函数累积分布函数定义：累积分布函数定义：X取值不大于取值不大于x的概率为累积分布函数的概率为累积分布函数或分布函数，离散型随机变量或分布函数，离散型随机变量X的分布函数可表示为：的分布函数可表示为：()()()iixxF xP XxP xx离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数F(x)具有以下三条性质：具有以下三条性质：(1)F(x)是不连续的，是一个非减的跳跃函数；是不连续的，是一个非减的跳跃函数；(2)F(-)=0，F(+)=1;(3)0F(x)1。例如：例如：2.5.3 连续

38、型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 1、分布密度函数、分布密度函数 连续型随机变量的取值充满某个区间连续型随机变量的取值充满某个区间(a，b)，可，可以证明：连续型随机变量取任一确定值的概率为以证明：连续型随机变量取任一确定值的概率为0，即，即P(X=c)=0，c(a,b)。因此连续型随机变量的概率分布。因此连续型随机变量的概率分布就不能用分布律来描述。实际上，所以我们只有知道就不能用分布律来描述。实际上，所以我们只有知道X在任一区间上取值的概率，才能掌握其概率分布规在任一区间上取值的概率，才能掌握其概率分布规律，所以必须引入分布密度函数的概念。律，所以必须引入分布密度函数的概念。例

39、题：如何根据试验得出系统分布密度函数例题：如何根据试验得出系统分布密度函数移移0.5避免落在边界上避免落在边界上例题：如何根据试验得出系统分布密度函数例题：如何根据试验得出系统分布密度函数(续续)连续型分布密度函数的性质连续型分布密度函数的性质(判断密度函数的条件判断密度函数的条件)(1)()0(2)()1f xf x dxf xx，即概率密度曲线()与 轴所形成的面积为1 分布密度函数分布密度函数f(x)在任一点在任一点xo处的函数值处的函数值f(xo)不是概率而是分布不是概率而是分布密度。密度。随机变量随机变量X落在一个区间落在一个区间a,b上的概率等于分布密度函数上的概率等于分布密度函数

40、f(x)在在该区间上的定积分，即该区间上的定积分，即()()baP aXbf x dx 2、连续型随机变量分布函数、连续型随机变量分布函数()()()xF xP Xxf t dt 由右图不难得出：由右图不难得出：()()22xxP xXxf xx()()()()baP aXbf t dtF bF a如果如果x x较小较小2.5.4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征-均值与方差均值与方差 在可靠性工程中，常用的数字特征为数在可靠性工程中，常用的数字特征为数学期望学期望(平均值平均值)与方差。如平均寿命与方差。如平均寿命MTBF就就是产品寿命的平均值，寿命方差是产品寿命与是产品寿命的平均值，寿

41、命方差是产品寿命与平均寿命之间的离差。数学期望反映了随机变平均寿命之间的离差。数学期望反映了随机变量取值的平均值，而方差则反映了随机变量的量取值的平均值，而方差则反映了随机变量的各个取值与平均值的离散程度。各个取值与平均值的离散程度。2、数学期望、数学期望(均值均值)设设X是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为P(X=xi)=pi(i=1，2，)，如果和，如果和xipi存在，则称存在，则称xipi为为X的数学的数学期望，记为期望，记为E(X)。即。即:()()iiiiiiE Xx P Xxx p 设设X X是连续型随机变量，其分布密度为是连续型随机变量，其分布密度为f(x)，

42、(f(x)0)，如果：，如果：()()xf x dxxf x dxX存在，则称为 的数学期望离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 2、方差与标准差、方差与标准差 设设X是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为P(X=xi)=pi(i=1，2，)，则，则X的方差的方差D(X)为为:22()()()()iiiiiiD XxE XP XxxE Xp 设设X X是连续型随机变量，其分布密度为是连续型随机变量，其分布密度为f(x)，(f(x)0)，则，则X X的方差为：的方差为：2()()()D XxE Xf x dx离散型随机

43、变量的方差与标准差离散型随机变量的方差与标准差连续型随机变量的方差与标准差连续型随机变量的方差与标准差D(x)的平方为的平方为X的标准差或均方差。无论是离散型随机变的标准差或均方差。无论是离散型随机变量或连续型随机变量，计算方差有一个较为简便的公式。量或连续型随机变量，计算方差有一个较为简便的公式。22()()()D XE XE X例题例题2方差计算简易公式2.6 可靠性中常见的概率分布可靠性中常见的概率分布2.6.1 二项分布二项分布(离散型离散型)二项分布所解决的问题：二项分布所解决的问题：二项分布适用于一次试验中只能出现两种结果的场合，二项分布适用于一次试验中只能出现两种结果的场合，如成

44、功与失败，或命中与未命中，次品与合格品等，这两种如成功与失败，或命中与未命中，次品与合格品等，这两种结果的事件分别用结果的事件分别用A与与 表示，设它们发生的概率分别为表示，设它们发生的概率分别为P(A)=p，P()=1-p，现在独立地重复做，现在独立地重复做n次试验，那么在次试验，那么在n次试验中事件次试验中事件A恰好发生恰好发生k次的概率是多少次的概率是多少?可靠性中常见的概率分布有：二项分布，泊松分可靠性中常见的概率分布有：二项分布，泊松分布，指数分布，正态分布，截尾正态分布，对数正态布，指数分布，正态分布，截尾正态分布，对数正态分布和威布尔分布七种，其中二项分布和泊松分布是分布和威布尔

45、分布七种，其中二项分布和泊松分布是离散型概率分布，后面五种是连续型概率分布。离散型概率分布，后面五种是连续型概率分布。AA例如例如 如果用如果用X表示在表示在n次重复试验中事件次重复试验中事件A发生发生的次数，显然，的次数，显然，X是一个随机变量，是一个随机变量，X的可能取的可能取值为值为0,1,2,n，则随机变量，则随机变量X的分布律为：的分布律为：()()1()1kkn knnP kC p qpP AqP Ap 随机变量随机变量X的取值不大于的取值不大于k次的累积分布函数为：次的累积分布函数为：0()()krrn rnrF kP XkC p q二项分布的随机变量二项分布的随机变量X的均值和

46、方差为：的均值和方差为：020()()()()()nknkE XkP XknpD XkE XP Xknpq 二项分布是一种离散型分布，广泛应用于可靠性二项分布是一种离散型分布，广泛应用于可靠性和质量控制领域。和质量控制领域。常用于常用于“有放回有放回”地抽取，进行地抽取，进行重复试验重复试验(无放回地抽取不是重复试验，如果试验品无放回地抽取不是重复试验，如果试验品数目大无放回抽取可近似看成是有放回试验数目大无放回抽取可近似看成是有放回试验)，如检，如检验一批产品是否合格常用二项分布来计算。验一批产品是否合格常用二项分布来计算。例题例题2.6.2 泊松分布泊松分布(离散型离散型)()(0,1,2

47、,3,0)!npekknk在二项式分布中，如果lim常数，则二项式分布变为：P(X=k)=，(0,1,)!200.5kkn knpp qeknknpnpkn当 很大，很小时，有：C其中：，实践表明，当，时，近似程度比较好随机变量随机变量X的取值不大于的取值不大于k次的累积分布函数为：次的累积分布函数为：0()()!rkrF kP Xker泊松分布随机变量泊松分布随机变量X的均值和方差是：的均值和方差是：020()()()()()knkE XkP XkD XkE XP Xk在可靠性分析中，常用下式在可靠性分析中，常用下式()()0,1,2,0!kttP Xkekk，将泊松分布引入与时间的关系，且

48、单位时间产将泊松分布引入与时间的关系，且单位时间产品失效次数为常数。品失效次数为常数。例题例题05次的累次的累积分布函数积分布函数习题习题6 61knXbaaqqknn=0设离散型随机变量 的分布律为P(X=k)=pk=1,2,3,，则b,必须满足什么条件？提示：等比级数：(aq)习题习题7 711212311()(1),1,2,3,(01)()()11,|1,|1(1)(1)knnnnXP XkppkpE XD Xxnxxn xxxx设随机变量 的分布律为：求：均值和方差。习题习题6 61knXbaaqqknn=0设 离 散 型 随 机 变 量的 分 布 律 为 P(X=k)=pk=1,2,

49、3,，则 b,必 须 满 足 什 么 条 件？提 示：等 比 级 数：(aq)解：必须满足两个条件解：必须满足两个条件:(1)pk 0；(2)1kkp 01,2,3,0(1)11111kkkkpbkbbbbki=1i=1i=0因对所有的成立，故必须b0且。又1=pb且必须0 1故和0 Y，表明储备无效，系统也失效，此时系统的寿命就是工作单元表明储备无效，系统也失效，此时系统的寿命就是工作单元1的寿命的寿命X1；当工作的单元；当工作的单元1失效时，储备单元失效时，储备单元2未失效，即未失效，即X120%；B级是有时发生的，级是有时发生的，10%K 20%；C级是偶然发生的，级是偶然发生的，1K1

50、0%；D级是很少发级是很少发生的，生的，0.1%K1%；E级是极少发生的，级是极少发生的，K1，所，所以以系统在考虑了相关故障之后，系统在考虑了相关故障之后，系统的平均寿命通常会减少，系统的平均寿命通常会减少，可靠性也通常降低可靠性也通常降低。相同单元组成的并联系统相同单元组成的并联系统 考虑不同故障模式影响的可靠性分析考虑不同故障模式影响的可靠性分析 当考虑了两种故障模式当考虑了两种故障模式(如短路或断路如短路或断路)，若不，若不采取适当的防护措施，则某种故障模式可能会影采取适当的防护措施，则某种故障模式可能会影响工作单元。例如串联电路中，断路模式可能会响工作单元。例如串联电路中，断路模式可