东北大学李胜风讲义课件.ppt

1、第三章 扭转31 工程实际中的扭转问题工程实际中的扭转问题一、一、实例：汽车转向轴、机械传动轴、丝锥等实例：汽车转向轴、机械传动轴、丝锥等传动轴传动轴第三章 扭转变形特点变形特点：任意两截面绕轴线发生相对转动。两截面间相对的角位移两截面间相对的角位移-扭转角（扭转角（AB）二、扭转的外力特点二、扭转的外力特点：构件两端受到一对大小相等、转向相 反的力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直。ABOmmOBA第三章 扭转32 扭转时的内力扭转时的内力一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算9550(N m)PMn其中：P 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（r/min）第三章 扭转3 扭矩的符号规定：扭矩

2、的符号规定：2 2 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。mmmTmTmTMx00 x按右手螺旋法则确定与外法线方向一致为正与外法线方向相反为负 1 截面法求扭矩截面法求扭矩二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图第三章 扭转4 扭矩图扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT30KNm第三章 扭转例例已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA

3、 B C Dm2 m3 m1 m4解解：计算外力偶矩：计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 78.43001509.5555.9232nPmmm)(kN 3763002009.5555944.nP.m第三章 扭转112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）mkN78.4 0 ,02121mTmTMxmkN569784784(,0 322322.).mmTmmTmkN37.6 ,0 4343mTmTnA B C Dm2 m3 m1 m40 xM0 xMx第三章 扭转绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max.TBC段为危险截面。段为危险截

4、面。nA B C Dm2 m3 m1 m49.56xT4.786.37第三章 扭转小结：1.扭转时的外力及变形特点？2.已知功率及转速，外力偶矩的计算公式？3.如何计算横截面上的扭矩，扭矩的符号规定？4.如何做扭矩图？第三章 扭转33 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt（r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m m。第三章 扭转2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。3.结论结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未圆筒表面的各圆周线

5、的形状、大小和间距均未 改变，只是绕轴线作了相对转动。改变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。第三章 扭转 acddxbdy 无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4.与切应变与切应变 的关系：的关系：LRRL 微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示：mmOBA第三章 扭转二、薄壁圆筒切应力二、薄壁圆筒切应力 大小：大小：tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 2000

6、00A0：平均半径所作圆的面积。第三章 扭转三、切应力互等定理：三、切应力互等定理：0()()zMtdydxtdxdy故切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。其方向则共同指向或共同背离该交线。dx 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为这种应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。第三章 扭转 T=m)()2(0RLtAT四、剪切胡克定律：四

7、、剪切胡克定律：第三章 扭转G 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量.剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：)1(2EG 剪切胡克定律剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比当切应力不超过材料的剪切比例极限时（例极限时（p)，切应力与切应变成正比关系。，切应力与切应变成正比关系。第三章 扭转小结：小结：1.薄壁圆筒扭转时横截面上有怎样的应力？薄壁圆筒扭转时横截面上有怎样的应力？怎样分布？怎样分布？2.薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式？薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式？3.什么是纯剪切状态？什么是切应力互

8、等定理？什么是纯剪切状态？什么是切应力互等定理？4.什么是剪切胡克定律，什么条件下成立？什么是剪切胡克定律，什么条件下成立？第三章 扭转等直圆杆横截面等直圆杆横截面应力及分布规律应力及分布规律变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面34 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形第三章 扭转平截面假设：平截面假设：圆轴扭转时，圆轴扭转时，各截面像刚性平面一样绕轴线各截面像刚性平面一样绕轴线转动，即假设各截面仍保持为转动，即假设各截面仍保持为一平面，横截面上的半径亦保一平面，横截面上的半径亦保持为一直线。持为一直线。试验现象：试验现象：圆周线不变；圆周线不变；纵向线

9、变成斜直线。纵向线变成斜直线。一、等直圆杆扭转时横截面上的应力一、等直圆杆扭转时横截面上的应力1.变形几何关系：变形几何关系：第三章 扭转xxGGdddtg1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率。第三章 扭转2.物理关系：物理关系：胡克定律：代入上式得：GxGxGGddddxGdd xdd第三章 扭转3.静力学关系：静力学关系：AxGAxGATAAAddd ddd d22xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式 得：xGdd pITOdAxGdd AIApd2令极惯性矩极惯性矩第三章 扭转4.公式讨

10、论：公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量。极惯性矩，纯几何量。pIT第三章 扭转 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是只是Ip值不同。值不同。222044d 2d 0.132pAdIAdd 对于实心圆截面：DdO第三章 扭转对于空心圆截面：2222444444d 2d ()32 (1)0

11、.1(1)32pADdIADdDD )(Dd DOdd第三章 扭转 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）?pIT第三章 扭转小结：小结：1.圆轴扭转时横截面上有怎样的应力？应力的方向？圆轴扭转时横截面上有怎样的应力？应力的方向？怎样分布？怎样分布？2.横截面上切应力的计算公式？切应力和材料有关么？横截面上切应力的计算公式？切应力和材料有关么？3.实心和空心圆轴实心和空心圆轴极惯性矩极惯性矩的计算公式的计算公式?第三章 扭转二.等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形(rad/m)dd pGITx GIp反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴圆轴的抗扭刚度的抗扭刚度。单位长度扭转角单位长

12、度扭转角 ：第三章 扭转由公式pGITx dd 知：长为长为 l一段杆两截一段杆两截面间相对扭转角面间相对扭转角 为0d d (llppTxGITlTGI若值不变）计算扭转角第三章 扭转小结：小结：1.圆轴扭转变形时两截面的相对扭转角圆轴扭转变形时两截面的相对扭转角?2.圆轴扭转变形时单位扭转角？圆轴扭转变形时单位扭转角？3.圆轴扭转变形时横截面上某点的切应变？变化规律？圆轴扭转变形时横截面上某点的切应变？变化规律？第三章 扭转35 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算第三章 扭转pIT由知：当max ,2dRmax2 ()22PppPpdTTTdWIdIWI令maxPTW一一

13、.强度计算：强度计算：第三章 扭转对于实心圆截面：33160.2PpWIRDD对于空心圆截面：3434(1)160.2(1-)PpWIRDDmaxPTW抗扭截面系数 第三章 扭转强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmax PTW强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：设计截面尺寸：计算许可载荷：maxmax PTWmax PTWmax PTW334 16 116pDWD实：空：（）第三章 扭转二、刚度计算二、刚度计算 (rad/m)pT GI 180 (/m)pTGI或 称为许用单位扭转角。第三章 扭转例例某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率P1=368

14、KWKW，输出功率分别P2=147KW及 P3=220KW，已知：G=80GPa，=70MPa，=1/m，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？解：扭矩如图 500400M1M3M2ACBTx7.024 4.21(kNm)9.55(kN m)PMn7.024,14.213MkNmMkNmmkNTmkNT.21.4,.024.721第三章 扭转由强度条件得：31/16PdT WT mm4671070143421016163632.Td mm801070143702416163631.Td500400N1N3N2ACB第三章 扭转

15、 4 32pdI由刚度条件得：500400N1N3N2ACB 180 (/m)pT GI432 180 TdG 第三章 扭转 mm47411080143180421032 3249242.GTd mm6.841108014.3180702432 3249241 GTd12 85mm,75mmdd综上：全轴选同一直径时 mm851 ddT7.0244.21(kNm)第三章 扭转 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理P1=368 P2=147 P3=220(kNm)P3T7.0244.21500400P1P2ACBTx 4.21(kNm)2.814500400P2P3P1ACB第三章 扭转非圆截面等直杆非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。第三章 扭转矩形杆横截面上的切应力矩形杆横截面上的切应力:切应力分布如图：hbh 1T max 注意！b第三章 扭转作业：作业：3-43-4，5 5，1515，1717，2020