2020年全国高考冲刺猜想卷 数学（理）附答案+全解全析.docx

1、 2020 年全国高考冲刺猜想卷 数学（理） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4测试范围：高中全部内容 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1下列格式的运算结果为实数的是（ ） A1i i B1ii C 1 1i

2、i D11ii 2设集合 |e4 x Ay y ， |lg23Bx yxx ，则下列关系正确的是（ ） AAB BAB C RR AB痧 D RB A 3双曲线 mx2y21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 的值为（ ） A4 B4 C 1 4 D 1 4 4已知等比数列 n a的前n项和的乘积记为 n T，若 29 512TT，则 8 T （ ） A1024 B2048 C4096 D8192 5已知函数( ) lnln(2)f xxx ，则（ ） A ( )f x在（0，2）单调递增 B( )y= f x的图像关于直线 1x 对称 C ( )f x在（0，2）单调递减 D( )y= f

3、 x的图像关于点（1，0）对称 6设x为区间 2 2 ,内的均匀随机函数，则计算机执行下列程序后，输出的y值落在区间 1 ,3 2 内的概率 为（ ） A 3 4 B 5 8 C 1 2 D 3 8 7设实数x，y满足 214 210 6 xy xy xy ，则xy的最大值为（ ） A14 B12 C 49 2 D 25 2 8教育装备中心新到 7 台同型号的电脑，共有 5 所学校提出申请，鉴于甲、乙两校原来电脑较少，决定给 这两校每家至少 2 台， 其余学校协商确定， 允许有的学校 1 台都没有， 则不同的分配方案的种数为 （ ） A35 B30 C25 D20 9 已知函数 2sin 0f

4、 xx满足2 4 f ， 0f， 且 f x在区间, 4 3 上单调， 则符合条件的的值的个数为（ ） A7 B9 C12 D14 10设数列 n a满足： 2* 11 53 6,2 ,N 44 nnn aaaan ，其中 x表示不超过实数x的最大整数， n S为 n a前n项和，则 2020 S的个位数字是（ ） A6 B5 C2 D1 11 如图，P为椭圆 22 1 43 xy 上一个动点， 过点P作圆C： 22 (1)1xy的两条切线， 切点分别为A， B，则当四边形PACB面积最大时，PA PB 的值为（ ） A 56 9 B 52 9 C 46 9 D 28 9 12已知正方体 11

5、11 ABCDABC D的体积为V，点M，N分别在棱 1 BB， 1 CC上，满足 1 AMMNND 最小，则四面体 1 AMND的体积为（ ） A 1 12 V B 1 8 V C 1 6V D 1 9V 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13设向量 ( 3,4)a ，向量b与向量a方向相反，且10b ，则向量b的坐标为_ 14 函数 f x为偶函数， 当0x 时， x f xe， 则曲线 yf x在1x处的切线方程为_ 15已知 23 (2)(1)xax的展开式的所有项系数之和为 27，则展开式中含 2 x的项的系数是_ 16设函数 h x的定义域为D，若满足条件

6、：存在 ，使 h x在上的值域为， 则称“倍胀函数”.若函数 f x为“倍胀函数”，则实数 1 x f xaa中a 的取值范围是_ 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）如图ABC中，D为BC的中点，2 13AB ，4AC ，3AD. （1）求边BC的长； （2）点E在边AB上，若CE是BCA的角平分线，求BCE的面积. 18 （12 分）三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图所示.设M， N分别为线段AD， AB的中点， P为线段BC上的点，且MNNP. （1）证明： P为线段BC的中点； （2）求二面角A NPM的余弦值. 19

7、（12 分）近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期， 由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付某线路公交车队统计了活动刚推出一 周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人 次） ，统计数据如表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制了如图所示的散点图 （1）根据散点图判断，在推广期内，yabx与( , x yc dc d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码 支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可

8、，不必说明理由） ； （2）根据（1）的判断结果及表 l 中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第 8 天使用扫码支付 的人次； （3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表所示： 支付方式 现金 乘车卡 扫码 比例 10% 60% 30% 已知该线路公交车票价为 2 元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受 8 折优惠，扫码 支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受 7 折优惠的概率为 1 6 ，享受 8 折优 惠的概率为 1 3 ，享受 9 折优惠的概率为 1 2 根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估 计一名乘客一

9、次乘车的平均费用 参考数据： y u 7 1 ii i x y 7 1 ii i xu 0.54 10 66 1.54 2.711 50.12 3.47 其中lg ii uy， 7 1 1 7 i i uu . 20 （12 分）已知抛物线E： 2 4yx，圆C： 22 (3)1xy. （1）若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程； （2） 在 （1） 的条件下， 若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点( ,0)M t使AMOBMO （O为坐标原点）？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 21 （12 分）已知函数 lnf xxxax. （1）若 f x在1,

10、e上存在极小值，求a的取值范围； （2）设 g xf xfx （ fx 为 f x的导函数） ， g x的最小值为 0 g x，且 0 3 2 g x ， 求 0 x的取值范围. (二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （10 分） 曲线 1 C的参数方程为 1 21 : 23 xt C yt （t 为参数） ，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长 度建立极坐标系，曲线 2: 2 cos0Caa关于 1 C对称 （1）求 1 C极坐标方程， 2 C直角坐标方程； （2）将 2 C向

11、左平移 4 个单位长度，按照 3 2 xx yy 变换得到 33 CC；与两坐标轴交于,A B两点，P为 3 C 上任一点，求ABP的面积的最大值. 23 【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分） 设函数( )13f xxx. （1）求不等式( )61f x 的解集； （2）证明： 2 4( )24xf xx.、 答案答案+全解全析全解全析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1下列格式的运算结果为实数的是（ ） A1i i B1ii C 1 1ii D11ii 【答案】D 【解析】对 A, i 1 i1 i; 对

12、 B, i 1 i1 i; 对 C, 1 i1 i2i; 对 D, 1 i 1 i2 .故选 D. 2设集合 |e4 x Ay y ， |lg23Bx yxx ，则下列关系正确的是（ ） AAB BAB C RR AB痧 D RB A 【答案】C 【解析】由题意 |4Ay y，230 | 23Bxxxxx ，BA，只有 C 正确. 3双曲线 mx2y21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 的值为（ ） A4 B4 C 1 4 D 1 4 【答案】C 【解析】依题意，双曲线的标准方程为 2 2 1 1 x y m ，即 22 1 1,ab m ，由于虚轴长是实轴长的2倍， 所以2ba，即 22

13、 4ba，也即 11 4, 4 m m .故选 C. 4已知等比数列 n a的前n项和的乘积记为 n T，若 29 512TT，则 8 T （ ） A1024 B2048 C4096 D8192 【答案】C 【解析】设等比数列 n a的公比为q，由 29 TT得 7 6 1a ，故 6 1a ，即 5 1 1a q . 又 2 121 512a aa q，所以 9 1 512 q ，故 1 2 q ，所以 3 6 312 832 4 24096 a TTa q .故选 C. 5已知函数 ( )lnln(2)f xxx ，则（ ） A ( )f x在（0，2）单调递增 B( )y= f x的图像

14、关于直线 1x 对称 C ( )f x在（0，2）单调递减 D( )y= f x的图像关于点（1，0）对称 【答案】B 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln( )fxxxf x，所以 ( )f x的图象关于直线 1x 对称，故 B 正确， D 错误；又( ) ln (2)f xxx（0 2x） ，由复合函数的单调性可知 ( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,2) 上单调递减，所以 A，C 错误，故选 B 6设x为区间 2 2 ,内的均匀随机函数，则计算机执行下列程序后，输出的y值落在区间 1 ,3 2 内的概率 为（ ） A 3 4 B 5 8 C 1 2 D 3 8 【答案】C 【解

15、析】 根据题意知， 当 x2， 0时， y2x 1 4 ， 1； 当 x （0， 2时， y2x+1 （1， 5； 所以当 y 1 2 ， 3时，x1，1，其区间长度为 2，所求的概率为 P 21 42 故选 C 7设实数x，y满足 214 210 6 xy xy xy ，则xy的最大值为（ ） A14 B12 C 49 2 D 25 2 【答案】D 【解析】由约束条件 214 210 6 xy xy xy 作出可行域如下： 由图像可得102yx，则 2 525 (102 )2 (5)2 22 xx xyxxxx ， 当且仅当 5 2 x ，5y 时，取等号；经检验， 5 ,5 2 在可行域内

16、，所以xy的最大值为 25 2 .故选 D. 8教育装备中心新到 7 台同型号的电脑，共有 5 所学校提出申请，鉴于甲、乙两校原来电脑较少，决定给 这两校每家至少 2 台， 其余学校协商确定， 允许有的学校 1 台都没有， 则不同的分配方案的种数为 （ ） A35 B30 C25 D20 【答案】A 【解析】即剩下 3 台分给 5 个学校，有三种分法，一是都给一个学校，有 5 种分法；二是分给两个学校， 一个 2 台另一个 1 台，有 11 54 20C C 种，三是分给三个学校，每校一台，有 3 5 10C 种，共5 20 1035 种.故选 A. 9 已知函数 2sin 0f xx满足2

17、4 f ， 0f， 且 f x在区间, 4 3 上单调， 则符合条件的的值的个数为（ ） A7 B9 C12 D14 【答案】B 【解析】由题意知函数 f x的周期T，由2 4 f ， 0f，结合正弦函数图像的特征可知 3 424 TkT ，kN，故 3 12 T k ， 2 1 2 3 k ，kN；又因为 f x在区间, 4 3 上单调， 所以 342 T ， 故 6 T ， 所以 2 12 T ， 即 21 2 12 3 k ， 17 2 k ，kN， 0,1,2,8k 符合条件的的值有 9 个.故选 B. 10设数列 n a满足： 2* 11 53 6,2 ,N 44 nnn aaaan

18、 ，其中 x表示不超过实数x的最大整数， n S为 n a前n项和，则 2020 S的个位数字是（ ） A6 B5 C2 D1 【答案】B 【解析】 1 6,a 2 2 3 2 4 2 5 2 1 2 53 6211, 44 53 11221, 44 53 2 6 11 21 4 1241, 44 53 41281, 44 . 5353 22, 44 1 44 nnnnnn a a a a a aaaaa 即从第二项开始，每项的个位数均为 1，故 2020 S的个数数字相加之和: 6(2020 1)2025，个位数字是 5,故选 B. 11 如图，P为椭圆 22 1 43 xy 上一个动点，

19、过点P作圆C： 22 (1)1xy的两条切线， 切点分别为A， B，则当四边形PACB面积最大时，PA PB 的值为（ ） A 56 9 B 52 9 C 46 9 D 28 9 【答案】A 【解析】连接PC，设APC，则2APB，由切线的性质知PAPB，所以 1 21 2 PACB SPAPA 四边形 ，故四边形PACB面积最大时，即PA最大，且 2 1PAPC .易知 当点P为椭圆的左顶点时，PC最大，所以2,0P ，如图所示， 此时1AC ，3PC ，2 2PA ，所以 1 sin 3 ， 2 cos21 2sinPA PBPA PBPA PB 2 1256 2 22 21 281 39

20、9 .故 选 A. 12已知正方体 1111 ABCDABC D的体积为V，点M，N分别在棱 1 BB， 1 CC上，满足 1 AMMNND 最小，则四面体 1 AMND的体积为（ ） A 1 12 V B 1 8 V C 1 6V D 1 9V 【答案】D 【解析】如图， 点 M， N 分别在棱 11 ,BB CC上， 要 1 AMMNND 最小， 将 1 ,MN ND所在的面延它们的交线展开到与AM 所在的面共面， 1 ,AM MN ND三线共线时， 1 AMMNND 最小， 111 11 , 33 BMBB CCNC,设正方体 1 AC的棱长为3a，则 3 27aV， 3 27 V a

21、取 1 3 BGBC，连接NG，则 1 AGND共面，在 1 AND中，设N到 1 AD的距离为 1 h， 1 2222 11 222 22 1 11111 1 2 (3 )(3 )3 2 ,(3 )10 , 1022187 (3 2 )(2 )22 ,cos, 210222 55 3 1911 sin,sin= 3 19 2 19 2 , 222 55 = D NA ADaaa D Naaa aaa ANaaaD NA aa D NASD Na a AND NAAD h h ， 设M到平面 1 AGND的距离为 2 h， 22 1 11111 ,(2 ) 322 196 2 2, 21 ,

22、3 232229 MAGNA MGN VVhaaaa aaah a aa 1 2 3 13 196 3 32919 AMND aaV Va.故选 D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13设向量 ( 3,4)a ，向量b与向量a方向相反，且10b ，则向量b的坐标为_ 【答案】6, 8 【解析】因为向量b与向量a方向相反，所以可设3 ,4,0ba ， 222 916255510b，2， 32 ,426, 8b ，故答案 为6, 8. 14 函数 f x为偶函数， 当0x 时， x f xe， 则曲线 yf x在1x处的切线方程为_ 【答案】0exy 【解析】设0x，则

23、0x ，因 f x为偶函数，有 x f xfxe，0x. 1, x fe fxe，1fe，切线为过点1,e，斜率为e的直线，故方程为 1yee x ，即 0exy.故答案为0exy. 15已知 23 (2)(1)xax的展开式的所有项系数之和为 27，则展开式中含 2 x的项的系数是_ 【答案】23 【解析】已知 3 2 21xax的展开式的所有项系数之和为 27,将 x=1 代入表达式得到 3 1272.aa展开式中含 2 x的项的系数是 2 13 33 22123.CxC 故答案为 23. 16设函数 h x的定义域为D，若满足条件：存在 ，使 h x在上的值域为， 则称“倍胀函数”.若函

24、数 f x为“倍胀函数”，则实数 1 x f xaa中a 的取值范围是_ 【答案】 2 (1,) e e 【解析】因为 1 x f xaa，所以函数为单调递增的函数， 又因为 f x为“倍胀函数”，所以由题可得： 2 2 m n am an . 即 ,m n是方程： 2 x ax的两个根，即函数( )2 x g xax有两个零点, ( )ln2 x g xaa，令( )ln20 x g xaa可得 22 log lnln x a ax aa , 易知当 2 log, ( ) ln a xg x a 取最小值，所以 min 222 ( )(log)2log0 lnlnln aa g xg aaa

25、 , 令 2 (0) ln t t a 此时 2 t ae ，即 2 2log0 t a ttta ，又因为 2 t ae , 所以te ，即 2 ln e a ，解得 2 e ae ，所以 2 1 e ae ，故答案为 2 1 e ae . 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）如图ABC中，D为BC的中点，2 13AB ，4AC ，3AD. （1）求边BC的长； （2）点E在边AB上，若CE是BCA的角平分线，求BCE的面积. 【解析】 （1）因为D在边BC上，所以coscosADBADC ， 在ADB和ADC中由余弦定理，得

26、222222 0 22 ADBDABADDCAC ADBDADDC ， 因为2 13AB ，4AC ，3AD，BDDC， 所以 22 9529160BDBD，所以 2 25BD ，5BD . 所以边BC的长为 10. （2）由（1）知ADC为直角三角形，所以 1 4 36 2 ADC S ，212 ABCADC SS . 因为CE是BCA的角平分线， 所以 1 sin 2 1 sin 2 ACE BCE ACCEACE S S BCCEBCE 42 105 AC BC . 所以 2 5 ABCBCEACEBCEBCE SSSSS 7 12 5 BCE S，所以 60 7 BCE S. 即BCE

27、的面积为 60 7 . 18 （12 分）三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图所示.设M， N分别为线段AD， AB的中点， P为线段BC上的点，且MNNP. （1）证明： P为线段BC的中点； （2）求二面角A NPM的余弦值. 【 解 析 】 取BD的 中 点O ， 建 坐 标 系 如 图 所 示 ， 则 0,0, 3 ,1,0,0 ,0, 3,0ABC， 13 1,0,0 ,0, 22 DN ， 设 （ 1 ） 证 明 ： 设 1, 3,0, 3 ,0BPBC ， 则 1,3, 0O PB C， 13 , 3 , 22 NP .因为,MNPN 1 1 000, 22 ，所 以点 P 是

28、BC 的中点. （2）易平面 PMN 的法向量为 1 0,1,1n . 1,0, 3 ,1, 3,0BABC ，设平面 ABC 的法向量为 2 , ,nx y z，则 030 300 xz xy 2 3,1,1n ，所以 1 110 cos 525 . 19 （12 分）近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期， 由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付某线路公交车队统计了活动刚推出一 周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人 次） ，统计数据如表所示： x 1 2 3 4 5 6

29、7 y 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制了如图所示的散点图 （1）根据散点图判断，在推广期内，yabx与( , x yc dc d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码 支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） ； （2）根据（1）的判断结果及表 l 中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第 8 天使用扫码支付 的人次； （3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表所示： 支付方式 现金 乘车卡 扫码 比例 10% 60% 30% 已知该线路公交车票价为 2 元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘

30、客享受 8 折优惠，扫码 支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受 7 折优惠的概率为 1 6 ，享受 8 折优 惠的概率为 1 3 ，享受 9 折优惠的概率为 1 2 根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估 计一名乘客一次乘车的平均费用 参考数据： y u 7 1 ii i x y 7 1 ii i xu 0.54 10 66 1.54 2.711 50.12 3.47 其中lg ii uy， 7 1 1 7 i i uu . 【解析】 （1）根据散点图判断， x yc d 适宜作为扫码支付的人数 y 关于活动推出天数 x 的回归方程类型； （2）由（1

31、）知回归方程为 x yc d ，两边同时取常用对数得：lglglglg x yc dcd x ， 设lgyu，lglgucd x，又4x ，1.54u ， 7 2 1 140 i i x ， 7 1 72 22 1 7 50.1274 1.547 lg0.25 1407428 7 ii i i i xuxu d xx ，把样本中心点4,1.54代入lglgucd x， 即1.54lg0.25 4c，解得：4 l 0.5gc ，0.54 0 5.2ux ，lg0.540.25yx， y 关于 x 的回归方程式为： 0.54 0.250.540.250.25 101010403. 7 1 x xx

32、 y ， 把8x 代入上式得， 2 3.4734107y ， 活动推出第 8 天使用扫码支付的人次为 347 人次； （3）记一名乘客乘车支付的费用为 Z，则 Z 的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4， 则20.1P Z ； 1 1.80.30.15 2 P Z ； 1 1.60.60.30.7 3 P Z ； 1 1.40.30.05 6 P Z . 分布列为： Z 2 1.8 1.6 1.4 P 0.1 0.15 0.7 0.05 所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：2 0.1 1.8 0.15 1.6 0.7 1.4 0.05 1.66（元） 20 （12 分）已知抛物线E： 2 4

33、yx，圆C： 22 (3)1xy. （1）若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程； （2） 在 （1） 的条件下， 若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点( ,0)M t使AMOBMO （O为坐标原点）？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】 （1） 由题知抛物线E的焦点为1,0F， 当直线的斜率不存在时， 过点1,0F的直线不可能与圆C 相切；所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在， 设直线斜率为k，则所求的直线方程为1yk x，即0kxyk， 所以圆心到直线l的距离为 22 32 11 kkk d kk ， 当直线l与圆相切时，有 2 23 11

34、 3 1 k dk k ， 所以所求的切线方程为 3 1 3 yx或 3 1 3 yx . （2）由（1）知，不妨设直线l： 3 1 3 yx，交抛物线于 11 ,A x y， 22 ,B x y两点， 联立方程组 2 2 3 1 1410 3 4 yx xx yx ，所以 12 14xx， 12 1x x， 假设存在点,0M t使AMOBMO，则0 AMBM kk.而 1 1 AM y k xt ， 2 2 BM y k xt ， 所以 12 12 AMBM yy kk xtxt 1221 12 0 yxtyxt xtxt 1 22 112 0y xy xyyt 1 22112 220x x

35、xxxxt， 即2 1414201tt ，故存在点1,0M 符合条件.当直线l： 3 1 3 yx 时， 由对称性易知点1,0M 也符合条件.综合可知在（1）的条件下，存在点1,0M 使AMOBMO. 21 （12 分）已知函数 lnf xxxax. （1）若 f x在1,e上存在极小值，求a的取值范围； （2）设 g xf xfx （ fx 为 f x的导函数） ， g x的最小值为 0 g x，且 0 3 2 g x ， 求 0 x的取值范围. 【解析】 （1）函数 f x的定义域为0,. ln1fxxa .令 0fx ，解得 1a xe . 因为在 1 0, a e 上， 0fx ；在

36、1 , a e 上， 0fx. 所以 f x在 1 0, a e 上单调递减，在 1 , a e 上单调递增. 所以 f x的极小值为 1a f e .依题意知 1 1 a ee ，即 10a eee ，所以011a. 解得21a .即a的取值范围为2, 1. （2） 1 ln10g xxxaxax ，所以 1 ln1gxxa x . 令 1 ln1h xxa x ，则 0h x，所以 h x在0,上单调递增. 所以 0 x是 0g x即 0h x 的唯一实根.令 0 0h x，得 0 0 1 ln10xa x ，即 0 0 1 ln1xa x . 所以 0000 1 ln1g xxxaxa

37、000 00 11 1111xaaxax xx . 由题意得 0 0 13 1 2 x x ，解得 0 1 2 2 x.所以 0 x的取值范围为 1 ,2 2 . (二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （10 分） 曲线 1 C的参数方程为 1 21 : 23 xt C yt （t 为参数） ，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长 度建立极坐标系，曲线 2: 2 cos0Caa关于 1 C对称 （1）求 1 C极坐标方程， 2 C直角坐标方程； （2）将 2 C向左平移 4 个单

38、位长度，按照 3 2 xx yy 变换得到 33 CC；与两坐标轴交于,A B两点，P为 3 C 上任一点，求ABP的面积的最大值. 【解析】 （1） 1 C： 21 23 xt yt （t 为参数） ，消去t，得4xy. 又 xcos ysin ，代入4xy得：cossin40. sincos40 2 sin40 4 1: sin 2 20 4 C . 2 C：2 cosa化为： 2 22( 0)xayaa，又 2 C关于 1 C：4xy对称， 1 ,0aC，4a， 2 C： 2 2 416xy. （2） 2 C向左平移 4 个单位长度得： 22 16xy，按 3 2 xx yy 变换后得：

39、 2 22 2 2 161 16123 xy xy . 3 C： 22 1 1612 xy ，令 4,0A， 0,2 3B，2 7AB . 易得： AB l： 324 30xy，设 4cos ,2 3sinP到 AB l的距离为d. 则 4 3sin4 3cos4 3 7 d 4 32sin1 4 321 4 77 . 当 35 sin1 4424 时，d有最大值 4 321 7 . max 11 2 7 22 ABP SAB d 4 321 4 34 6 7 . 23 【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分） 设函数( )13f xxx. （1）求不等式( )61f x 的解集； （2）证

40、明： 2 4( )24xf xx. 【解析】 （1）( )61f x ，1( )61f x ，即5( )7f x， 当31x 时，( )4f x 显然不合；当3x时，5227x ，解得 97 22 x ； 当1x 时，5227x，解得 35 22 x.综上，不等式( )61f x 的解集为 973 5 , 222 2 . （2）证明：当31x 时，( )424xxf； 当3x时，( )24222460f xxxx ，则( )24f xx； 当1x 时，( )24222420f xxxx ，则( )24f xx. ( )13134f xxxxx ，( )4f x . 2 44x， 2 ( )4f xx. 故 2 4( )24xf xx.