山东省济南市2020年高三数学一模试题含答案答案.pdf

1、 1 保密启用前 2020 年年济南济南市市高三模拟考试高三模拟考试 数学试题数学试题 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.已知全集UR，集合 A 2 x xx ，则 UA A 0,1 B （0，1） C (,1 D 1（， ） 2.设复数 2 1 i z i+ （其中 i 为虚数单位） ，则复数z在复平面内对应的点所在的象限为 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D第四象限 3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分。某学生做引体向上运动，处 于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60，每

2、只胳膊的拉力大小均为 400N， 则该学生的体重（单位:kg）约为 （参考数据:取重力加速度大小为 2 10/31.732gm s，） A 63 B 69 C 75 D81 4.已知函数yf x（ ）的部分图象如图，则f x（ ）的解析式可能是 A f xxtanx（ ） B 2f xxsin x（ ） C 1 2 2 f xxsinx（ ） D. 1 cos 2 f xxx（ ） 5.方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用。某方舱医院医疗小组有七名护士， 每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班。若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚 早三天，己的夜班在周四

3、，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为 A 甲 B 丙 C 戊 D庚 6.已知抛物线 2 4yx的焦点为 F，直线l过 F 且与抛物线交于 A，B 两点，过 A 作抛物线准线的垂线，垂 足为 M，MAF的角平分线与抛物线的准线交于点 P，线段 AB 的中点为 Q。若8ABPQ ，则 A 2 B 4 C 6 D 8 2 7.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡 献之一。 在古代传说中有神龟出于洛水， 其甲壳上有图 1： “以五居中， 五方白圈皆阳数， 四隅黑点为阴数”， 这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将 1 到 9 这九个数字，

4、填在如图 2 所示的九宫格里，九宫格的中 间填 5，四个角填偶数，其余位置填奇数.则每一横行、每一竖列以及两条对角线上 3 个数字的和都等于 15 的概率是 A 1 3 B 1 6 C 1 72 D 1 144 8.已知直线0yaxb b（ ）与曲线 3 yx有且只有两个公共点 1122 ,A xyB xy（ ， ），（），其中 12 xx，则 12 2xx A 1 B 0 C 1 Da 二、多项选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中有多项 符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9.原油价格的走势在一定程度上反

5、映了全球的经济形势。下面是 2008 年至 2019 年国际原油价格高低区间 的对比图。 下列说法正确的是 A.2008 年原油价格波动幅度最大 B.2008 年至 2019 年，原油价格平均值不断变小 3 C.2013 年原油价格平均值一定大于 2018 年原油价格平均值 D.2008 年至 2019 年，原油价格波动幅度均不小于 20 美元/桶 10.已知符号函数 1,0 sgn( )0,0 1,0 x xx x = 下列说法正确的是 A.函数ysgn x（ ）是奇函数 B.对任意的11xsgnx， （ln ） C.函数 x yesgnx（）的值域为1（， ） D.对任意的xR xx sg

6、n x， （ ） 11.如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，P 为棱 1 CC上的动点（点 P 不与点 C，C1重合） ，过 点 P 作平面分别与棱 ABC，CD 交于 M，N 两点，若CPCMCN，则下列说法正确的是 A 1 AC 平面 B 存在点 P，使得 1 ACP平面 C 存在点 P，使得点 A1到平面的距离为 5 3 D用过 P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 12.已知函数 cosf xsinxcosx sin xx（ ）（），下列说法正确的是 A.f x（ ）是周期函数 B.f x（ ）在区间 2 2 -， 上是增函数 C.若 12

7、+=2f xf x（ ） （ ），则 12 ) 2 k xxkZ （ D.函数1g xf x（ ）（ ）在区间0 2 ， 上有且仅有 1 个零点 三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知 2 2 33 cos （)=，则 2 1 sin () 26 的值为_ 14.已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab （ ）的渐近线与圆（ 22 (21xy ） 相切，则该双曲线的离心率为 _ 15.已知 12 ee，是夹角为 3 的单位向量，若 12 3aebeabR= （ ，），则ab的最大值为_ 4 16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点 A，B 距

8、离之比为常数01 （ 且）的点的轨迹是 一个圆心在直线 AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆。根据以上信息，解决下面的问题: 如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 226ABADAA，点 E 在棱 AB 上，2BEAE，动点 P 满 足3BPPE.若点 P 在平面 ABCD 内运动，则点 P 所形成的阿氏圆的半径为_;若点 P 在长方体 1111 ABCDABC D内部运动，F 为棱 11 C D的中点，M 为 CP 的中点，则三棱锥 1 MBCF的体积的最小 值为_（本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题:本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步

9、骤 17.（10 分） 若数列 n a 满足 22 1nn aap nNp + （， 为常数），则称数列 n a 为等方差数列，p为公方差。 （1）已知数列 nnn cdx n , ， ，y分别满足2020,1,21,3n nnnn cdnxny，从上述四 个数列中找出所有的等方差数列（不用证明）; （2）若数列 n a 是首项为 1，公方差为 2 的等方差数列，求数列 2 n a 的前 n 项和 Sn 5 18.（12 分） 如图，平面四边形 ABCD，点 B，C，D 均在半径为 5 3 3 的圆上，且 3 BCD （1）求 BD 的长度； （2）若32ADADBABD ，求ABD 的面积

10、6 19.（12 分）如图 1，平面四边形 ABCD 中，2ABACABACACCD，E 为 BC 的中点， 将ACD 沿对角线 AC 折起，使CDBC，连接 BD，得到如图 2 所示的三棱锥 DABC. （1）证明:ADEBCD平面平面； （2）已知直线 DE 与平面 ABC 所成的角为 4 ，求二面角ABDC的余弦值 7 20.（12 分）网络购物已经成为人们的一种生活方式.某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为人驻 商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出评价，评价 分为好评、中评和差评平台规定商家有 50 天的试营业时间，期间只评价不积分，

11、正式营业后，每个好评 给商家计 1 分，中评计 0 分，差评计1分，某商家在试营业期间随机抽取 100 单交易调查了其商品的物 流情况以及买家的评价情况，分别制成了图 1 和图 2 （1）通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓； 请根据题目所给信息完成下面 2 2 列联表，并判断能否有 99的把握认为“获得好评”与物流速度有关？ （2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为 X.该商家将试营业 50 天期间的成交情况制 成了频数分布表（表 1） ，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数发生的概率。 （）求 X 的分布列和数学期望； （）平台规定，当积分超

12、过 10 000 分时，商家会获得“诚信商家称号，请估计该商家从正式营业开始，1 年内（365 天）能否获得“诚信商家称号 8 21.（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点30A （， ），直线l: 4 3 3 x，动点 P 满足到点 A 的距离与到直线 l 的距离之比为 3 2 已知圆 C 的方程为 22 4xy ，直线l为圆 C 的切线，记点( 30)30)A，,(，到直线l的距离分别为 12 dd，动点 P 满足 12 PAdPBd ， 点 S，T 分别在 x 轴，y 轴上运动，且3ST ，动点 P 满足 21 33 OPOSOT uuu ruuu ruuu r （1）在，这

13、三个条件中任选一个，求动点 P 的轨迹方程； 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 （2）记（1）中的轨迹为 E，经过点 D（1，0）的直线 l 交 E 于 M，N 两点，若线段 MN 的垂直平分线与 y 轴相交于点 Q，求点 Q 纵坐标的取值范围. 9 22.（12 分）已知函数 2 (1) x a ex f x x （ ）=，且曲线yf x（ ）在22f（ ，（ ）处的切线斜率为 1. （1）求实数 a 的值； （2）证明:01xf x当 时，（ ） （3）若数列 n x 满足 1n x n ef x +（ ） ，且 1 1 3 x，证明:211 n xn e 1 高三年级学习质

14、量评估考试 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A A B C D B C B 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 题号 9 10 11 12 答案 AC ABD ACD AC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 1 3 ； 14 2 3 3 ； 152； 16

15、2 3， 9 4 （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 【解析】 （1）由等方差的定义可知 nn cd，为等方差数列；.4 分 （2）因为数列 n a是首项为 1，公方差为 2 的等方差数列， 所以 2 12(1)21 n ann ， .7 分 所以 2 (121) 2 n nn Sn . 10 分 18 【解析】 （1） 【方法一】 由题意可知，BCD的外接圆半径为 5 3 3 ， 由正弦定理 5 3 22 sin3 BD R BCD ， 3 分 解得 5BD ； . 5 分 【方法二】 2 由题意可知，BCD的外

16、接圆半径为 5 3 3 ， 设该外接圆的圆心为O，则 2 3 BOD ， 5 3 3 OBOD， 所以 222 2cos25BDOBODOB ODBOD， . 3 分 解得 5BD ； . 5 分 （2） 【方法一】 在ABD中，设ABD，为锐角，则2ADB， 因为 sin2sin ABAD ，所以 3 2sincossin AB ， . 7 分 所以 6cosAB ， 因为 222 2cosADABBDAB BD， 即 22 936cos2560cos，所以 6 cos 3 ， 9 分 则6cos2 6AB ， 3 sin 3 ， 所以 1 sin5 2 2 ABD SAB BD 12 分

17、【方法二】 在ABD中，因为 2ADBABD ， 所以sinsin22sincosADBABDABDABD ，.7 分 所以 222 2cos2 2 ABBDAD ABADABDAD AB BD ， 因为 53BDAD， ，所以 2 6AB ， . 9 分 所以 6 cos 3 ABD ，则 3 sin 3 ABD ， 所以 1 sin5 2 2 ABD SAB BDABD 12 分 【方法三】 在ABD中，设ABD，为锐角，则2ADB，3BAD ， 因为 sin3sin BDAD ，即 53 sin3sin ， . 7 分 因为 sin3sin(2)sin2 coscos2 sin 233

18、2sincossin2sin3sin4sin， 3 所以 2 1 sin 3 ，则 3 sin 3 9 分 则 6 cos 3 ， 2 2 sin2 3 ， 所以 1 sin25 2 2 ABD SAD BD . 12 分 19 【解析】 （1）证明：在三棱锥DABC中， 因为 CDBC CDAC，ACBCC， 所以 CD 平面ABC， 2 分 又AE 平面ABC，所以 AECD， 因为 ABAC， E为BC中点， 所以 BCAE ，又BCCDC， 所以 AE 平面BCD， 4 分 又AE 平面ADE， 所以 平面ADE 平面BCD . 5 分 （2） 【方法一】 由（1）可知DEC即为直线D

19、E与平面ABC所成的角， 所以 4 DEC ，故 1CDCE； . 6 分 作EFCD交BD于点F，由（1）知EA EB EF，两两垂直， 以E为原点，EA EB EF，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建系， . 7 分 则 (0 0 0)E，(1 0 0)A，(0 1 0)B，(01 1)D， ， 易知 平面BCD的法向量为 1 (1 0 0)，n， 8 分 又( 1 1 0)AB ，( 11 1)AD ， ， 设平面ABD的法向量为 2 ()xy z， ，n， 则 2 2 0 0 ABxy ADxyz ， ， n n 令1x ， 解得 2 (1 1 2 )，n， . 10 分 所以 12 1

20、2 12 6 cos |6 ， nn nn nn ，由图可知 该二面角为锐角， z y x 图2 F E D A B C 4 所以 二面角ADBC的余弦值为 6 6 . 12 分 【方法二】 由（1）可知DEC即为直线DE与平面ABC所成的角， 所以 4 DEC ，故 1CDCE； . 6 分 由（1）知AE 平面BCD， 过E作BDEH 于H，连接AH， 由三垂线定理可知 AHBD， 故AHE为二面角ADBC的平面角. 8 分 由BHE BCD，得 BEEH BDCD ， 即 1 15 EH ， 得 5 5 EH ， 所以 5 30 AH， 10 分 故 6 cos 6 EH AHE AH

21、， 所以 二面角ADBC的余弦值为 6 6 . 12 分 20 【解析】 （1）由题意可得 好评 中评或差评 合计 物流迅速 50 5 55 物流迟缓 30 15 45 合计 80 20 100 . 2 分 2 2 (50 15305)100100 6.635 8020554511 K ， 3 分 所以 有99%的把握认为 “获得好评”与物流速度有关 . 4 分 （2） （i）由题意可知，X的取值可能是1 01， 每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为0.8 0.1 0.1， 所以 X的分布列为 图2 E D A B C H 5 X 1 0 1 P 0.8 0.1 0.1 所以 1 0

22、.800.1( 1)0.10.7EX ； . 7 分 （ii） 【方法一】 设商家每天的成交量为Y，则Y的取值可能为27 30 36， ， 所以 Y的分布列为 Y 27 30 36 P 0.4 0.4 0.2 所以 270.4300.4360.230EY ， . 10 分 所以 商家每天能获得的平均积分为300.721， 商家一年能获得的积分：21 365766510000， 11 分 所以 该商家在 1 年内不能获得“诚信商家”称号 12 分 【方法二】 商家每天的平均成交量为 (36 1030202720) 30 50 ， . 10 分 所以 商家每天能获得的平均积分为300.721， 商

23、家一年能获得的积分：21 365766510000， 11 分 所以 该商家在 1 年内不能获得“诚信商家”称号 12 分 21 【解析】 （1）若选， 设()P x y，根据题意， 22 (3)3 24 3 | 3 xy x ， . 3 分 整理得 2 2 1 4 x y， 所以 所求的轨迹方程为 2 2 1 4 x y . 5 分 若选， 设()P x y，直线l与圆相切于点H， 则 12 |2|42 3|PAPBddOHAB， 2 分 由椭圆定义知 点P的轨迹是以A B，为焦点的椭圆， 3 分 6 所以 24a ，2|2 3cAB， 故 2a ，3c ，1b ， 所以 所求的轨迹方程为

24、2 2 1 4 x y . 5 分 若选， 设()P x y，(0)S x，(0)T y ，则 22 ()()3xy（*） ， 因为 21 33 OPOSOT ，所以 2 3 1 3 xx yy ， ， 2 分 整理得 3 2 3 xx yy ， ， 3 分 代入（*）得 2 2 1 4 x y， 所以 所求的轨迹方程为 2 2 1 4 x y . 5 分 （2） 【方法一】 设 0 (0)Qy，当 l 斜率不存在时， 0 0y . . 6 分 当 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为(1)(0)yk xk， 11 ()M xy， 22 ()N xy， 由 2 2 (1) 1 4 yk x x

25、 y ， ，消去 y并整理得 2222 (14)84(1)0kxk xk. 0 恒成立， 2 12 2 8 14 k xx k ，. 8 分 设线段MN的中点为 33 ()G xy，则 2 12 3 2 4 214 xxk x k ， 33 2 (1) 14 k yk x k . 所以 线段 MN 的垂直平分线的方程为 2 22 14 () 1414 kk yx kkk . 令0x ，得 0 2 33 1 14 4 k y k k k . 10 分 当0k 时， 1 44k k ，当且仅当 1 2 k 时，取等号，所以 0 3 0 4 y； 当0k 时， 1 44k k ，当且仅当 1 2 k

26、 时，取等号，所以 0 3 0 4 y； 7 综上，点Q纵坐标的取值范围是 33 44 ，. 12 分 【方法二】 设 0 (0)Qy，根据题意直线 l 斜率不为 0，设直线 l 的方程为1xmy 若0m ，则 0 0y . . 6 分 当0m 时，设 11 ()M xy， 22 ()N xy， 由 2 2 1 1 4 xmy x y ， ， 消去x并整理得 22 (4)230mymy. 0 恒成立， 12 2 2 4 m yy m . . 8 分 设线段MN的中点为 33 ()G xy，则 12 3 2 24 yym y m ， 33 2 4 1 4 xmy m . 所以 线段 MN 的垂直

27、平分线的方程为 22 4 () 44 m ym x mm . 令0x ，得 0 2 33 4 4 m y m m m . . 10 分 当0m 时， 4 4m m ，当且仅当2m 时，取等号，所以 0 3 0 4 y； 当0m 时， 4 4m m ，当且仅当2m 时，取等号，所以 0 3 0 4 y； 综上，点Q纵坐标的取值范围是 33 44 ，. 12 分 【方法三】 设 0 (0)Qy，当 l 斜率不存在时， 0 0y . . 6 分 当 l 斜率存在时， 设 l 斜率为k， 11 ()M xy， 22 ()N xy， 线段MN的中点为 33 ()G xy， 由 2 21 1 2 22 2

28、 1 4 1 4 x y x y ， ， 得 1212 1212 ()() ()()0 4 xxxx yyyy . 所以 331212 121233 2 4()424 xxyyxx k xxyyyy ， . 8 分 线段 MN 的垂直平分线的方程为 3 33 3 4 () y yyxx x ， 令0x ，得 03 3yy . 8 由 33 33 41 xy k yx ，得 222 3333 11111 () 444216 yxxx ， 10 分 因为 3 01x，所以 2 3 1 0 16 y，则 3 1 0 4 y或 3 1 0 4 y， 所以 0 3 0 4 y或 0 3 0 4 y. 综

29、上，点Q纵坐标的取值范围是 33 44 ，. 12 分 22 【解析】 （1） 3 (2)2 ( ) x axex fx x ， (2)1 2 a f ， . 1 分 所以 2a ； 2 分 （2）要证( )1f x ，只需证 2 1 ( )e10 2 x h xxx ， ( )e1 x h xx，( )e1 x h x， 因为 (0)x ，所以 ( )0hx， 所以 ( )e1 x h xx在(0) ，上单调递增， 所以 ( )e1(0)0 x h xxh . 5 分 所以 2 1 ( )e1 2 x h xxx在(0) ，上单调递增， 所以 2 1 ( )e1(0)0 2 x h xxxh

30、 成立， 所以 当0x 时，( )1f x 成立 6 分 （3） 【方法一】 由（2）知当0x 时，( )1f x ， 因为 1 () n x n ef x ，所以 1 ln() nn xf x ， 设()ln() nn g xf x，则 1 () nn xg x ， 所以 121 ()( ()()0 nnn xg xg g xgg x ； 8 分 要证：2 e11 n xn ，只需证： 1 |e1| () 2 n xn ， 因为 1 1 3 x ，所以 1 1 3 |e1| e1 x ， 9 因为 3 327 e()e0 28 ，所以 1 3 3 e 2 ，所以 1 1 3 1 |e1| e

31、1 2 x ， 故 只需证： 1 1 |e1|e1| 2 nn xx ， 因为 (0) n x ，故只需证： 1 11 e1e 22 nn xx ， 即证： 11 ()1e 22 n x n f x ， 只需证：当 (0)x ， 时， 22 11 ( )(2)e220 22 x xxxx， 10 分 2 1 ( )(2)e2 2 x xxxx， 2 1 ( )(21)e1 2 x xxx， 2 1 ( )(31)e0 2 x xxx， 所以 ( )x在区间(0) ，上是增函数， 故 2 1 ( )(21)e1( 0)0 2 x xxx ， 所以 ( )x在区间(0) ，上是增函数， 故 2 1

32、 ( )(2)e2(0)0 2 x xxxx， 所以 ( )x在区间(0) ，上是增函数， 所以 22 11 ( )(2)e22(0)0 22 x xxxx， 所以 原不等式成立 12 分 （ii） 【方法二】 由（2）知当0x 时，( )1f x ， 因为 1 () n x n ef x ，所以 1 ln() nn xf x ， 设()ln() nn g xf x，则 1 () nn xg x ， 所以 111 ()( ()()0 nnn xg xg g xgg x ； 8 分 要证：2 e11 n xn ，只需证： 1 |e1| () 2 n xn ， 因为 1 1 3 x ，所以 1 1

33、 3 |e1| e1 x ， 因为 3 327 e()e0 28 ，所以 1 3 3 e 2 ，所以 1 1 3 1 |e1| e1 2 x ， 故 只需证： 1 1 |e1|e1| 2 nn xx ， 因为 (0) n x ，故只需证： 1 11 e1e 22 nn xx ， 10 即证： 11 ()1e 22 n x n f x ， 只需证：当 (0)x ， 时， 22 11 ( )(2)e220 22 x xxxx， 10 分 因为 22 111 ( )(4)e(44)(2)(2)(2) 222 xx xxxxxxex， 设 ( )( 2)(2) x u xxex，故只需证：( ) 0u x ， ( )(1)1 x u xxe，( )0 x u xxe， 所以 ( )u x 在区间(0 ) ， 上是增函数， 故 ( )( 1)1(0)0 x u xxeu ， 所以 ( ) u x在区间(0) ， 上是增函数， 故 ( )( 2)(2)(0)0 x u xxexu， 所以 原不等式成立 12 分