湘教版数学八年级下册第2章四边形2.5矩形2.5.1矩形的性质习题课件.ppt

1、2.5 矩 形 2.5.1 矩形的性质 1.1.了解矩形的定义了解矩形的定义, ,理解矩形与平行四边形的区别和联系理解矩形与平行四边形的区别和联系.(.(重重 点点) ) 2.2.会用矩形的性质进行计算或证明会用矩形的性质进行计算或证明.(.(重点、难点重点、难点) ) 3.3.掌握矩形的轴对称性和中心对称性掌握矩形的轴对称性和中心对称性.(.(重点重点) ) 一、矩形的定义一、矩形的定义 有一个角是有一个角是_的平行四边形的平行四边形. . 二、矩形的性质二、矩形的性质 在矩形在矩形ABCDABCD中中,BAD=90,BAD=90, ,对角线对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O.O.

2、 直角直角 【思考思考】(1)(1)由由BAD=90BAD=90，可以推出，可以推出ABCABC，BCDBCD，CDACDA的的 度数分别为多少？度数分别为多少？ 提示：提示：因为矩形是特殊的平行四边形，因为矩形是特殊的平行四边形， ADBCADBC，ABCDABCD，根据两直线平行，同旁内角互补，可得，根据两直线平行，同旁内角互补，可得 ABC=BCD=CDA=90ABC=BCD=CDA=90. . (2)(2)对角线对角线ACAC，BDBD有怎样的数量关系？为什么？有怎样的数量关系？为什么？ 提示：提示：AC=BD.AC=BD.在在ABDABD和和DCADCA中中 ABDABDDCADCA

3、，AC=BD.AC=BD. ADAD BADCDA90 ABCD ， ， 【总结总结】矩形的性质矩形的性质: : (1)(1)矩形具有矩形具有_的一切性质的一切性质. . (2)(2)矩形的四个角都是矩形的四个角都是_. . (3)(3)矩形的对角线矩形的对角线_. . 平行四边形平行四边形 直角直角 相等相等 三、矩形的对称性三、矩形的对称性 1.1.矩形是矩形是_图形图形, ,对称中心是对称中心是_._. 2.2.矩形是轴对称图形矩形是轴对称图形, ,有两条对称轴有两条对称轴, ,它们是它们是_ 的直线的直线. . 中心对称中心对称 对角线的交点对角线的交点 过每组对边中点过每组对边中点

4、( (打“打“”或“”或“”)”) (1)(1)矩形的邻角相等矩形的邻角相等. . ( )( ) (2)(2)矩形的对角线互相平分且相等矩形的对角线互相平分且相等. . ( )( ) (3)(3)矩形的邻边相等矩形的邻边相等. . ( )( ) (4)(4)矩形是中心对称图形矩形是中心对称图形, ,但不是轴对称图形但不是轴对称图形. . ( )( ) 知识点知识点 1 1 矩形的性质应用矩形的性质应用 【例例1 1】(2013(2013宁夏中考宁夏中考) )在矩形在矩形ABCDABCD中中, , 点点E E是是BCBC上一点上一点,AE=AD,DFAE,AE=AD,DFAE,垂足为垂足为F.F

5、. 求证求证:DF=DC.:DF=DC. 【思路点拨思路点拨】连接连接DE,DE,四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,DFAEDEC=,DFAEDEC= AED,DFE=C=90AED,DFE=C=90DFEDFEDCEDCE结论结论. . 【自主解答自主解答】连接连接DE.DE. AD=AE,AD=AE, AED=ADE.AED=ADE. 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,ADBC,C=90,ADBC,C=90. . ADE=DEC,DEC=AED.ADE=DEC,DEC=AED. 又又DFAE,DFE=C=90DFAE,DFE=C=90. . DE=DE,DE=DE,DFED

6、FEDCE.DF=DC.DCE.DF=DC. 【总结提升总结提升】矩形的性质的应用矩形的性质的应用 1.1.证明线段平行、相等或倍分关系证明线段平行、相等或倍分关系. . 2.2.证明角相等或求角的度数证明角相等或求角的度数. . 知识点知识点 2 2 直角三角形斜边上的中线定理直角三角形斜边上的中线定理 【例例2 2】如图如图, ,在在ABCABC中中,AB=AC,ADBC,AB=AC,ADBC, 垂足为垂足为D,ED,E是是ACAC的中点的中点. .若若DE=5,DE=5,则则ABAB的长的长 为为 . . 【思路点拨思路点拨】根据垂线的性质推知根据垂线的性质推知ADCADC是直角三角形是

7、直角三角形; ;然后在然后在 RtRtADCADC中中, ,利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半, ,求得求得 ACAC的长的长; ;最后由等腰最后由等腰ABCABC的两腰的两腰AB=AC,AB=AC,求得求得ABAB的长的长. . 【自主解答自主解答】在在ABCABC中中,ADBC,ADBC,垂足为垂足为D,D, ADCADC是直角三角形是直角三角形.E.E是是ACAC的中点的中点, , DE= AC(DE= AC(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半直角三角形斜边上的中线是斜边的一半),), 又又DE=5,AC=2DE=10,DE=5,AC=2DE=1

8、0, AB=AC,AB=10.AB=AC,AB=10. 答案答案: :1010 1 2 【总结提升总结提升】直角三角形斜边上中线的性质及应用直角三角形斜边上中线的性质及应用 1.1.性质性质: : (1)(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. . (2)(2)直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角 形形. . 2.2.应用应用: : (1)(1)证明线段的平行、相等或倍分关系证明线段的平行、相等或倍分关系. . (2)(2)证明角相等证明角相等. . 题组一题组一: :矩形的性质应用矩形的性

9、质应用 1.(20131.(2013宜昌中考宜昌中考) )如图如图, ,在矩形在矩形ABCDABCD中中, , ABBC,AC,BDABBC,AC,BD相交于点相交于点O,O,则图中等腰三则图中等腰三 角形的个数是角形的个数是 ( ( ) ) A.8A.8 B.6B.6 C.4C.4 D.2D.2 【解析解析】选选C.C.四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,AO=BO=CO=DO,AO=BO=CO=DO,ABO,ABO, BCO,BCO,DCO,DCO,ADOADO都是等腰三角形都是等腰三角形. . 2.2.如图，矩形如图，矩形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC8 cm8 cm，

10、AODAOD120120，则，则ABAB的长为的长为( )( ) A.A. cmcm B.2 cmB.2 cm C.C. cmcm D.4 cmD.4 cm 【解析解析】选选D D四边形四边形ABCDABCD为矩形，为矩形，OAOAOBOBOCOCOD.OD. AODAOD120120，AOBAOB6060，AOBAOB是等边三角形，是等边三角形， ABAB ACAC4 cm4 cm 3 2 3 1 2 3.3.如图如图, ,在矩形在矩形ABCDABCD中中,AB=2,BC=4,AB=2,BC=4,对角线对角线ACAC 的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交AD,ACAD,AC于点于点E,O,E

11、,O,连接连接CE,CE, 则则CECE的长为的长为 ( ( ) ) A.3A.3 B.3.5B.3.5 C.2.5C.2.5 D.2.8D.2.8 【解析解析】选选C.EOC.EO是是ACAC的垂直平分线的垂直平分线,AE=CE.,AE=CE. 设设CE=x,CE=x,则则ED=ADED=AD- -AE=4AE=4- -x,x, 在在RtRtCDECDE中中,CE,CE2 2=CD=CD2 2+ED+ED2 2, ,即即x x2 2=2=22 2+(4+(4- -x)x)2 2, ,解得解得x=2.5,x=2.5,即即CECE的的 长为长为2.5.2.5. 4.4.如图，在矩形如图，在矩形A

12、BCDABCD中，中，O O是对角线是对角线ACAC，BDBD 的交点，点的交点，点E E，F F分别是分别是ODOD，OCOC的中点的中点. .如果如果 AC=10AC=10，BC=8BC=8，那么，那么EFEF的长为的长为( )( ) A.3 B.4A.3 B.4 C.5 C.5 D.6D.6 【解析解析】选选A.ABC=90A.ABC=90, , AB=AB= CD=AB=6, CD=AB=6, 点点E E，F F分别是分别是ODOD，OCOC的中点的中点, , EF=3.EF=3. 2222 ACBC1086, 5.5.矩形矩形ABCDABCD中中,BE,BE平分平分ABC,ABC,交

13、交ADAD于点于点E,E,若若AB=3,CE=6,AB=3,CE=6,则则 BEC=BEC= . . 【解析解析】如图所示如图所示: :因为四边形因为四边形ABCDABCD是矩形是矩形, , 所以所以A=ABC=BCD=D=90A=ABC=BCD=D=90, ,因为因为BEBE平分平分ABC,ABC, 所以所以ABE=45ABE=45,BEA=180,BEA=180- -AA- -ABE=45ABE=45, , 因为因为AB=3,AB=3,所以所以CD=AB=3,CD=AB=3,又因为又因为CE=6,CE=6,所以所以CED=30CED=30, , 所以所以BEC=180BEC=180- -B

14、EABEA- -CED=180CED=180- -4545- -3030 =105=105. . 答案答案: :105105 6.6.如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形, ,对角线对角线AC,BDAC,BD相相 交于点交于点O,BEACO,BEAC交交DCDC的延长线于点的延长线于点E.E. (1)(1)求证求证:BD=BE.:BD=BE. (2)(2)若若DBC=30DBC=30,BO=4,BO=4,求四边形求四边形ABEDABED的面积的面积. . 【解析解析】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,AC=BD,ABCD,AC=BD,ABCD, BEAC,

15、BEAC,四边形四边形ABECABEC是平行四边形是平行四边形,AC=BE,BD=BE.,AC=BE,BD=BE. (2)(2)在矩形在矩形ABCDABCD中，中，BO=4BO=4，BD=2BO=2BD=2BO=24=84=8，DBC=30DBC=30， AB=CD=4AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8， 在在RtRtBCDBCD中，中， 四边形四边形ABEDABED的面积的面积= = 11 CDBD84 22 ， 2222 BCBDCD844 3， 1 484 324 3 2 7.7.如图如图,E,F,E,F分别是矩形分别是矩形A

16、BCDABCD的对角线的对角线ACAC和和BDBD上的点上的点, ,且且AE=DF.AE=DF. 求证求证:BE=CF.:BE=CF. 【证明证明】四边形四边形ABCDABCD为矩形，为矩形， OA=OB=OC=OD,OA=OB=OC=OD, AB=CDAB=CD，AE=DF,OE=OF.AE=DF,OE=OF. 在在BOEBOE与与COFCOF中，中， BOEBOECOFCOF，BE=CF.BE=CF. OBOC BOECOF OEOF ， ， ， 题组二：题组二：直角三角形斜边上的中线定理直角三角形斜边上的中线定理 1.1.如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=9

17、0， AB=10AB=10，CDCD是是ABAB边上的中线，则边上的中线，则CDCD的的 长是长是( )( ) A.20 B.10A.20 B.10 C.5 C.5 D.D. 【解析解析】选选C.C.在在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，AB=10AB=10，CDCD是是ABAB边边 上的中线，上的中线，CD= AB=5.CD= AB=5. 5 2 1 2 2.(20132.(2013鄂州中考鄂州中考) )著名画家达芬奇不仅画艺超群著名画家达芬奇不仅画艺超群, ,同时还是同时还是 一个数学家、发明家一个数学家、发明家. .他曾经设计过一种圆规如图所示他曾经设计过一种圆规如图

18、所示, ,有两个有两个 互相垂直的滑槽互相垂直的滑槽( (滑槽宽度忽略不计滑槽宽度忽略不计),),一根没有弹性的木棒的一根没有弹性的木棒的 两端两端A,BA,B能在滑槽内自由滑动能在滑槽内自由滑动, ,将笔插入位于木棒中点将笔插入位于木棒中点P P处的小处的小 孔中孔中, ,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来随着木棒的滑动就可以画出一个圆来. .若若AB=20cm,AB=20cm,则画出则画出 的圆的半径为的圆的半径为 cm.cm. 【解析解析】连接连接OP,OP, AOBAOB是直角三角形是直角三角形,P,P为斜边为斜边ABAB的中点的中点, , OP= AB,OP= AB, AB=20cm,

19、OP=10cm.AB=20cm,OP=10cm. 答案答案: :1010 1 2 3.3.如图所示如图所示,DE,DE为为ABCABC的中位线的中位线, ,点点F F在在DEDE上上, ,且且AFB=90AFB=90, ,若若 AB=5,BC=8,AB=5,BC=8,则则EFEF的长为的长为 . . 【解析解析】DEDE为为ABCABC的中位线，的中位线，BCBC8 8，DEDE4.4. 又又AFBAFB9090，点，点D D为为ABAB的中点，的中点，ABAB5 5， 答案：答案： 553 DF.EFDEDF4. 222 3 2 4.4.如图如图,BE,CF,BE,CF分别是分别是ABCAB

20、C的高的高,M,M为为BCBC的中的中 点点,EF=5,BC=8,EF=5,BC=8,则则EFMEFM的周长是的周长是 . . 【解析解析】BE,CFBE,CF分别是分别是ABCABC的高的高,M,M为为BCBC 的中点的中点,BC=8,BC=8, 在在RtRtBCEBCE中中,EM= BC=4,EM= BC=4, 在在RtRtBCFBCF中中,FM= BC=4.,FM= BC=4. 又又EF=5,EF=5, EFMEFM的周长的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13.=EM+FM+EF=4+4+5=13. 答案答案: :1313 1 2 1 2 5.5.如图如图, ,已知已知ABCABC和

21、和ABDABD均为直角三角形均为直角三角形, , 其中其中ACB=ADB=90ACB=ADB=90,E,E为为ABAB的中点的中点, ,求证求证: : CE=DE.CE=DE. 【证明证明】在在RtRtABCABC中中,E,E为斜边为斜边ABAB的中点的中点, , CE= AB.CE= AB. 在在RtRtABDABD中中,E,E为斜边为斜边ABAB的中点的中点, , DE= AB,CE=DE.DE= AB,CE=DE. 1 2 1 2 【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图所示如图所示, , ABCDABCD中中,AC,BD,AC,BD 相交于点相交于点O,O,且且AOBAOB是等边三角形是等边三角形, ,边长为边长为6,6,求求 这个平行四边形的面积这个平行四边形的面积. . 提示提示: :观察图形时观察图形时, ,误认为四边形为矩形而出现错误误认为四边形为矩形而出现错误. .