山东省临沂市2020届高三数学4月模拟试题含答案.pdf

1、2 2020020 年临沂市高三模拟试题年临沂市高三模拟试题 数 学 注意事项：注意事项： 1.1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. . 2.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. .如如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. .回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上. .写写 在本试卷上无效在本试卷上无

2、效. . 3 3. .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. . 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4 40 0 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1. 已知集合 2 2,21, x AxxBxZ 则BA A1 B1,2 C0,1 D 1,0,1 2已知复数 1 z， 2 z在复平面内对应的点分别为(1, 1)，(0,1)，则 1 2 z z 的共轭复数为 A1i B1i C1 i D1i 3. 若aR，则

3、“| 1a ”是“ 3 1a ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知向量, ,a b c，其中a与b是相反向量，且a+cb，3, 3（）ac，则a b= A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 5已知 0.5 5 ln,log 2,exyz ，则 A. xyz B. xzy C. zyx D. zxy 6已知函数 2 1 ( ) 2 21,1,4f xxxx，当xa时，( )f x取得最大值b，则函数 | ( ) x b g xa 的大致图象为 7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中商功有如下问题：“今有委 粟平地，下周一十二丈，高一丈

4、，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上， 它底圆周长为 12 丈，高为 1 丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆 粟， 已知圆周率约为 3， 一斛粟的体积约为 2700 立方寸 （单位换算： 1 立方丈=106立方寸） ， 一斛粟米卖 270 钱，一两银子 1000 钱，则主人卖后可得银子 A.200 两 B.240 两 C.360 两 D.400 两 8点M为抛物线 2 4 1 xy 上任意一点，点N为圆0 4 3 2 22 yyx上任意一点，若函 数 ( )log (2)2(1) a f xxa 的图象恒过定点P,则MNMP 的最小值为 A. 5 2 B. 11

5、 4 C. 3 D. 13 4 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 4 小题小题，每小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求项符合题目要求. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. . 9下列结论正确的是 A. 若tan2，则 3 cos2 5 B. 若sincos1，则 22 1 sincos 2 C.“ 00 ,sinxxZZ”的否定是“ ,sinxx ZZ” D. 将函数|cos2 |yx的图象向左平

6、移 4 个单位长度，所得图象关于原点对称 10某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的 折线图， 其中 2019 年的录取人数被遮挡了 他又查询到近十年全国高考录取率的散点图， 结合图表中的信息判定下列说法正确的是 A全国高考报名人数逐年增加 B2018 年全国高考录取率最高 C2019 年高考录取人数约 820 万 D2019 年山东高考报名人数在全国的占比最小 11在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若2 3,3,3bcAC，则下列 结论正确的是 A 3 cos 3 C B 2 sin 3 B C3a D2 ABC S 12如图，

7、点E为正方形ABCD边CD上异于点,C D的动点，将ADE沿AE翻折成 SAE，在翻折过程中，下列说法正确的是 A存在点E和某一翻折位置，使得SBSE B存在点E和某一翻折位置，使得AE/平面SBC C存在点E和某一翻折位置，使得直线SB与平面ABC所成的角为45 D存在点E和某一翻折位置，使得二面角SABC的大小为60 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.三名旅游爱好者商定在疫情结束后前往武汉、宜昌、黄冈 3 个城市旅游，如果三人均等可 能的前往上述 3 个城市之一，那么他们恰好选择同一个城市的概率是_.

8、14.若 2 1 (3)nx x 展开式中的各项系数的和为 1024，则常数项为_. 15.已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为2yx，左、右焦点分别为 12 ,F F， 点A在双曲线上，且 212 AFFF，则该双曲线的离心率为_, 12 sinAFF_. （本题第一空 2 分，第二空 3 分.） 16.已知函数 32 2 32,0, ( ) e , 0. x xxx f x xx 若方程( )0f xa有两个不相等的实根，则实数 a取值范围是_. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. 解答应写出文字说明、证明

9、过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10 分） 记 n S为数列 n a的前n项和，已知 nnnn Saaa432, 0 2 . （1）求数列 n a的通项公式； （2）若1 n n a b ，求满足 1 22 31 1 7 n n bbb bb b 的正整数n的最大值. 18（12 分） 已知函数 ( )sin()(0,0) 2 f xxm满足下列 4 个条件中的 3 个，4 个 条件依次是： 3 2 ，周期T ，过点（0，0）， 3 ( ) 32 f （1）写出所满足的 3 个条件的序号（不需要说明理由），并求( )f x的解析式； （2）求函数( )f x的图象

10、与直线1y 相邻两个交点间的最短距离 19（12 分） 如图，斜三棱柱 111 CBAABC 中，ABC是边长为 2 的正三角形，O为BC的中点， 1 AOABC平面 ，点M在AO上，MOAM2，N为 1 OC与CB1的交点，且 1 BB与平面 ABC所成的角为 4 . （1）求证： 11 /AACCMN平面； （2）求二面角 11 AOCB的正弦值. 20（12 分） 动点P在椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上，过点P作x轴的垂线，垂足为A，点B满 足3ABAP，已知点B的轨迹是过点)3 , 0(Q的圆 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l与椭圆C交于M，N两点(M，N在

11、x轴的同侧）， 12 ,F F为椭圆的左、 右焦点，若 12 / /FMF N，求四边形 12 FF NM面积的最大值 21（12 分） 2020 年新冠肺炎疫情暴发以来，中国政府迅速采取最全面、最严格、最彻底的防控举措， 坚决遏制疫情蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情做出了贡献 为普及防治新冠肺炎的相关知识，某高中学校开展了线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从 大批参与者中随机抽取 200 名幸运者，他们的得分（满分 100 分）数据统计结果如下图： （1） 若此次知识竞答得分X整体服从正态分 布，用样本来估计总体，设,分别为这 200 名 幸运者得分的平均值和标准差（

12、同一组数据用该 区间中点值代替），求,的值（,的值四舍 五入取整数），并计算)7937( XP； （2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参 与这次活动，对参与此次知识竞答的幸运者制定 如下奖励方案： 得分低于的获得 1 次抽奖机会， 得分不低于的获得 2 次抽奖机会假定每次抽奖中，抽到 18 元红包的概率为 3 2 ，抽到 36 元红包的概率为 3 1 已知高三某同学是这次活动中的幸运者，记Y为该同学在抽奖中获得红 包的总金额，求Y的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额 参考数据：()0.6827PX；(22 )0.9545PX； (33 )0.9973PX 22（12

13、分） 已知函数( )lnf xax， 2 1 ( ) 2 g xxbxb，, a bR. （1）设)()(xxfxF，求( )F x在2 ,aa上的最大值； （2）设( )( )( )G xf xg x，若( )G x的极大值恒小于 0，求证： 4 e 2 ab. 高三模拟考试数学试题答案及评分标准高三模拟考试数学试题答案及评分标准 2020.04 说明： 一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查 内容参照评分标准酌情赋分. 二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影 响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确

14、答案应得分数一半；如果后继部分的 解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分. 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、单项选择题：每小题一、单项选择题：每小题 5 分，满分分，满分 40 分分 1A 2B 3B 4D 5B 6C 7D 8A 二、多项选择题：每小题二、多项选择题：每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 9BC 10BCD 11AD 12ACD 三、填空题：每小题三、填空题：每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 1 9 14405 153 1 2 16 2 | 62,4e aaa 或 四、解答题

15、：满分四、解答题：满分 70 分分 17.解：（1）当1n ， 22 11111 234 ,230,aaa aa-1 分 又 1 0,3. n aa -2 分 nnn Saan4322 2 时，当， 11 2 1 432 nnn Saa，-3 分 整理得，2 1 nn aa ，-4 分 32(1),21. nn anan -5 分 （2）因为1 n n a b ，所以 12 1 n bn ，-6 分 所以 1 1111 () (21)(23)2 2123 nn b b nnnn ，-7 分 所以 1 2231 1 1111111 11 ()() 2 355721232 323 nn bbb b

16、b nnn b ，-8 分 9, 7 1 ) 32 1 3 1 ( 2 1 n n 解得令，-9 分 所以n的最大值为 8 -10 分 18解：（1）所满足的三个条件是:，-1 分 ( )f x的周期T ，2，( )sin(2)f xxm，-2 分 又过点(0,0)，且 3 ( ) 32 f， 3 0,) 2 mm 2 sin +sin(+ 3 ，-3 分 23 sin()sin 32 ， 313 cossinsin 222 ，-4 分 133 3( cossin ) 222 ， 3 sin() 62 ，-5 分 又 0 2 ， 6 ， -6 分 又 11 sin0,0, 22 mmm，-7

17、分 1 ( )sin(2) 62 f xx -8 分 注：注：如果学生选取条件， 3 2 ， 3 ( )sin() 2 f xxm， -1 分 又过点（0，0），且 3 ( ) 32 f， 3 0,) 2 mmsin +sin(+ 2 ， 3 ) 2 sin(-sin 2 ，-2 分 33 cos,2sin() 242 -sin，-3 分 又 3 2 2 ，故此种选择不满足 -4 分 第第（1）问学生选条件问学生选条件求解，能正确求解，能正确做到以上步骤的可做到以上步骤的可给给 4 4 分分 （2）由 1 ( )sin(2)1 62 f xx，得 1 sin(2) 62 x，-9 分 22 ,

18、 66 xk或 5 22 , 66 xkkZ，-10 分 , 62 xkxkk 或Z， -11 分 所以，函数( )f x的图象与直线1y 相邻两个交点间的最短距离为 263 -12 分 19（1）证明：连结 1 AC，-1 分 O为BC的中点， 11 /OCBC， 111 1 2 ONOC NCBC ， 又MOAM2， 1 1 2 OMON AMNC ， 1 /MNAC . -2 分 又 11111 ,MNACC A ACACC A平面平面，-3 分 所以， 11 /AACCMN平面. -4 分 （2）因为ABC是边长为 2 的正三角形，O为BC的中点， 1 AOABC平面 ， 所以， 1

19、,AO BC AO两两垂直，以 1 ,OC OA OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示 的空间直角坐标系. -5 分 1 BB与平面ABC所成的角为 4 ，又 11 /AABB， 1 AA与平面ABC所成的角为 4 ， 又 1 AOABC平面 ， 1 AA与平面ABC所成的角为 1 A AO，即 1 4 A AO.-6 分 又ABC是边长为 2 的正三角形，O为BC的中点， 1 3AOAO， 由题意知， 11 (0,0, 3), ( 1,0,0),(1,3, 3)ABC，-7 分 所以， 11 (0,0, 3),( 1,0,0),(1,3, 3)OAOBOC ，-8 分 设平面 11 A

20、OC的法向量为 1111 ( ,)x y zn， 所以， 11 11 0 0 OA OC n n ，即 1 111 30 330 z xyz ，取 1 ( 3,1,0)n，-9 分 设平面 1 BOC的法向量为 2222 (,)xy zn， 由 2 21 0 0 OB OC n n ，得 2 222 0 330 x xyz ，取 2 (0,1,1)n，-10 分 所以 12 12 12 12 cos |42 2 n n n ,n |n |n ，-11 分 设二面角 11 AOCB的大小为， 22 12 214 sin1 cos,1 (). 44 n n 所以二面角 11 AOCB的正弦值为 1

21、4 4 .-12 分 20解：（1）设点),(yxB，),( 00 yxP， 则点)0 ,( 0 xA， 0 (, )xx yAB， 0 (0,)yAP，-1 分 3ABAP， 0 0 0 3 xx yy ， 0 0 3 xx y y ，-2 分 点),( 00 yxP在椭圆C上， 22 22 1 9 xy ab ，即为点B的轨迹方程.-3 分 又点B的轨迹是过) 3 , 0(Q的圆， 22 2 9 9 1 9 ab b ，-4 分 解得 2 2 9 1 a b ，所以椭圆C的方程为 2 2 1 9 x y. -5 分 （2）如图，延长 1 MF交C于点M， 由对称性可知： 12 |FMNF

22、，-6 分 由（1）可知 1( 2 20 F ， ）， 2(2 2 0 F， ）， 设 1 (M x， 1) y， 2 (M x， 2) y，直线 1 MF的方程为2 2xmy， 由 2 2 2 2 1 9 xmy x y 可得 22 (9)4 210mymy ， 0)9(432 22 mm， 12 2 4 2 9 m yy m ， 12 2 1 9 y y m ，-7 分 22 2 121212 2222 3261 |()4 (9)9 4 9 mm yyyyy y mmm ，-8 分 设 1 FM与 2 F N的距离为d，则四边形 12 FF NM面积 12 1 (|) 2 SFMF Nd

23、2 11 11 (|)| 22 MF M FMFMdMMdS ，-9 分 而 22121 1212 1 | 2 MF MF MFF M F SSSFFyy -10 分 S 22 22 2 2 1611211212 4 2=3 299 1 1 222 8 4 2 mm mm m m ，-11 分 当且仅当 2 2 8 1= 1 m m ，即7m 时，取等号. 故四边形 12 FF NM面积的最大值为 3-12 分 21.解：（1） 20 ()35 0.545 3 55 465 5 75 4.5 85 2 95 1 1300,E X ()65.E X 即65. -1 分 2222 ()(35 65

24、)0.025(45 65)0.15(55 65)0.2(65 65)0.25D X 222 (75 65)0.225(85 65)0.1 (95 65)0.05210 . -2 分 由 196 2 225，则 1415，而 2 14.5210.5210 ，故14， -3 分 则X服从正态分布 2 (65,14 )N， -4 分 (22 )() (3779)(2) 2 PXPX PXPX 0.95450.6827 0.8186. 2 -6 分 (2) Y的取值为18,36,54,72.-7 分 由题意知， 1 ()() 2 P XP X， 121111227 (18), (36), 233232

25、3318 P YP Y 12111221111 (54), (72), 233233923318 P YP Y -9 分 所以Y 的分布列为 Y 18 36 54 72 P 1 3 7 18 2 9 1 18 -10 分 1721 ( )1836547236 318918 E Y ，-11 分 估算所需要抽奖红包的总金额为：200 36=7200（元）. -12 分 22解：(1)法一：由题意知0a ， ( )lnF xaxx ， ( )ln(ln1)F xaxaax ，-1 分 当 1 0 e x时，( )0F x ；当 1 e x 时，( )0F x ， ( )F x的单调减区间是 1 (

26、0, ) e ，单调增区间是 1 ( ,) e . -2 分 从而 max ( )( ),(2 )F xF a Fa， 于是 222 (2 )( )2ln2lnln4FaF aaaaaaa，-3 分 当 1 4 a 时，(2 )( )0FaF a， 2 max ( )(2 )2ln2F xFaaa， 当 1 0 4 a时，(2 )( )0FaF a， 2 max ( )( )lnF xF aaa，-4 分 综上， 2 max 2 1 ln ,0, 4 ( ) 1 2ln2 ,. 4 aaa F x aa a -5 分 (1)法二：由题意知0a ，( )lnF xaxx，( )ln(ln1)F

27、xaxaax ，-1 分 当 1 0 e x时，( )0F x ；当 1 e x 时，( )0F x ， ( )F x的单调减区间是 1 (0, ) e ，单调增区间是 1 ( ,) e . -2 分 当 1 2 e a 时，即 1 0 2e a时， 2 max ( )( )lnF xF aaa， 当 1 e a 时， 2 max ( )(2 )2ln2F xFaaa，-3 分 当 11 2ee a时，此时 max ( )( ),(2 )F xF a Fa， 又 222 (2 )( )2ln2lnln4FaF aaaaaaa， 所以， 当 11 4e a时，(2 )( )0FaF a， 2 m

28、ax ( )(2 )2ln2F xFaaa， 当 11 2e4 a时，(2 )( )0FaF a， 2 max ( )( )lnF xF aaa，-4 分 综上，当 ,2 xaa时， 2 max 2 1 ln ,0, 4 ( ) 1 2ln2 ,. 4 aaa F x aa a -5 分 （2）依题意知： 2 1 ( )( )( )ln 2 G xf xg xaxxbxb， 则 2 ( )(0) axbxa G xxbx xx ，-6 分 因为( )G x存在极大值，所以关于x的方程 2 0xbxa有两个不相等的正根 12 ,x x， 不妨设 12 0xx，则 12 x xa，所以0a ，且

29、1 0xa，-7 分 当 1 (0,)xx时， ( )0G x，( )G x在 1 (0,)x上单调递增； 当 12 ()xx x,时， ( )0G x，( )G x在 12 ()x x,上单调递减； 当 2 (,)xx时， ( )0G x，( )G x在 2 (,)x 上单调递增. 所以( )G x有极大值 2 1111 1 ( )ln 2 G xaxxbxb，-8 分 又 2 11 bxxa ， 所以，当 1 0xa时， 2 111 1 ( )ln0 2 G xaxxab恒成立，-9 分 设 2 1 ( )ln 2 v xaxxab，(0,)xa， 则 2 ( ) aax v xx xx

30、，-10 分 (0,)xa， 2 ( )0 ax v x x ，( )v x在(0,)a上单调递增， 3 ( )()ln0 2 v xvaaaab， 3 ln 2 baaa， 55 lnln 222 a abaaaaa，-11 分 令 5 ( )ln (0) 22 a k aaa a，则 511 ( )(1 ln )(4ln ) 222 k aaa， 当 4 (0,e )a时，( )0k a ，所以( )k a在 4 (0,e )上为增函数； 当 4 (e ,)a时，( )0k a ，所以( )k a在 4 (e ,)上为减函数. 所以 44444 511 ( )(e )ee lnee 222 k ak， 即 4 e 2 ab.-12 分