重庆市缙云教育联盟2023届高三上学期第一次诊断性检测数学试卷+答案.pdf

1、重 庆 缙 云 教 育 联 盟重 庆 缙 云 教 育 联 盟2023 年高考第一次诊断性检测2023 年高考第一次诊断性检测数学试卷数学试卷考生须知：公众号【黑洞视角】下载电子版1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集1,2,3,4,5U，集

2、合1,2,3A，2,4B，则UAB （）A1,3B1,3,5C1,2,3,5D1,2,3,4,52已知复数z满足32i1 iz，则z的虚部为（）A12B52C1i2D52i3正方形ABCD的边长为 1，则|2|ABAD（）A1B3C3D54函数 ln26f xxx的零点所在的区间是（）A0,1B1,2C2,3D3,45 双曲线222210,0 xyabab的右焦点恰是抛物线220ypx p的焦点F，双曲线与抛物线在第一象限交于点2,Am，若5AF，则双曲线的方程为（）A22163xyB2218xyC22136xyD2218yx 6设,x yR，且01xy，则（）A22xyBtantanxyC4

3、2xyD1(2)xyyx7英国数学家布鲁克泰勒(BrookTaylor，1685.81731.11)以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数()f x在包含0 x的某个开区间(,)a b上具有1n阶导数，那么对于,xa b，有()20000000()()()()()()()()()0!1!2!nnnf xfxfxfxf xxxxxxxR xn，其中，(1)(1)0()()()(1)!nnnfR xxxn（此处介于0 x和x之间）.若取00 x，则()2(0)(0)(0)(0)()()()()()0!1!2!nnnfffff xxxxR xn，其中，(1)(1)()(

4、)()(1)!nnnfR xxn（此处介于 0 和x之间）称作拉格朗日余项.此时称该式为函数()f x在0 x 处的n阶泰勒公式，也称作()f x的n阶麦克劳林公式.于是，我们可得111ee11!2!(1)!nn（此处介于 0 和 1之间）.若用3(1)!n近似的表示e的泰勒公式的拉格朗日余项e()(1)!nR xn，当()nRx不超过12500时，正整数n的最小值是（）A5B6C7D88设函数 f x的定义域为R，且 1f x 是奇函数，当02x时，241f xxx；当2x 时，421xfx当k变化时，方程 10f xkx 的所有根从小到大记为12,nx xx，则 12nfxfxfx取值的集

5、合为（）A1,3B1,3,5C1,3,5,7D1,3,5,7,9二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 2 分。9函数 1252xxfxx x，且 f af bf cabc，则（）A f x的值域为0,B不等式 1fx 的解集为,0C2abD6,7abc 10为了研究汽车减重对降低油耗的作用，对一组样本数据 1122,nnx yxyxy进行分析，其中ix表示减重质量（单位：千克），iy表示每行驶一百千米降低的油耗（单位：升），1,2,in，由此得到的线性回归方程为(0)y

6、bxa b.下列说法正确的是（）A a的值一定为 0Bb越大，减重对降低油耗的作用越大C残差的平方和越小，回归效果越好D至少有一个数据点在回归直线上11已知 1，1a，2a，na，2 为等差数列，记12nnSaaa，12nnTa aaL，则（）AnSn为常数BnnT为常数CnS随着 n 的增大而增大DnT随着 n 的增大而增大12在三棱锥PABC中，已知PA 底面 ABC，ABBC EF,、分别是线段PBPC、上的动点.则下列说法正确的是（）A当AEPB时，AEPCB当AFPC时，AEF一定为直角三角形C当/EFBC时，平面AEF 平面PABD当PC 平面 AEF 时，平面AEF与平面PAB不

7、可能垂直三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13函数 ln 211f xxx的图象在点 0,0f处的切线方程是_14若sin2cos，则22cossincossin_152023 年重庆市某旅行社拟推出主题为“新时代，新征程，新重庆”的主题旅游路线，这些旅游线路中包含红岩革命纪念馆、渣滓洞、白公馆、大轰炸惨案遗址、周公馆等 5 个传统红色旅游景区，还有洪崖洞、李子坝、解放碑、大足石刻、磁器口、天坑地缝、巫山小三峡等 7 个展现重庆人文山水奇妙魔幻景色的景区.为安排旅游路线，从上述 12 个景区中选 3 个景区，则至少含有 1 个传统红色旅游景区的选法有_种.16 平面直

8、角坐标系中，点3,3A、3,3B、2 3,0C，动点P在ABC的内切圆上，则12PCPA的最小值为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币如图 1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图 2 所示，小圆直径为1，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两

9、个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字设OAB，五个正方形的面积和为S(1)求面积S关于的函数表达式；(2)求面积S最小值18 如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABC D中，线段DB的中点为F，点G在棱CD上，且满足2CGGD.(1)若 E 为棱1CC的中点，求证：1EFBC；(2)求直线1AF与1C G所成角的余弦值.19截至2020年末，某城市普通汽车（除新能源汽车外）保有量为300万辆.若此后该市每年新增普通汽车8万辆，而报废旧车转购新能源汽车的约为上年末普通汽车保有量的10%，其它情况视为不计.(1)设从2020年起该市每年末普通汽车的保有量构成数列

10、na，试写出na与1na的一个递推公式，并求2023年末该市普通汽车的保有量（精确到整数）；(2)根据（1）中na与1na的递推公式，证明数列80na 是等比数列，并求从哪一年起，该市普通汽车的保有量首次少于150万辆？（参考数据：90.90.39，100.90.35，110.90.31，120.90.28）20小明将四件物品1234,A A A A摆放在一起，然后让小狗不放回地去依次取1234,A A A A这四件物品，若当次小狗取的物品和小明给的指令一致，则给小狗记 1 分，若不一致则记 0 分如小狗取得物品的顺序为3214,A A A A，则小狗得 2 分显然小狗最低得 0 分，最高得

11、4 分假设小狗是随机地取物品，设它的得分为 X(1)求随机变量 X 的分布列和数学期望；(2)若小明对小狗进行了辨别物品的训练之后，再让小狗取物品，当小狗连续两次得分都大于 2 分时，小明认为自已的训练是卓有成效的请从概率学的角度解释小明这么认为是否合理21若椭圆 C 的对称轴为坐标轴，长轴长是短轴长的 2 倍，一个焦点是13,0F，直线 l：12x，P 是 l上的一点，射线 OP 交椭圆 C 于点 R，其中 O 为坐标原点，又点 Q 在射线 OP 上，且满足OQOROROP(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)当 P 点在直线 l 上移动时，求点 Q 的轨迹方程22已知函数 sinf xxx.

12、(1)若0 x是函数 f x的极值点0 x，证明：4200201xfxx；(2)证明：对于*Nn，存在 f x的极值点1x，2x满足221222114124nxxn.重 庆 缙 云 教 育 联 盟重 庆 缙 云 教 育 联 盟2023 年高考第一次诊断性检测2023 年高考第一次诊断性检测数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准1-8 CBDCDDCC【7 题解析】由条件有311!2500n，即1!7500n，因为7!76 54 3 2 150407500 8!8 7!403207500，所以n的最小值为7.故选：C.【8 题解析】1fx 为奇函数，()fx图像关于点0,1对称，由 10f

13、 xkx 得：1fxkx，则方程的根即为 f x与直线1ykx的交点，作出 f x图像如图所示，当5 120k，即2k 时，如图中11yk x所示时，fx与直线1ykx有5个交点125,x xx，f x与1ykx均关于0,1对称，125505fxfxfxf；当3 15 12020k，即12k时，如图中21yk x所示时，f x与直线1ykx有7个交点127,x xx，f x与1ykx均关于0,1对称，127707fxfxfxf；当2 13 14020k，即114k时，如图中31yk x所示时，f x与直线1ykx有5个交点125,x xx，f x与1ykx均关于0,1对称，125505fxfx

14、fxf；当2 11404k时，如图中41yk x所示时，f x与直线1ykx有3个交点123,x xx，f x与1ykx均关于0,1对称，123303fxfxfxf；当2 140k，即14k 时，如图中51yk x和61yk x所示时，fx与直线1ykx有且仅有一个交点0,1，11fx.综上所述：12nfxfxfx取值的集合为1,3,5,7.故选：C.9.CD10.BC11.ACD12.ACD【11 题解析】由于 1，1a，2a，na，2 为等差数列，所以12121223123322nnnSaaaaaann，对于 A，32nSn，所以 A 正确，对于 C，32nSn，nS随着 n 的增大而增大

15、，故正确，对于 B,1，1a，2a，na，2,公差为11dn,所以1223121,1111nannnnnnnnana，因此1223212342111111nnnnnnnnnnTa aannnnn，2321232111nnnnnnnnnnnTnn不为常数，故 B 错误，对于 D,1123213423,12nnnnnnnnnnTTnn,所以1111134231222312 231232122222nnnnnnnnnnnnnnnnnTTnnnnnnnn，令 1ln1,01f xxxx，则 221110,xfxxxx在01x恒成立，所以 10f xf，即1ln1xx，(10 x）,因此1112ln1

16、ln111221nnnnnnnnn，所以111e2nnn,进而11112 2312 232 232 2346e12e2323622nnnnnnnnnTnTnnnnnn，所以1nnTT，故nT随着 n 的增大而增大，D 正确，故选：ACD【12 题解析】对 A 选项，PA 底面ABC，且BC平面ABC，PABC,ABBC，PAABA，且,PA AB平面PAB，BC平面PAB,AE 平面PAB，BCAE，AEPB，BCPBB，且,BC PB平面BCP，AE平面BCP，PC 平面BCP，AEPC，故 A 正确，对 B 选项，当AFPC时,无法得出AEF一定为直角三角形，例如E点取点,BABF不是直角

17、三角形，若90AFB，则BFAF，又AFPC，BFPCF，,BF PC 平面BCP，则AF 平面BCP，BC 平面BCP，则AFBC，而PABC，AFPAA，,AF PA平面ACP，则BC平面ACP，AC 平面ACP，则BCAC，显然不成立，故此时90AFB，若90BAF，则AFAB，APAB，AFAPA，,AF AP 平面ACP,AB平面ACP，AC 平面ACP，ABAC，显然不成立，故此时90BAF，若90ABF，则BFBA，而CBBA，,BF CB平面BCP，BFCBB，所以BA 平面BCP，BP 平面BCP，BABP，显然不成立，故90ABF，故 B 错误，对C 选项，由 A 选项证得

18、BC平面PAB，/EF BCQ，EF平面PAB，EF 平面AEF，平面AEF 平面PAB，故 C 正确，对 D 选项，在平面PAB内，过点P作AE的垂线，垂足为G，假设平面AEF 平面PAB，平面AEF 平面PABAE，PGAE，且PG 平面PAB，PG平面AEF，而若此时PC 平面AEF，这与过平面外一点作平面的垂线有且只有一条矛盾，故当PC 平面AEF时,平面AEF与平面PAB不可能垂直，故 D 正确，故选：ACD.13310 xy 14151518516.3 72【15 题解析】由题得从上述 12 个景区中选 3 个景区，共有312220C个结果，由题得从上述 12 个景区中选 3 个景

19、区，全部不是传统红色旅游景区的选法有3735C，所以至少含有 1个传统红色旅游景区的选法有 220-35=185 种.故答案为：185【16 题解析】由两点间的距离公式可知6ABBCAC，则ABC是边长为6的等边三角形，设ABC的内切圆的半径为r，则23161842ABCSr，解得3r，因为点A、B关于x轴对称，所以，ABC的内切圆圆心在x轴上，易知直线AB的方程为3x ，原点O到直线AB的距离为3，所以，ABC的内切圆为圆22:3O xy，设点,P x y，2222222 34 31244 334PCxyxyxxxy 22223234222xyxyPE，其中点3,02E，所以，22133 7

20、33222PCPAPEPAAE ，当且仅当点P为射线AE与圆O的交点时，等号成立，故12PCPA的最小值为3 72.故答案为：3 72.17(1)解：由图可知，小正方形的边长为sin，且sinAB，大正方形的边长为12cossincos2sin2，所以，22224sincos2sin8sincos4sincosS1cos21cos29782sin22sin2cos22222，3 分因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以sincos2sin，可得1tan3，设00,2且满足01tan3，所以，97cos22sin222S，00,，锐角0满足01tan3.5 分(2)解：979652si

21、n2cos2sin 22222S，锐角满足7tan4，因为00,2，则022，00202tan3tan21tan4且020,，则020,2，因为000tan2tantan 2801tan2tan ，且020,，所以，02,2，所以min9652S，此时sin 21，则22，因此，面积S的最小值为965210 分18（1）如图，以 D 为原点，DA，DC，1DD所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz，2 分则0,2,1E，12,2,2B，0,2,0C，1,1,0F.因为1,1,1EF ，12,0,2BC ，所以 11,1,12,0,22020EF BC .所以1EFBC，故1

22、EFBC.4 分（2）由（1）中的坐标系及题意可知12,0,2A，10,2,2C，1,1,0F，20,03G.5 分因为11,1,2A F ，140,23C G.所以114481,1,20,24333AF C G ，8 分又16AF ，12 133C G ，所以11111182 783cos,392 1363AF C GAF C GAF C G ，故直线1AF与1C G所成角的余弦值为2 7839.12 分19（1）1300a，10.98nnaa，故20.9 3008278a，30.9 2788258a，所以2023年末该市普通汽车的保有量40.9 2588240a（万辆）.4 分（2）10.

23、98nnaa得1800.9(80)nnaa，而180220a，故80na 是首项为220，公比为0.9的等比数列，6 分所以180220 0.9nna，即1220 0.980nna，8 分解1220 0.980150nna得1770.9,0.310.352222n，求得12n，11 分即从2031年末开始，该市普通汽车的保有量首次少于150万辆.12 分20（1）X 可能的取值为 0，1，2，4（显然，若小狗取对了三件物品，则第四件物品也一定是取对的，故 X 不可能为3）1分24444411C1(4),(2)A24A4P XP X，1444C211113(1),(0)1A324438P XP

24、X 4 分故分布列为：X0124P3813141246 分3111()0124183424E X 8 分（2）小狗连续两次得分都大于 2 分，即小狗每一次都得四分若小狗取物品都是随机的，那么连续两次得 4 分的概率仅为2110.001724576，这个概率非常小，所以小明认为小狗取物品应该不是随机的，是他对小狗的训练起了作用，这个认为是合理的12 分21（1）解：设椭圆的标准方程为22221xyab0ab，由题意可得22223abcabc，解得2 3a，3b，4 分所以椭圆的标准方程为221123xy；5 分（2）解：设点 P，O，R 的坐标分别为12,py，,x y，,RRxy，由题设知0R

25、x，0 x，由点 R 在椭圆上及点 O，Q，R 共线，得方程组22112RRpRxyxyyxx，解得2222124Rxxxy，2222124Ryyxy，7 分由点 O、Q、P 共线，得12Pyyx，即12pyyx，8 分因为OQOROROP，所以2OQOPOR，则222222212pRRxyyxy，10 分将、式代入上式，整理得点 Q 的轨迹方程为2211424xy0 x 12 分22（1）函数()f x在定义域R上可导，()sincosfxxxx1 分令()0fx，得sincos0 xxx2 分显然，对于满足上述方程的x有cos0 x，上述方程化简为tanxx 此方程一定有解()f x的极值

26、点0 x一定满足00tan xx 由222222sintansinsincos1tanxxxxxx，得220020tansin1tanxxx因此，2422220000002200tan()sin1tan1xxf xxxxxx 5分（2）设 tang xxx，,22xkk，Zk，则 2110cosgxx，6 分所以 g x在,22xkk，Zk，上单调递增，由于 g x为奇函数，所以不妨设120 xx，其中 120g xg x，且12,x x为相邻的两个零点，即122nxn，23+22nxn，Nn，8 分 1111112tantan=g xxxxxg xg x，由于 g x在3,22xnn，Nn，

27、上单调递增，所以123+22xnxn，Nn因此210 xx，212121122112(tantan)(1tantan)tan()(1)tan()0 xxxxxxxxx xxx 所以12tan()0 xx，因此21tan()0 xx，故212xx，10 分由于当02x时，令2221sintan,10coscosxyxx yxx，所以tanyxx在02x单调递增，所以当02x时，tan xx，由于1202xx121212tantanxxxxxx，则2121122112212112(1)tan()(1)(1)(1)xxx xxxx xxxx xx xxx，所以122112 12x xxxx x，记 11122xh xxx 在2,单调递增，由于12nx，22nx，Nn，所以221214x xn，所以222122114124nxxn综上，221222114124nxxn12分