十年(2010-2019) 数学高考真题分类汇编（试卷版+解析版）：数列.docx

1、1 十年（20102019）数学高考真题分类汇编 数 列 一、选择题 1.(2019全国 1理 T9)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.已知 S4=0,a5=5,则( ) A.an=2n-5 B.an=3n-10 C.Sn=2n 2-8n D.Sn=1 2n 2-2n 2.(2019浙江T10)设 a,bR,数列an满足 a1=a,an+1= 2+b,nN*,则( ) A.当 b=1 2时,a1010 B.当 b=1 4时,a1010 C.当 b=-2 时,a1010 D.当 b=-4 时,a1010 3.(2018全国 1理 T4)记 Sn为等差数列an的前 n 项和,若 3S3=S2+

2、S4,a1=2,则 a5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 4.(2018浙江T10)已知 a1,a2,a3,a4成等比数列,且 a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若 a11,则( ) A.a1a3,a2a4 5.(2018北京理 T4 文 T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比 例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从 第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 2 12 .若第一个单音的频率为 f,则第 八个单音的频率为( ) A.2 3 f B

3、.22 3 f C. 25 12 f D. 27 12 f 6.(2017全国 1理 T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴 趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是 2 0,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22, 依此类推.求满足如下条件的最小整数 N:N100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码 是( ) A.440 B.330 C.220 D.110 7.(2017全

4、国 3理 T9)等差数列an的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6成等比数列,则an前 6 项的和为 ( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8 8.(2016全国 1理 T3)已知等差数列an前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100=( ) 2 A.100 B.99 C.98 D.97 9.(2015浙江理T13)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( ) A.a1d0,dS40 B.a1dc1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=cn+an 2 ,cn+1=bn+an 2 ,则( ) A.Sn为递减数列 B.Sn为

5、递增数列 C.S2n-1为递增数列,S2n为递减数列 3 D.S2n-1为递减数列,S2n为递增数列 19.(2013全国 1理 T7)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 20.(2012全国理 T5)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7 21.(2012全国文 T12)数列an满足 an+1+(-1) na n=2n-1,则an的前 60 项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830 二、填

6、空题 1.(2019全国 3文 T14)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.若 a3=5,a7=13,则 S10= . 2.(2019全国 3理 T14)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.若 a10,a2=3a1,则S10 S5 = . 3.(2019江苏T8)已知数列an(nN *)是等差数列,S n是其前 n 项和.若 a2a5+a8=0,S9=27,则 S8的值 是 . 4.(2019北京理T10)设等差数列an的前n 项和为 Sn.若 a2=-3,S5=-10,则a5= ,Sn的最小值为 . 5.(2019全国 1文 T14)记 Sn为等比数列an的前 n 项和.若 a1=1,S

7、3=3 4,则 S4= . 6.(2019全国 1理 T14)记 Sn为等比数列an的前 n 项和.若 a1=1 3,4 2=a6,则 S5=_. 7.(2018全国 1理 T14)记 Sn为数列an的前 n 项和.若 Sn=2an+1,则 S6= . 8.(2018北京理 T9)设an是等差数列,且 a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为 . 9.(2018上海T10)设等比数列an的通项公式为 an=q n-1(nN*),前 n 项和为 S n,若 lim n Sn an+1 = 1 2,则 q=. 10.(2018江苏T14)已知集合 A=x|x=2n-1,nN *,B=x|x=

8、2n,nN*.将 AB 的所有元素从小到大依次 排列构成一个数列an.记 Sn为数列an的前 n 项和,则使得 Sn12an+1成立的 n 的最小值为 . 11.(2017全国 2理 T15)等差数列an的前 n 项和为 Sn,a3=3,S4=10,则 =1 1 =_. 12.(2017全国 3理 T14)设等比数列an满足 a1+a2=-1,a1-a3=-3,则 a4= . 13.(2017江苏理 T9 文 T9)等比数列an的各项均为实数,其前 n 项和为 Sn.已知 S3=7 4,S6= 63 4 ,则 a8=. 14.(2016浙江理T13文T13)设数列an的前n项和为Sn,若S2=

9、4,an+1=2Sn+1,nN *,则a 1= ,S5= . 15.(2016北京理 T12)已知an为等差数列,Sn为其前 n 项和.若 a1=6,a3+a5=0,则 S6= . 16.(2016全国 1理 T15)设等比数列an满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2an的最大值为 . 17.(2015全国 1文 T13)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前 n 项和.若 Sn=126,则 n= . 18.(2015湖南理 T14)设 Sn为等比数列an的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,S3成等差数列,则 an= . 4 19.(2015福建

10、文T16)若a,b是函数f(x)=x 2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适 当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于 . 20.(2015江苏理 T11)设数列an满足 a1=1,且 an+1- an=n+1(nN *).则数列,1 -前 10 项的和为_. 21.(2015全国 2理 T16)设 Sn是数列an的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn= . 22.(2015广东理 T10)在等差数列an中,若 a3+a4+a5+a6+a7=25,则 a2+a8= . 23.(2015陕西文 T13)中位数为

11、1 010 的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项 为 . 24.(2014江苏理 T7)在各项均为正数的等比数列an中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6的值是 . 25.(2014 广 东 文T13) 等 比 数 列 an 的 各 项 均 为 正 数 , 且a1a5=4, 则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= . 26.(2014安徽理 T12)数列an是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q= . 27.(2014全国 2文 T16)数列an满足 an+1= 1 1-an,a 8=2

12、,则 a1=_. 28.(2014北京理 T12)若等差数列an满足 a7+a8+a90,a7+a101 时,记 cn= ,求数列cn的前 n 项和 Tn. 42.(2014全国 2理 T17)已知数列an满足 a1=1,an+1=3an+1. (1)证明:,+ 1 2-是等比数列,并求an的通项公式; (2)证明: 1 1 + 1 2+ 1 10 B.当 b=1 4时,a1010 C.当 b=-2 时,a1010 D.当 b=-4 时,a1010 【答案】A 【解析】当 b=1 2时,a2=1 2 + 1 2 1 2,a3=2 2 + 1 2 3 4,a4=3 2 + 1 2 17 161,

13、当 n4 时,an+1= 2 + 1 2 21,则 lo17 16a n+12lo17 16a nlo17 16a n+12 n-1,则 a n+1（17 16 ） 2-1(n4),则 a 10（17 16） 26=（1+1 16） 64=1+64 16 + 6463 2 1 162+1+4+710,故选 A. 3.(2018全国 1理 T4)记 Sn为等差数列an的前 n 项和,若 3S3=S2+S4,a1=2,则 a5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 【答案】B 【解析】 因为 3S3=S2+S4,所以 3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即 S3=a4-a3.设公

14、差为 d,则 3a1+3d=d,又由 a1=2,得 d=-3,所 以 a5=a1+4d=-10. 4.(2018浙江T10)已知 a1,a2,a3,a4成等比数列,且 a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若 a11,则( ) A.a1a3,a2a4 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为 q,则 a1+a2+a3+a4=1(1- 4) 1- ,a1+a2+a3=1(1- 3) 1- . 14 a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3), a1+a2+a3=1+2+3+4,即 a1(1+q+q 2)=1(1+2+3). 又 a11,q1,即 q+q20,解得 q0 舍去).

15、由 a11,可知 a1(1+q+q 2)1, a1(1+q+q 2+q3)0,即 1+q+q2+q30, 即(1+q)+q 2(1+q)0,即(1+q)(1+q2)0,这与 q100,令(1+) 2 100,得 n14 且 nN *,即 N 出现在第 13 组之后.若要使最小整数 N 满足:N100 且 前 N 项和为 2 的整数幂,则 SN-(1+) 2 应与-2-n 互为相反数,即 2 k-1=2+n(kN*,n14),所以 k=log 2(n+3),解 得 n=29,k=5. 15 所以 N=29(1+29) 2 +5=440,故选 A. 7.(2017全国 3理 T9)等差数列an的首

16、项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6成等比数列,则an前 6 项的和为 ( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为 d,则 d0,a3 2=a2a6, 即(1+2d) 2=(1+d)(1+5d), 解得 d=-2, 所以 S6=61+65 2 (-2)=-24,故选 A. 8.(2016全国 1理 T3)已知等差数列an前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97 【答案】C 【解析】因为 S9=(a1+a9)9 2 =27,a1+a9=2a5, 所以 a5=3.又因为 a10=8,所以 d

17、=a10-a5 10-5 =1. 故 a100=a10+(100-10)1=98. 9.(2015浙江理T13)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( ) A.a1d0,dS40 B.a1dc1,不妨设 b1=4a1 3 ,c1=2a1 3 ,p=1 2(a1+b1+c1)= 3 2a1,则 S1 = 3a1 2 a1 2 a1 6 5a1 6 = 15 12 a1 2; a2=a1,b2= 2 3a1+a1 2 = 5 6a1,c2= 4 3a1+a1 2 = 7 6a1, S2 = 3a1 2 a1 2 2a1 3 a1 3 = 6 6 a1

18、2;显然 S2S1. 同理,a3=a1,b3= 7 6a1+a1 2 = 13 12a1, c3= 5 6a1+a1 2 = 11 12a1,S3 = 3a1 2 a1 2 5 12a1 7 12a1 = 105 24 a1 2,显然 S3S2. 18 19.(2013全国 1理 T7)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3. d=am+1-am=3-2=1. Sm=m(a1+am) 2

19、 = m(a1+2) 2 =0, a1=-2,am=-2+(m-1)1=2.m=5. 20.(2012全国理 T5)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7 【答案】D 【解析】an为等比数列,a5a6=a4a7=-8. 联立 4+ 7= 2, 47= -8 可解得 4= 4, 7= -2 或4 = -2, 7= 4, 当 4= 4, 7= -2时,q 3=-1 2, 故 a1+a10=4 3+a7q 3=-7; 当4 = -2, 7= 4 时,q 3=-2,同理,有 a 1+a10=-7. 21.(2012全国文 T12

20、)数列an满足 an+1+(-1) na n=2n-1,则an的前 60 项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830 【答案】D 【解析】an+1+(-1) na n=2n-1, a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,a57=a1,a58=113 +a1,a59=2-a1,a60=119-a1, a1+a2+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+(a57+a58+a59+a60) =10+26+

21、42+234=15(10+234) 2 =1 830. 二、填空题 1.(2019全国 3文 T14)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.若 a3=5,a7=13,则 S10= . 【答案】100 【解析】设等差数列an的公差为 d, 19 则a3 = a1+ 2d = 5, a7= a1+ 6d = 13,解得, a1= 1, d = 2. 故 S10=10a1+109 2 d=101+109 2 2=100. 2.(2019全国 3理 T14)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.若 a10,a2=3a1,则S10 S5 = . 【答案】4 【解析】设等差数列an的公差为 d. a10,

22、a2=3a1, a1+d=3a1,即 d=2a1. S10 S5 = 10a1+109 2 d 5a1+54 2 d = 100a1 25a1 =4. 3.(2019江苏T8)已知数列an(nN *)是等差数列,S n是其前 n 项和.若 a2a5+a8=0,S9=27,则 S8的值 是 . 【答案】16 【解析】an为等差数列,设公差为 d,a2a5+a8=0,S9=27, (a1+ d)(a1+ 4d) + a1+ 7d = 0, 9a1+ 98 2 d = 27, 整理得 a1+4d=3,即 a1=3-4d, 把代入解得 d=2,a1=-5. S8=8a1+28d=16. 4.(2019

23、北京理T10)设等差数列an的前n 项和为 Sn.若 a2=-3,S5=-10,则a5= ,Sn的最小值为 . 【答案】0 -10 【解析】等差数列an中,由 S5=5a3=-10,得 a3=-2,又 a2=-3,公差 d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0,由等差数列an的性 质得当 n5 时,an0,当 n6 时,an大于 0,所以 Sn的最小值为 S4或 S5,即为-10. 5.(2019全国 1文 T14)记 Sn为等比数列an的前 n 项和.若 a1=1,S3=3 4,则 S4= . 【答案】5 8 【解析】设等比数列an的公比为 q. S3=a1+a1q+a1q 2=1+q+q2

24、=3 4, 即 q 2+q+1 4=0.解得 q=- 1 2. 20 故 S4=1(1- 4) 1- = 1-(-1 2) 4 1+1 2 = 5 8. 6.(2019全国 1理 T14)记 Sn为等比数列an的前 n 项和.若 a1=1 3,4 2=a6,则 S5=_. 【答案】121 3 【解析】设等比数列an的公比为 q, 则 a4=a1q 3=1 3q 3,a 6=a1q 5=1 3q 5. 4 2=a6,1 9q 6=1 3q 5.q0,q=3. S5=1(1- 5) 1- = 1 3(1-3 5) 1-3 = 121 3 . 7.(2018全国 1理 T14)记 Sn为数列an的前

25、 n 项和.若 Sn=2an+1,则 S6= . 【答案】-63 【解析】Sn=2an+1, Sn-1=2an-1+1(n2). -,得 an=2an-2an-1,即 an=2an-1(n2). 又 S1=2a1+1,a1=-1.an是以-1 为首项,2 为公比的等比数列,则 S6=-1(1-2 6) 1-2 =-63. 8.(2018北京理 T9)设an是等差数列,且 a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为 . 【答案】an=6n-3 【解析】an为等差数列,设公差为 d, a2+a5=2a1+5d=36. a1=3,d=6.an=3+(n-1)6=6n-3. 9.(2018上海T1

26、0)设等比数列an的通项公式为 an=q n-1(nN*),前 n 项和为 S n,若 lim n Sn an+1 = 1 2,则 q= . 【答案】3 【解析】由 an=q n-1,得 a n+1=q n.当 q=1 时,不满足题意;当 q1 时,S n=a1(1-q n) 1-q = 1-qn 1-q . 若 012an+1成立的 n 的最小值为 . 【答案】27 【解析】若 an+1=2 k(kN*),则 S n=2 1+22+2k-1+1+3+2k-1=2k-2+(2k-1)2(2k-1)2+2k-2122k. 令 2 k=t1 4t 2+t-212tt(t-44)8. t64k6.此

27、时,n=k-1+2 k-1=37. 若 an+1=2k+1(kN *), 则 Sn=2 1+22+2t+1+3+2k-1(2t12(2k+1)2t+1-k2+24k+14. -k 2+24k+140)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适 当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于 . 【答案】9 【解析】由题意,得 + = 0, = 0, , 0, 0. 不妨设a0,a3=2. a1a2a3a4a5=(a1a5)(a2a4)a3=2 5. log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5 =log2(a1a2a3a4a5)=log22 5=5

28、. 26.(2014安徽理 T12)数列an是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q= . 【答案】1 【解析】设数列an的公差为 d,则 a1=a3-2d,a5=a3+2d, 由题意得,(a1+1)(a5+5)=(a3+3) 2,即(a 3-2d+1)(a3+2d+5)=(a3+3) 2,整理,得(d+1)2=0, d=-1,则 a1+1=a3+3, 故 q=1. 27.(2014全国 2文 T16)数列an满足 an+1= 1 1-an,a 8=2,则 a1=_. 【答案】1 2 【解析】将 a8=2 代入 an+1= 1 1-an,可求得 a 7=

29、1 2; 25 将 a7=1 2代入 an+1= 1 1-an,可求得 a 6=-1; 将 a6=-1 代入 an+1= 1 1-an,可求得 a 5=2. 由此可知数列an是一个周期数列,且周期为 3,所以 a1=a7=1 2. 28.(2014北京理 T12)若等差数列an满足 a7+a8+a90,a7+a100,即 a80;而 a7+a10=a8+a90,01),则 f(x)=1- 2 . 令 f(x)=0,得 x=e. 30 列表如下: x (1,e) e (e,+) f(x) + 0 - f(x) 极大值 因为2 2 = 8 6 9 6 = 3 3 , 所以 f(k)max=f(3)

30、=3 3 . 取 q=3 3 ,当 k=1,2,3,4,5 时, ln q, 即 kq k,经检验知 qk-1k 也成立. 因此所求 m 的最大值不小于 5. 若 m6,分别取 k=3,6,得 3q 3,且 q56,从而 q15243,且 q15216, 所以 q 不存在.因此所求 m 的最大值小于 6. 综上,所求 m 的最大值为 5. 7.(2018北京文 T15)设an是等差数列,且 a1=ln 2,a2+a3=5ln 2. (1)求an的通项公式; (2)求1+ 2+. 【解析】(1)设等差数列an的公差为 d, a2+a3=5ln 2.2a1+3d=5ln 2, 又 a1=ln 2,

31、d=ln 2.an=a1+(n-1)d=nln 2. (2)由(1)知 an=nln 2. =e nln 2=2=2n, 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. 1+ 2+=2+2 2+2n=2n+1-2. 1+ 2+=2 n+1-2. 8.(2018上海T 21)给定无穷数列an,若无穷数列bn满足:对任意 xN *,都有|b n-an|1,则称bn与 an“接近”. (1)设an是首项为 1,公比为1 2的等比数列,bn=an+1+1,nN *,判断数列b n是否与an接近,并说明理由; (2)设数列an的前四项为a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,bn是一个与an接近的数列,记集合

32、M=x|x=bi,i=1,2,3,4, 求 M 中元素的个数 m: 31 (3)已知an是公差为 d 的等差数列.若存在数列bn满足:bn与an接近,且在 b2-b1,b3-b2,b201-b200中至 少有 100 个为正数,求 d 的取值范围. 【解析】(1)数列bn与an接近. 理由:由an是首项为 1,公比为1 2的等比数列, 可得 an= 1 2-1,b n=an+1+1= 1 2+1, 则|bn-an|=| 1 2 + 1- 1 2-1| = |1- 1 2|0,取 bn=an,可得 bn+1-bn=an+1-an=d0, 则 b2-b1,b3-b2,b201-b200中有 200

33、 个正数,符合题意; 若 d=0,取 bn=a1-1 , 则|bn-an|=|1- 1 -1| = 1 0, 则 b2-b1,b3-b2,b201-b200中有 200 个正数,符合题意; 若-20,mN *,q(1, 2 ,证明:存在 dR,使得|an-bn|b1对 n=2,3,m+1 均成立,并求 d 的取值 范围(用 b1,m,q 表示). 【解析】(1)由条件知,an=(n-1)d,bn=2 n-1. 因为|an-bn|b1对 n=1,2,3,4 均成立, 即|(n-1)d-2 n-1|1 对 n=1,2,3,4 均成立, 即 11,1d3,32d5,73d9,得7 3d 5 2. 因

34、此,d 的取值范围为*7 3, 5 2+. (2)由条件知,an=b1+(n-1)d,bn=b1q n-1. 若存在 d,使得|an-bn|b1(n=2,3,m+1)成立,即|b1+(n-1)d-b1q n-1|b 1(n=2,3,m+1), 即当 n=2,3,m+1 时,d 满足 -1-2 n-1 b1d -1 -1b 1.因为 q(1, 2 ,则 10,对 n=2,3,m+1 均成立. 因此,取 d=0 时,|an-bn|b1对 n=2,3,m+1 均成立. 下面讨论数列 -1-2 -1 的最大值和数列 -1 -1的最小值(n=2,3,m+1). 当 2nm 时, -2 -1-2 -1 =

35、 -1+2 (-1) = (-1)-+2 (-1) , 当 10. 因此,当 2nm+1 时,数列 -1-2 -1 单调递增, 故数列 -1-2 -1 的最大值为 -2 . 设 f(x)=2 x(1-x),当 x0 时,f(x)=(ln 2-1-xln 2)2x0,可得 q=2,故 a n=2 n-1. 设等差数列bn的公差为 d.由 a4=b3+b5,可得 b1+3d=4.由 a5=b4+2b6,可得 3b1+13d=16,从而 b1=1,d=1,故 bn=n. 所以,数列an的通项公式为 an=2 n-1,数列b n的通项公式为 bn=n. (2)解由(1),有 Sn=1-2 1-2 =2

36、 n-1, 故 Tn= =1 (2 k-1)= =1 2 k-n=2(1-2) 1-2 -n=2 n+1-n-2. 证明因为 (+2) (+1)(+2) = (2+1-2+2) (+1)(+2) = 2+1 (+1)(+2) = 2+2 +2 2+1 +1 ,所以, =1 (+2) (+1)(+2) = (2 3 3 - 22 2 ) + (2 4 4 - 23 3 )+(2 +2 +2 - 2+1 +1) = 2+2 +2-2. 12.(2018全国 2理 T17 文 T17)记 Sn为等差数列an的前 n 项和,已知 a1=-7,S3=-15. (1)求an的通项公式; 34 (2)求 S

37、n,并求 Sn的最小值. 【解析】(1)设an的公差为 d,由题意得 3a1+3d=-15. 由 a1=-7 得 d=2. 所以an的通项公式为 an=2n-9. (2)由(1)得 Sn=n 2-8n=(n-4)2-16. 所以当 n=4 时,Sn取得最小值,最小值为-16. 13.(2018全国 1文 T17)已知数列an满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an.设 bn= . (1)求 b1,b2,b3; (2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由; (3)求an的通项公式. 【解析】(1)由条件可得 an+1=2(+1) an. 将 n=1 代入得,a2=4a1,而 a1=1,所以

38、 a2=4. 将 n=2 代入得,a3=3a2,所以 a3=12. 从而 b1=1,b2=2,b3=4. (2)bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列. 由条件可得+1 +1 = 2 ,即 bn+1=2bn,又 b1=1,所以bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列. (3)由(2)可得 =2 n-1,所以 a n=n2 n-1. 14.(2018全国 3理 T17 文 T17)等比数列an中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通项公式; (2)记 Sn为an的前 n 项和,若 Sm=63,求 m. 【解析】(1)设an的公比为 q,由题设得 an=q n-1. 由已知得 q 4=4q

39、2,解得 q=0(舍去),q=-2 或 q=2. 故 an=(-2) n-1或 a n=2 n-1. (2)若 an=(-2) n-1,则 S n=1-(-2) 3 . 由 Sm=63 得(-2) m=-188,此方程没有正整数解. 若 an=2 n-1,则 S n=2 n-1.由 S m=63 得 2 m=64,解得 m=6. 综上,m=6. 15.(2017全国 1文 T17)设 Sn为等比数列an的前 n 项和,已知 S2=2,S3=-6. 35 (1)求an的通项公式; (2)求 Sn,并判断 Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列. 【解析】(1)设an的公比为 q. 由题设可得1(

40、1 + ) = 2, 1(1 + + 2) = -6. 解得 q=-2,a1=-2. 故an的通项公式为 an=(-2) n. (2)由(1)可得 Sn=1(1- ) 1- =-2 3+(-1) n2+1 3 . 由于 Sn+2+Sn+1=-4 3+(-1) n2+3-2+2 3 =2- 2 3 + (-1) 2+1 3 =2Sn,故 Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列. 16.(2017全国 2文 T17)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,等比数列bn的前 n 项和为 Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若 a3+b3=5,求bn的通项公式; (2)若 T3=21,求

41、S3. 【解析】设an的公差为 d,bn的公比为 q, 则 an=-1+(n-1)d,bn=q n-1. 由 a2+b2=2 得 d+q=3. (1)由 a3+b3=5,得 2d+q 2=6. 联立和解得 = 3, = 0 (舍去), = 1, = 2. 因此bn的通项公式为 bn=2 n-1. (2)由 b1=1,T3=21 得 q 2+q-20=0, 解得 q=-5 或 q=4. 当 q=-5 时,由得 d=8,则 S3=21. 当 q=4 时,由得 d=-1,则 S3=-6. 17.(2017全国 3文 T17)设数列an满足 a1+3a2+(2n-1)an=2n. (1)求an的通项公

42、式; (2)求数列, 2+1-的前 n 项和. 【解析】(1)因为 a1+3a2+(2n-1)an=2n,故当 n2 时,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1). 两式相减得(2n-1)an=2.所以 an= 2 2-1(n2). 又由题设可得 a1=2, 36 从而an的通项公式为 an= 2 2-1. (2)记, 2+1-的前 n 项和为 Sn. 由(1)知 2+1 = 2 (2+1)(2-1) = 1 2-1 1 2+1. 则 Sn=1 1 1 3 + 1 3 1 5+ 1 2-1 1 2+1 = 2 2+1. 18.(2017天津理 T18)已知an为等差数列,前 n 项和为

43、 Sn(nN *),b n是首项为 2 的等比数列,且公比大 于 0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求an和bn的通项公式; (2)求数列a2nb2n-1的前 n 项和(nN *). 【解析】(1)设等差数列an的公差为 d,等比数列bn的公比为 q.由已知 b2+b3=12,得 b1(q+q 2)=12, 而 b1=2,所以 q 2+q-6=0.又因为 q0,解得 q=2. 所以,bn=2 n.由 b 3=a4-2a1,可得 3d-a1=8. 由 S11=11b4,可得 a1+5d=16, 联立,解得 a1=1,d=3,由此可得 an=3n-2. 所以,数列

44、an的通项公式为 an=3n-2,数列bn的通项公式为 bn=2 n. (2)设数列a2nb2n-1的前 n 项和为 Tn,由 a2n=6n-2,b2n-1=24 n-1,有 a 2nb2n-1=(3n-1)4 n, 故 Tn=24+54 2+843+(3n-1)4n, 4Tn=24 2+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1, 上述两式相减,得-3Tn=24+34 2+343+34n-(3n-1)4n+1=12(1-4) 1-4 -4-(3n-1)4 n+1 =-(3n-2)4 n+1-8.得 T n=3-2 3 4 n+1+8 3. 所以,数列a2nb2n-1的前 n 项和为3-2 3 4 n+1+8 3. 19.(2017山东理 T19)已知xn是各项均为正数的等比数列,且 x1+x2=3,x3-x2=2. (1)求数列xn的通项公式; (2)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,依次连接点 P1(x1,1),P2(x2,2)Pn+1(xn+1,n+1)得到折线 P1P2Pn+1,求由该 折线与直线 y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积 Tn. 37 【解析】(1)设数列xn的公比为 q,由已知 q0. 由题意得 1+ 1 = 3