十年(2010-2019) 高考数学真题分类汇编（ Word解析版）： 专题17 复数.docx

1、1 十年高考真题分类汇编十年高考真题分类汇编（2010201020192019）数学数学 专题专题 1717 复数复数 1.(2019全国 1文 T1)设 z= 3-i 1+2i,则|z|= ( ) A.2 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】z= 3-i 1+2i, z= (3-i)(1-2i) (1+2i)(1-2i) = 1 5 7 5i, |z|=(1 5) 2 + (- 7 5) 2 = 2. 故选 C. 2.(2019全国 3理 T2 文 T2)若 z(1+i)=2i,则 z=( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 【答案】D 【解析】z= 2i 1+i

2、 = 2i(1-i) (1+i)(1-i) = 2+2i 2 =1+i.故选 D. 3.(2019北京理 T1 文 T2)已知复数 z=2+i,则 zz=( ) A.3 B.5 C.3 D.5 【答案】D 【解析】z=2+i,z=2-i. zz=(2+i)(2-i)=5. 故选 D. 4.(2019全国 2文 T2)设 z=i(2+i),则=( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i 【答案】D 【解析】z=2i+i 2=-1+2i,则=-1-2i.故选 D. 5.(2019全国 1理 T2)设复数 z 满足|z-i|=1,z 在复平面内对应的点为(x,y),则( )

3、A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 2 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 【答案】C 【解析】设 z=x+yi(x,yR). 因为 z-i=x+(y-1)i, 所以|z-i|=x2+ (y-1)2=1, 则 x2+(y-1)2=1.故选 C. 6.(2019全国 2理 T2)设 z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】由 z=-3+2i,得=-3-2i,则在复平面内对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选 C. 7.(2018全国 1理 T1 文 T2)设 z=1-i

4、 1+i+2i,则|z|=( ) A.0 B.1 2 C.1 D.2 【答案】C 【解析】因为 z= (1-i)2 (1+i)(1-i)+2i= -2i 2 +2i=i,所以|z|=1. 8.(2018全国 2理 T1)1+2i 1-2i=( ) A.-4 5 3 5i B.-4 5 + 3 5i C.-3 5 4 5i D.-3 5 + 4 5i 【答案】D 【解析】1+2i 1-2i = (1+2i)(1+2i) (1-2i)(1+2i) = 1-4+4i 5 =-3 5 + 4 5i. 9.(2018全国 2文 T1)i(2+3i)=( ) A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D

5、.-3+2i 【答案】D 【解析】i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i. 10.(2018全国 3理 T2 文 T2)(1+i)(2-i)=( ) 3 A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 【答案】D 【解析】(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i. 11.(2018北京理 T2 文 T2)在复平面内,复数 1 1-i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】 1 1-i = 1+i (1-i)(1+i) = 1+i 2 = 1 2 + 1 2i, 1 2 + 1 2i 的共轭复数为 1 2 1 2i,而 1

6、 2 1 2i 对应的点的坐标为( 1 2,- 1 2), 点(1 2,- 1 2)位于第四象限,故选 D. 12.(2018浙江4)复数 2 1-i (i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 【答案】B 【解析】 2 1-i = 2(1+i) (1-i)(1+i) = 2(1+i) 2 =1+i, 复数 2 1-i的共轭复数为 1-i. 13.(2017全国 1理 T3)设有下面四个命题 p1:若复数 z 满足1 zR,则 zR; p2:若复数 z 满足 z2R,则 zR; p3:若复数 z1,z2满足 z1z2R,则 z1=z2; p4:若复

7、数 zR,则zR. 其中的真命题为( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 【答案】B 【解析】p1:设 z=a+bi(a,bR),则1 z = 1 a+bi = a-bi a2+b2R,所以 b=0,所以 zR.故 p1 正确; p2:因为 i2=-1R,而 z=iR,故 p2 不正确; p3:若 z1=1,z2=2,则 z1z2=2,满足 z1z2R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故 p3 不正确; 4 p4:实数的虚部为 0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故 p4 正确. 14.(2017全国 2理 T1)3+i 1+i =( ) A.1+2i B.1

8、-2i C.2+i D.2-i 【答案】D 【解析】3+i 1+i = (3+i)(1-i) (1+i)(1-i) = 4-2i 2 =2-i,故选 D. 15.(2017全国 2文 T2)(1+i)(2+i)= ( ) A.1-i B.1+3i C.3+i D.3+3i 【答案】B 【解析】(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i,故选 B. 16.(2017山东文 T2)已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 zi=1+i,则 z2=( ) A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A 【解析】(方法一)z=1+ =1+1 =1-i, z 2=(1-i)2=1-2i+i2=-2

9、i. (方法二)由 zi=1+i,得(zi) 2=(1+i)2,即-z2=2i.所以 z2=-2i. 17.(2017全国 3理 T2)设复数 z 满足(1+i)z=2i,则|z|=( ) A.1 2 B.2 2 C.2 D.2 【答案】C 【解析】由题意,得 z= 2 1+=1+i,故|z|=1 2+ 12 = 2. 18.(2017全国 1文 T3)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) 【答案】C 【解析】i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,(1+i)

10、2=2i 为纯虚数,故选 C. 19.(2017山东理 T2)已知 aR,i 是虚数单位.若 z=a+3i,z=4,则 a=( ) A.1 或-1 B.7或-7 5 C.-3 D.3 【答案】A 【解析】由 z=a+3i,得 z=|z| 2=a2+3=4,所以 a2=1,a=1,选 A. 20.(2017全国 3文 T2)复平面内表示复数 z=i(-2+i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】由题意可得 z=-1-2i,在复平面内对应点(-1,-2),则该点位于第三象限.故选 C. 21.(2017北京理 T2)若复数(1-i)(a+i)

11、在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-,1) B.(-,-1) C.(1,+) D.(-1,+) 【答案】B 【解析】设 z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数 z 在复平面内对应的点 (a+1,1-a)在第二象限,所以a + 1 0, 解得 a 0, m-1 0, 解得-3m1,故选 A. 23.(2016全国 3理 T2)若 z=1+2i,则 4 -1=( ) A.1 B.-1 C.i D.-I 【答案】C 6 【解析】由题意知=1-2i,则 4 -1 = 4 (1+2)(1-2)-1 = 4 5-1=i,故选 C. 24.(2016北

12、京文 T2)复数1+2 2- =( ) A.i B.1+i C.-i D.1-I 【答案】A 【解析】1+2 2- = (1+2)(2+) (2-)(2+) = 2+4-2 5 =i,故选 A. 25.(2016全国 1理 T2)设(1+i)x=1+yi,其中 x,y 是实数,则|x+yi|=( ) A.1 B.2 C.3 D.2 【答案】B 【解析】(定义、性质)因为(1+i)x=1+yi,x,yR, 所以 x=1,y=x=1. 所以|x+yi|=|1+i|=2,故选 B. 26.(2016全国 1文 T2)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a=( ) A.-3

13、 B.-2 C.2 D.3 【答案】A 【解析】由已知(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i. (1+2i)(a+i)的实部与虚部相等, a-2=2a+1,解得 a=-3,故选 A. 27.(2016全国 2文 T2)设复数 z 满足 z+i=3-i,则=( ) A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i 【答案】C 【解析】由 z+i=3-i,得 z=3-2i,所以=3+2i,故选 C. 28.(2016全国 3文 T2)若 z=4+3i,则 |= ( ) A.1 B.-1 C.4 5 + 3 5i D.4 5 3 5i 7 【答案】D 【解析】因为 z=4+3i,所以

14、它的模为|z|=|4+3i|=42+ 32=5,共轭复数为=4-3i.故 | = 4 5 3 5i,选 D. 29.(2016山东理 T1)若复数 z 满足 2z+=3-2i,其中 i 为虚数单位,则 z=( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 【答案】B 【解析】设 z=a+bi(a,bR),则 2z+=3a+bi=3-2i,故 a=1,b=-2,则 z=1-2i,选 B. 30.(2015全国 2理 T2)若 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则 a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】(2+ai)(a-2i)=4a+(a

15、 2-4)i=-4i, 4 = 0, 2-4 = -4,解之,得 a=0. 31.(2015全国文 T3)已知复数 z 满足(z-1)i=1+i,则 z=( ) A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i 【答案】C 【解析】(z-1)i=1+i, z=1+ +1=(1+)(-) -2 +1=1-i+1=2-i. 32.(2015全国 2文 T2)若 a 为实数,且2+ 1+ =3+i,则 a=( ) A.-4 B.-3 C.3 D.4 【答案】D 【解析】由题意,得 2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,则 a=4. 33.(2015安徽文 T1)设 i 是虚数单位,则复数(1-

16、i)(1+2i)=( ) A.3+3i B.-1+3i C.3+i D.-1+i 【答案】C 【解析】由复数的乘法运算法则,得(1-i)(1+2i)=1-i+2i-2i2=1+i+2=3+i,因此选 C. 34.(2015湖南文 T1)已知(1-) 2 =1+i(i 为虚数单位),则复数 z=( ) 8 A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 【答案】D 【解析】由已知得 z=(1-) 2 1+ = -2 1+ = -2(1-) (1+)(1-) = -2-2 2 =-1-i. 35.(2015全国 1理 T1)设复数 z 满足1+ 1-=i,则|z|=( ) A.1 B.2 C.

17、3 D.2 【答案】A 【解析】1+ 1-=i,z= -1 +1 = (-1)(-+1) (+1)(-+1)=i,|z|=1. 36.(2015湖北理 T1)i 为虚数单位,i 607的共轭复数 为( ) A.i B.-i C.1 D.-1 【答案】A 【解析】i607=i1514+3=i3=-i,i607 的共轭复数为 i. 37.(2015安徽理 T1)设 i 是虚数单位,则复数 2i 1-i在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】由复数除法的运算法则可得, 2i 1-i = 2i(1+i) (1-i)(1+i) = 2i

18、-2 2 =-1+i,对应点为(-1,1)在第二象限.故选 B. 38.(2014全国 2理 T2)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i 【答案】A 【解析】由题意知:z2=-2+i. 又 z1=2+i,所以 z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选 A. 39.(2014重庆理 T1)复平面内表示复数 i(1-2i)的点位于( ) A.第一象限 9 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【解析】因为 i(1-2i)=i+2,其在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象

19、限.故选 A. 40.(2014全国 1理 T2)(1+) 3 (1-)2=( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-I 【答案】D 【解析】(1+) 3 (1-)2 = (1+)2(1+) (1-)2 = 2(1+) -2 =-1-i.故选 D. 41.(2014全国 2文 T2)1+3 1- =( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i 【答案】B 【解析】1+3 1- = (1+3)(1+) (1-)(1+) = -2+4 2 =-1+2i,故选 B. 42.(2014全国 1文 T3)设 z= 1 1+i,则|z|=( ) A.1 2 B.2 2

20、C.3 2 D.2 【答案】B 【解析】因为 z= 1 1+i= 1- (1+)(1-)+i= 1- 2 +i=1 2 + 1 2i,所以|z|=| 1 2 + 1 2| = (1 2) 2 + (1 2) 2 = 2 2 ,故选 B. 43.(2013全国 1理 T2)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( ) A.-4 B.-4 5 C.4 D.4 5 【答案】D 【解析】(3-4i)z=|4+3i|, z= 5 3-4 = 5(3+4) (3-4)(3+4) = 3 5 + 4 5i. 故 z 的虚部为4 5,选 D. 44.(2013全国 2文 T2)| 2

21、1+|=( ) 10 A.22 B.2 C.2 D.1 【答案】C 【解析】 2 1+=1-i,| 2 1+|=|1-i|=2. 45.(2013全国 2理 T2)设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z=( ) A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 【答案】A 【解析】z= 2 1- = 2(1+) (1-)(1+) = -2+2 2 =-1+i. 46.(2013全国 1文 T2) 1+2 (1-)2=( ) A.-1-1 2i B.-1+1 2i C.1+1 2i D.1-1 2i 【答案】B 【解析】 1+2 (1-)2 = 1+2 -2 = (1+2) 2 = -2+

22、 2 =-1+1 2i. 47.(2012全国理 T3)下面是关于复数 z= 2 -1+的四个命题: p1:|z|=2, p2:z2=2i, p3:z 的共轭复数为 1+i, p4:z 的虚部为-1, 其中的真命题为( ) A.p2,p3 B.p1,p2C.p2,p4 D.p3,p4 【答案】C 【解析】z= 2(-1-) (-1+)(-1-)=-1-i,故|z|=2,p 1错误;z 2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p 2正确;z 的共轭复数为-1+i,p3错 误;p4正确. 48.(2012全国文 T2)复数 z=-3+ 2+ 的共轭复数是( ) A.2+i B.2-i C.-1+i

23、 D.-1-i 【答案】D 11 【解析】z=-3+ 2+ = (-3+)(2-) (2+)(2-) = -5+5 5 =-1+i,故 z 的共轭复数为-1-i. 49.(2011全国文 T2)复数 5 1-2=( ) A.2-i B.1-2i C.-2+i D.-1+2i 【答案】C 【解析】 5 1-2 = 5(1+2) (1-2)(1+2) = -10+5 5 =-2+i. 50.(2010全国理 T2)已知复数 z= 3+ (1-3)2 ,z是 z 的共轭复数,则 zz=( ) A.1 4 B.1 2 C.1 D.2 【答案】A 【解析】z= 3+i (1-3i)2 = 3+i 1-2

24、3i+3i2 = 3+i -2-23i = (3+i)(-2+23i) (-2-23i)(-2+23i) =-3 4 + i 4, z=-3 4 i 4. zz = (- 3 4 - i 4)(- 3 4 + i 4) = 3 16 + 1 16 = 1 4. 51.(2010全国文 T3)已知复数 z= 3+i (1-3i)2,则|z|等于( ) A.1 4 B.1 2 C.1 D.2 【答案】B 【解析】z= 3+i 1+3i2-23i=- 3+i 2+23i=- 1 2 23-2i 4 = i-3 4 ,|z|=1 42= 1 2. 52.(2018天津理 T9 文 T9)i 是虚数单位

25、,复数6+7 1+2= . 【答案】4-i 【解析】6+7 1+2 = (6+7)(1-2) (1+2)(1-2) = 6-12+7+14 5 = 20-5 5 =4-i. 53.(2019天津理 T9 文 T9)i 是虚数单位,则|5-i 1+i|的值为_. 【答案】13 【解析】5-i 1+i = (5-i)(1-i) 2 = 4-6i 2 =2-3i. 12 |5-i 1+i| = 4 + 9 = 13. 54.(2019江苏T 2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为 0,其中 i 为虚数单位,则实数 a 的值是_ . 【答案】2 【解析】(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i

26、2=a-2+(a+2)i,a-2=0,a=2. 55.(2018上海5)已知复数 z 满足(1+i)z=1-7i(i 是虚数单位),则|z|= . 【答案】5 【解析】因为(1+i)z=1-7i, 所以|1+i|z|=|1-7i|,即2|z|=52, 解得|z|=5. 56.(2017浙江12)已知 a,bR,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),则 a2+b2=_,ab=_. 【答案】5 2 【解析】由题意可得 a2-b2+2abi=3+4i, 则 2-b2 = 3, = 2, 解得 2 = 4, 2= 1,则 a 2+b2=5,ab=2. 57.(2017江苏T 2)已知复数 z=(

27、1+i)(1+2i),其中 i 是虚数单位,则 z 的模是 . 【答案】10 【解析】由已知得 z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=(-1)2+ 32= 10,答案为10. 58.(2017天津理 T9 文 T9)已知 aR,i 为虚数单位,若 a-i 2+i为实数,则 a 的值为 . 【答案】-2 【解析】 a-i 2+i = (a-i)(2-i) (2+i)(2-i) = 2a-1 5 a+2 5 i 为实数, -a+2 5 =0,即 a=-2. 59.(2016江苏T 2)复数 z=(1+2i)(3-i),其中 i 为虚数单位,则 z 的实部是 . 【答案】5 【解析】因为

28、 z=(1+2i)(3-i)=5+5i,所以 z 的实部是 5. 60.(2016天津理 T9)已知 a,bR,i 是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则 的值为 . 【答案】2 【解析】(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,则1 + = , 1- = 0, 所以 = 2, = 1, 即 =2.故答案为 2. 61.(2016北京理 T9)设 aR,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则 a= . 13 【答案】-1 【解析】(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)iR, a+1=0,即 a=-1. 62.(2015天津理 T9)i 是虚数单位,若复数(1

29、-2i)(a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为 . 【答案】-2 【解析】(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i. (1-2i)(a+i)是纯虚数,a+2=0,且 1-2a0, a=-2. 63.(2015江苏T 3)设复数 z 满足 z2=3+4i(i 是虚数单位),则 z 的模为 . 【答案】5 【解析】因为 z 2=3+4i,所以|z2|=32 + 42=5,所以|z|=5. 64.(2015重庆理 T11)设复数 a+bi(a,bR)的模为3 ,则(a+bi)(a-bi)= . 【答案】3 【解析】因为复数 a+bi 的模为3,所以a2+ b2= 3, 即 a2+b2=3. 于是(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2=3.