福州市2020届高三文科数学4月质量检查卷含答案.pdf

1、数学试题（第 1 页 共 6 页） 准考证号 姓名 . （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 秘密启用前 2020 年福州市高中毕业班质量检测 数 学 （ 文 科 ） 试 题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 6 页满分 150 分 注意事项：注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用0

2、.5毫米黑色签字笔在答 题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回 第 卷第 卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1. 若复数1iz ，则 i z z A0 B2 C2i D 2i 2. 已知集合 2 420Mx xNxx，则MN A22xx B02xx C22xx D2x x 3. 已知01m ，设 3 am,3mb , 3 logcm，则 Abac Babc Ccba

3、Dbca 4. 下列函数中为奇函数的是 Asinyxx Bee xx y C 1 lnlnyx x D ln ,0, ln,0 xx y xx 数学试题（第 2 页 共 6 页） 5. 在ABC中， 21 33 ADABAC ，则 BD DC A 1 3 B 1 2 C 2 3 D2 6. 2021 年开始，我省将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语 3 门 必选科目外，考生再从物理、历史中选 1 门，从化学、生物、地理、政治中选 2 门作 为选考科目为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生 6 门科目综合成绩均按 比例缩放成 5 分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图

4、所示，下面叙述一定 不 正确 的是 A甲的物理成绩领先年级平均分最多 B甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分 C甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理、化学、历史 D对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果 7. 如图来自古希腊数学家阿基米德所研究的几何图形此图形由三个半圆构成，两个小 半圆外切，又同时内切于大半圆，三个半圆弧围成曲边三角形（黑色部分），由于其 形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，又称此图形为“皮匠刀”图形若2ACCB，在 整个图形中随机取一点，则此点取自曲边三角形（黑色部分）的概率为 A 2 9 B 4 9 C 1 2 D 5 9 8. 已知双曲线 22 22 1

5、xy ab （0ab0, ） 的一条渐近线与圆 2 2 2 34xy交于,A B 两点，若2AB ，则该双曲线的离心率为 A 2 3 3 B3 C 2 D4 9. 已知 2sinf xx（0） ，且 2,0 44 ff ，则 A有最小值1 B有最大值1 C有最小值3 D有最大值3 ACB 甲同学成绩 年级平均分 地理 政治 物理 历史 生物 化学 0 1 2 3 4 5 数学试题（第 3 页 共 6 页） 10. 我国古代名著九章算术中，将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体 称之为阳马 已知阳马PABCD的顶点都在球O的表面上， 平面 PAD 平面ABCD, 平面 PAB 平面ABC

6、D，1ABADAP ，则球O的半径为 A 1 2 B 3 2 C1 D3 11. 已知两条抛物线 2 :2C yx， 2 :2E ypx（0p 且1p ） ，M为C上一点（异于原 点O） ，直线OM与E的另一个交点为N若过M 的直线l与E相交于,A B两点，且 ABN的面积是ABO面积的 3 倍，则 p A8 B6 C4 D2 12. 已知 , 是函数 1 sincos 3 f xxx在0,2上的两个零点，则cos A 1 B 8 9 C 2 2 D0 数学试题（第 4 页 共 6 页） 秘密启用前 2020 年福州市高中毕业班质量检测 数 学 （ 文 科 ） 试 题 第卷第卷 注意事项： 用

7、0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13. 已知 2 ( )lnf xxx，则曲线 yf x在1x 处的切线方程为 14. 设 , x y 满足约束条件 220, 240, 2, xy xy x 则3zxy的最小值为 15. 已知三棱锥PABC的各棱长均为 2，,M N分别为,BC PA的中点，则异面直线MN 与PC所成角的大小为 16. ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，ABC的面积 222 8

8、abc S ，D 为线段 BC上一点若ABD为等边三角形，则tanDAC的值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答 题为选考题，考生根据要 求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17. （本小题满分 12 分） 已知数列 n a为递减的等差数列， 1 a, 6 a为方程 2 9140xx 的两根 （1）求 n a的通项公式； （2）设

9、2n nn ba，求数列 n b的前n项和 数学试题（第 5 页 共 6 页） 18. （本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 111 ABCA B C中，90ACB,45 ,ABC 1 2ABAA，P 为 1 CC 的中点 （1）证明： 1 AB 平面 1 PA B； （2）设 E 为BC的中点，线段 1 AB上是否存在一点Q ，使得 QE平面 11 A ACC？若存在，求四棱锥 11 QAAC C的体积；若不 存在，请说明理由 19. （本小题满分 12 分） 已知椭圆:C 22 22 1 xy ab （0ab）经过点 2 1, 2 ， 12 ,F F是C的左、右焦点，过 1 F 的直线

10、l与C交于,A B两点，且 2 ABF的周长为4 2 （1）求C的方程； （2）若 22 3F A F B ，求l的方程 20. （本小题满分 12 分） 下图是某校某班 44 名同学的某次考试的物理成绩 y 和数学成绩x的散点图： 根据散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 A,B经调查 得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试为了使 分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计量的值： 42 1 4 641 i i x , 42 1 3108 i i y , 1 42 =350350 ii i x y

11、, 42 2 1 13814.5 i i xx , 42 2 1 5 250 i i yy ， 其中, ii x y分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,42i y与x的相关系数 0.82r AB C E P 1 A 1 B 1 C 数学试题（第 6 页 共 6 页） （1）若不剔除A、B两名考生的数据，用 44 组数据作回归分析，设此时y与x的相 关系数为 0 r，试判断 0 r与r的大小关系，并说明理由； （2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01） ，并估计如果B考生参加了这次 物理考试（已知B考生的数学成绩为125分） ，物理成绩是多少？（精确到个位） 附：回归方程

12、 yabx中 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， aybx 21. （本小题满分12分） 已知函数 sincosexfxxxx， fx为 fx的导函数 （1）设 g xfxfx，求 g x的单调区间； （2）若0x，证明： 1fxx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用 两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方

13、程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 5cos1, 5sin x y （为参数） 以坐标原 点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （1）求 1 C的极坐标方程； （2）若 1 C与曲线 2 C:2sin交于,A B两点，求OA OB的值 23.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 已知函数 12fxxxa （1）当3a 时，解不等式 2fx； （2）若不等式 13xfx的解集非空，求实数a的取值范围 文科数学参考答案及评分细则（第 1 页 共 11 页） 2020 年福州市高中毕业班质量检测 数学（文科）参考答案及评分细则 评分说明： 1 本解答给出了一种或几种解法供

14、参考， 如果考生的解法与本解答不同， 可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2 对计算题， 当考生的解答在某一步出现错误时， 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分 1D 2A 3A 4D 5B 6C 7B 8C 9A 10B 11C 12B 113 ABO ABN S S

15、 ，得3 MN MO ，故3 M MN y yy （） ，设直线OM的方程为 ykx （0k ） ，分别代入 2 2yx和 2 2ypx，得 22 , MN p yy kk ，代入（）式得 13p ，解得2p（舍去）或4p，所以4.p 12解法一：依题意， 0ff，故 1 sincos 3 ，由 22 1 sincos, 3 sincos1 得 2 9sin3sin40， 2 9cos3cos40且sincos，所以sin,cos 是方程 2 9340xx（*）的两个异根同理可证，sin,cos为方程（*）的两 个异根可以得到sinsin，理由如下：假设sinsin，则coscos， 又,0,

16、2 ，则，这与已知相悖，故sinsin从而sin,sin为方 程（*）的两个异根，故 4 sinsin 9 同理可求 4 coscos 9 ，所以 coscoscossinsin 8 9 文科数学参考答案及评分细则（第 2 页 共 11 页） 解 法 二 ： 令 0f x ， 得 1 sincos 3 xx 令 sincosg xxx， 即 2sin 4 g xx ，则, 即为 g x与直线 1 3 y 在0,2上交点的横坐标， 由图象可知， 5 24 ，故 5 2 ， 又 1 2sin 43 ，所以cos 5 cos 2 2 cos 23 4 cos2 4 2 12sin 4 8 9 解法三

17、：依题意，不妨设02，则点cos,sin,Acos,sinB为 直线 1 0 3 xy与单位圆的两个交点，如图所示取AB中点为H，则OHAB， 记= .AOH则22，所以，coscos 22cos2 2 2cos1.另一方面， 22 1 00 23 6 11 OH ，1OA，故 2 cos 6 ，从而cos 2 28 21 69 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分20分 13yx 147 1545 1685 3 16由题设、三角形面积公式及余弦定理得 12cos sin 28 abC abC ，所以tanC sin1 cos2 C C ，所以tantan 60DACC 3

18、tan 13tan C C 2 31 23 85 3 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17本题主要考查等差数列、等比数列、一元二次方程等基础知识，意在考查逻辑推 理、数学运算等数学核心素养满分12分 【解答】设等差数列 n a的公差为d， 因为 1 a， 6 a为方程 2 9140xx 的两根，且数列 n a为递减的等差数列， x y O g x 2 2 5 4 文科数学参考答案及评分细则（第3页 共11页） 所以 1 6 7 2 a a ， 2 分 所以 61 27 1 6161 aa d ， 4 分 所以 1 1718 n ndnaan， 即数列

19、 n a的通项公式为8 n an 6 分 （2）由（1）得8 n an，所以 82n n bn， 7 分 所以数列 n b的前n项和 2 876222n n Sn 8 分 78222 212 n nn 11 分 2 1 15 22 2 n nn 12 分 18本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、空间几何体的体积等基础 知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养满分 12 分 【解答】解法一： （1）证明：在ABC中， 90ACB,45 ,ABC2AB ， 2,ACBC 1 分 又直三棱柱 111 ABCA B C中， 1 2ABAA，则 11 A ABB为正方形，

20、设 1 A B交 1 AB于点O，则O为 1 AB的中点，且 11 A BAB 2 分 连接 1 ,PA PB PO， 侧棱 1 CC 底面ABC,P为 1 CC的中点，则 22 213PAACPC， 22 1111 213B PBCC P， 故 1 PAPB 3分 1 POAB， 4分 1 ,POA BO且 1 ,PO A B 平面 1 PAB， 1 AB 平面 1 PAB 6分 （2）当Q为 1 AB中点，即点Q与点O重合时，QE平面 11 A ACC 7分 理由如下： A B C P 1 B 1 C O 1 A E 文科数学参考答案及评分细则（第4页 共11页） 连接 1 AC,E为BC

21、的中点，则 1 QEAC, 11111 ,QEAAC C ACAAC C平面平面， 11 QEAAC C平面 9分 此时,Q到平面 11 A ACC的距离等于B到平面 11 A ACC的距离的一半， 10分 又 1 11 1 1 2 3 B AAC CABCA B C VV 214 222 323 ， 11分 1 11 1 12. 23 Q AAC CB AAC C VV 12分 解法二： （1）证明：在ABC中，90ACB,45 ,ABC2AB ， 2,ACBC 1分 又直三棱柱 111 ABCA B C中， 1 2ABAA，则 11 A ABB为正方形， 设 1 A B交 1 AB于点O，

22、则O为 1 AB的中点，且 11 A BAB 2分 连接 1 BC交BP于F点，在直三棱柱 111 ABCA B C中， 1 BB 平面ABC， AC 平面ABC， 1 ACBB 又ACBC， 1 BCBBB， 1 ,BC BB 平面 11 BBC C， AC 平面 11 BBC C， BP平面 11 BBC C，ACBP， 3分 在矩形 11 BBC C中，P为 1 CC的中点，则 22 213PBBCPC, 22 11 246BCBCBB， 由 11 CCBB得 1 CPFBB F， 11 1 2 PFCFPC FBFBBB ， 3 3 PF ， 6 3 CF ， 222 PFCFPC，故

23、 1 BCPB， 又ACBP， 1 ACBCC， 1 ,AC BC 平面 1 ABC ,BP平面 1 ABC， 1 AB 平面 1 ABC， 1 ABBP 4分 又 11 A BAB, 1 ABBPB， 1 ,AB BP 平面 1 PA B, 1 AB 平面 1 PA B 6分 （2）当Q为 1 AB中点，即点Q与点O重合时，QE平面 11 A ACC 7分 理由如下： AB C P 1 B 1 C 1 A F E 文科数学参考答案及评分细则（第5页 共11页） 取AB中点M，连接QM，ME，又CEBE，MEAC， ME平面 11 A ACC，AC平面 11 A ACC， ME平面 11 A

24、ACC 8分 同理可得QM平面 11 A ACC 又MEQMM，,ME QM 平面QME， 平面QME平面 11 A ACC， 又QE 平面QME， QE平面 11 A ACC 9分 此时,Q到平面 11 A ACC的距离等于E到平面 11 A ACC的距离， 10分 在直三棱柱 111 ABCA B C中， 1 CC 平面ABC， BC 平面ABC， 1 CCBC， 又ACBC， 1 ACCCC， 1 ,AC CC 平面 11 AAC C，BC 平面 11 AAC C， EC为四棱锥 11 QAAC C的高， 2 2 EC 11分 111 11 1 1122 (22) 3323 Q AAC

25、CEAAC CAAC C VVSEC 12分 解法三： （1）证明：在ABC中， 90ACB,45 ,ABC2AB ， 2,ACBC 1分 设 1 A B交 1 AB于点O， 在直三棱柱 111 ABCA B C中, 1 2AA ， 11 A ABB为正方形， O为 1 AB中点，且 11 A BAB 2分 连接 1 ,PA PB PO， 侧棱 1 CC 底面ABC,P为 1 CC的中点，则 22 213,PAACPC 22 1111 213B PBCC P, 故 1 PAPB 3分 1 POAB， 4分 同理可得 1 POAB AB C P 1 B 1 C 1 A Q E M AB C P

26、1 B 1 C 1 A O 文科数学参考答案及评分细则（第6页 共11页） 又 11 ABABO， 11 ,AB AB 平面 11 ABB A ,PO 平面 11 ABB A PO 平面 1 PAB， 平面 1 PAB 平面 11 ABB A . 5分 平面 1 PAB平面 111 ABB AAB， 1 AB平面 11 ABB A， 1 AB平面 1 PA B 6分 （2）同解法一 12分 19本题主要考查椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考 查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养满分12分 【解答】解法一： （1）依题意，44 2a ，故2a 2分 将点 2 (

27、1,) 2 代入椭圆方程得， 22 11 1 2ab ，所以 2 1b ， 4分 所以C的方程为 2 2 1 2 x y 5分 （2）由（1）知 12 ,F F的坐标分别为 1,0 , 1,0 设 1122 ,A x yB x y，直线l的方程为1 tyx， 代入1 2 2 2 y x 得，0122 22 tyyt 6分 所以 222 44(2)880ttt ， 12 2 2 2 t yy t ， 12 2 1 2 y y t 7分 因为 211 (1,)F Axy 11 2,tyy， 222 (1,)F Bxy 22 2,tyy， 所以 221212 22F A F Btytyy y 8分

28、2 1212 124ty yt yy 22 22 14 4 22 tt tt 9分 2 2 51 4 2 t t ， 因为 22 3F A F B ， 文科数学参考答案及评分细则（第7页 共11页） 所以 2 2 51 1 2 t t ，即 22 512tt ， 10分 解得 1 2 t ， 11分 综上，直线l的方程为220xy或220xy 12分 解法二： （1）同解法一 5分 （2）由（1）知 12 ,F F的坐标分别为 1,0 , 1,0 设 1122 ,A x yB x y， 当AB x轴时，,A B的坐标为 22 1,1, 22 ，则 22 227 2,2,3 222 F A F

29、B ，不满足题意 6分 当AB与x轴不垂直时，设直线l的方程为(1)yk x， 代入 2 2 1 2 x y得： 2222 (12)4220kxk xk 所以= 22222 (4)4(12)(22)880kkkk, 2 12 2 4 12 k xx k ， 2 12 2 22 12 k x x k , 7分 因为 211 (1,)F Axy ， 222 (1,)F Bxy ， 所以 221212 (1)(1)F A F Bxxy y 121212 ()1x xxxy y 8分 因为 2 12121212 (1) (1)(1)y yk xk xkx xxx, 所以 22 F A F B 22 1

30、212 (1)(1)(1)()kx xkxx 22 22 22 224 (1)(1)(1) 1212 kk kk kk 9分 2 2 71 12 k k 依题意得： 2 2 71 3 12 k k ， 10分 解得 2 4k ，即2k 11分 综上，直线l的方程为220xy或220xy 12分 文科数学参考答案及评分细则（第8页 共11页） 20本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数据分析、数学运算等数 学核心素养满分12分 【解答】 （1） 0 rr. 2分 理由如下：由图可知，y与x成正相关关系， 3分 异常点A,B会降低变量间的线性相关程度； 4分 44个数据点与其回归直

31、线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小； 42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大； 42个数据点更贴近其回归直线l； 44个数据点与其回归直线更离散 （以上理由写出任一个或其它言之有理均可得分） （2）由题中数据可得： 42 1 1 110.5 42 i i xx ， 42 1 1 74 42 i i yy ， 5分 4 1 42 1 2 4235035042 110.5746916 iii ii i xxyyyxxy 7分 所以 1 2 1 6916 0.501 13814.5 n ii i n i i xxyy b xx ， 8分 a 740.501

32、110.518.64bxy， 10分 所以0.50 +18.64yx， 11分 将125x 代入，得0.50 12518.6462.518.6481y ， 所以估计B同学的物理成绩约为81分 12分 21本题主要考查函数与导数及其应用等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数 学核心素养满分12分 【解答】解法一： （1）依题意得， 1cossinesincose xx fxxxxxx 1分 12sinexxx 2分 所以( )( )( )(1sincos )exg xfxf xxx， (12cos )exgxx 3分 令( )0g x，得 1 cos 2 x，解得 22 22 33 kxk ，kZ 文科数学参考答案及评分细则（第9页 共11页） 令( )0g x，得 1 cos 2 x，解得 24 22 33 kxk ，kZ 4分 所以 g x的单调增区间为 22 2,2 33 kk