第六节-曲面与曲线课件.ppt

1、第六节第六节 曲面曲面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、柱面和旋转曲面二、柱面和旋转曲面三、空间曲线及其方程三、空间曲线及其方程四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影五、五、空间区域在坐标面上的投影空间区域在坐标面上的投影水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念如果曲面如果曲面 与三元方程与三元方程0),(zyxF有下述关系：有下述关系：(1)曲面曲面 上任一点的坐标都满足方程；上任一点的

2、坐标都满足方程；那那么么，方方程程0),(zyxF就就叫叫做做曲曲面面 的的方方程程，而而曲曲面面 就就叫叫做做方方程程的的图图形形.(2)不不在在曲曲面面 上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；由几何特征确定曲面方程由几何特征确定曲面方程例例 1 1 建建立立球球心心在在点点),(0000zyxM、半半径径为为 R 的的球球面面方方程程.2202020Rzzyyxx 特殊地：特殊地：球心在原点时方程为球心在原点时方程为2222Rzyx 例例 2 2 求求与与原原点点 O 及及)4,3,2(0M的的距距离离之之比比为为1:2 的的点点的的全全体体所所组组成成的的曲曲面面方方程程.9

3、11634132222 zyx例例 3 3 已已知知)3,2,1(A，)4,1,2(B，求求线线段段AB的的垂垂直直平平分分面面的的方方程程.07262 zyx研究空间曲面有研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：(2)已知坐标间的关系式，研究曲面形状已知坐标间的关系式，研究曲面形状(1)已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程二、柱面与旋转曲面二、柱面与旋转曲面1、柱面、柱面（cylinder）播放播放观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.

4、这条定曲线这条定曲线C 叫叫柱面的柱面的准线准线，动，动直线直线 L 叫柱面的叫柱面的母线母线.例如：例如：222)1(Ryx 圆柱面圆柱面)0(2)2(2 ppyx抛物柱面抛物柱面 1)3(2222 byax椭圆柱面椭圆柱面(4)平面平面 xy 柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面x12222 byax双曲柱面双曲柱面zpzx22 抛物柱面抛物柱面y 只含只含yx,而缺而缺z的方程的方程0),(yxF，在，在空间直角坐标系中表示母线平行于空间

5、直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱轴的柱面，其准线为面，其准线为xoy面上曲线面上曲线 00),(:zyxFC.母线母线/轴轴 母线母线/轴轴 母线母线/轴轴 例例 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？;2)1(x;4)2(22 yx.1)3(xy解解平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面圆心在圆心在)0,0(，半半径径为为2的的圆圆以以z轴轴为为中中心心轴轴的的圆圆柱柱面面斜率为斜率为1的直线的直线

6、平平行行于于z轴轴的的平平面面方程方程2、旋转曲面（、旋转曲面（surface of revolution）定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放例如：球面例如：球面1222 zyxxozy0),(zyf),0(11zyM ),(zyxM,),(zyxM在曲面上任取点在曲面上任取点22yxd ,0),(1221 zyfyxy代代入入将将,0),(11 zyfM 满足满足点点d点点M到到z轴的距离轴的距离|1y C,0),(,zyfyo

7、zC方程为方程为面上的一条曲线面上的一条曲线为为设设.的旋转曲面的方程的旋转曲面的方程轴旋转一周而得轴旋转一周而得绕绕求求zC,0),(22 zyxf得方程得方程 yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕绕z轴旋转一周轴旋转一周的的旋转曲面方程旋转曲面方程.yoz 坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 绕绕 z 轴轴旋转一周旋转一周 的的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 00),(xzyf.0),(22 zyxf yoz 坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 绕绕 y 轴轴旋转一周旋转一周 的的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 00),(xzyf.0),(22 zxyf.0),(2

8、2 yzxfxoy坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 0,0),(zyxf绕绕y轴旋转一轴旋转一周的旋转曲面方程周的旋转曲面方程:.0),(22 zyxfxoy坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 0,0),(zyxf绕绕x轴旋转一轴旋转一周的旋转曲面方程周的旋转曲面方程:0),(22 zyxfzox坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 0,0),(yzxf绕绕z轴旋转一轴旋转一周的旋转曲面方程周的旋转曲面方程:.0),(22 zyxfzox坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线 0,0),(yzxf绕绕x轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程:例例1 1 将下列各曲线绕对应的轴旋转

9、一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程（1）双双曲曲线线12222 czax分分别别绕绕 x 轴轴和和 z 轴轴；绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czyax122222 czayx双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面双叶双曲面双叶双曲面zyxO单叶双曲面单叶双曲面 xyoz（2）椭圆）椭圆 012222xczay绕绕 y 轴和轴和 z 轴；轴；绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面ozyx（3）抛抛物物线线 022xpzy绕绕 z 轴轴；pzyx2

10、22 旋转抛物面旋转抛物面zxyoxyzo0 p0 p例例5 5 下列方程所表示的曲面是否是旋转曲面，下列方程所表示的曲面是否是旋转曲面，若是，指明其是如何形成的若是，指明其是如何形成的.1)1(22 zyx1)2(2 zyx给出一个方程也要会判断它是否表示旋转给出一个方程也要会判断它是否表示旋转面面,及旋转曲面是如何形成的及旋转曲面是如何形成的.例例 6 6 直线直线 L 绕另一条与绕另一条与 L 相交的直线旋转一相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫周，所得旋转曲面叫圆锥面圆锥面两直线的交点叫两直线的交点叫圆锥面的圆锥面的顶点顶点，两直线的夹角，两直线的夹角 20叫叫圆锥面的圆锥面的半顶角半顶

11、角 xozy),0(111zyM),(zyxMoxzy 试建立顶点在坐标原点，试建立顶点在坐标原点，旋转轴为旋转轴为 z 轴，半顶角轴，半顶角 为为 的圆锥面方程的圆锥面方程 xozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ),0(111zyM),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy)(2222yxkz cot k圆锥面圆锥面222zyx 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足

12、两个方程.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：三、空间曲线及其方程三、空间曲线及其方程1、空间曲线的一般方程、空间曲线的一般方程空间曲线空间曲线例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面，6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆.例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.)()(

13、)(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程2、空间曲线的参数方程、空间曲线的参数方程 动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 例例 4 4 如果空间一点如果空间一点 M 在圆柱面在圆柱面 x2+y2=a2上上以角速度以角速度 绕绕 z 轴旋转，同时又以线速度轴旋转，同时又以线速度 v沿平行于沿平行于 z 轴的正方向上升（其中轴的正方向上升（其中、v 都都是常数），那么点是常数），那么点 M

14、构成的图形叫做构成的图形叫做螺旋螺旋线线试建立其参数方程试建立其参数方程 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解xyzo 螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),(vbt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距,2 0),(0),(zyxGzyxF如何将曲线如何将曲线 的一般的一般方程：方程：(*)化为参数方

15、程？化为参数方程？(1)(1)先从一般方程先从一般方程(*)中消去某个变量，比如中消去某个变量，比如z，得方程得方程H(x,y)=0)=0，写出该方程在，写出该方程在xOy面的参数方程面的参数方程x=x(t)，y=y(t).).再把再把x=x(t)，y=y(t)代入代入(*)中的某中的某个方程解出个方程解出z=z(t)，最后在确定，最后在确定t的变化区间，就得的变化区间，就得到了曲线的参数方程到了曲线的参数方程.01222zyxzyx例例5 5、把曲线、把曲线 用参数方程表示用参数方程表示.(2)(2)在一些特殊情形，在一些特殊情形，(*)中的某个方程是不完中的某个方程是不完全三元方程全三元方

16、程(即方程中缺了一个未知量即方程中缺了一个未知量)，则可先，则可先将这个方程化为参数方程，再将所得结果代入将这个方程化为参数方程，再将所得结果代入(*)中的另一个方程，即可求得曲线的参数方程中的另一个方程，即可求得曲线的参数方程.1122zyxyx例例6 6、将曲线、将曲线 化为参数方程化为参数方程.0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),(yxH曲线曲线 对对 xOy面面的的投影柱面投影柱面设空间曲线设空间曲线 的一般方程为：的一般方程为：投影柱面的投影柱面的特征特征：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.四、空间曲线在

17、坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影 以空间曲线以空间曲线 为准线，母线垂直于为准线，母线垂直于 xOy 面的柱面的柱面叫做面叫做曲线对曲线对 xOy 面面的的投影柱面投影柱面 00),(zyxH空间曲线空间曲线 在在xOy面上的面上的投影曲线投影曲线投影曲线的研究过程的例子投影曲线的研究过程的例子.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面0),(zyR0),(zxT曲线曲线 在在 yoz 面上的面上的投影柱面投影柱面和和投影曲线投影曲线：曲线曲线 在在 zox面上的面上的投影柱面投影柱面和和投影曲线投影曲线：00),(xzyR 00),(yzxT类似地：可定义空间曲线类似地：可

18、定义空间曲线 ：在其他坐标面上的投影柱面和投影曲线在其他坐标面上的投影柱面和投影曲线.0),(0),(zyxGzyxF xzyxz22:22 例例1 求曲线求曲线 在在 xoy 面的投影柱面面的投影柱面 及投影曲线方程及投影曲线方程.1)1()1(1:222222zyxzyx 例例2 求曲线求曲线 在在 xoy 面及面及 yoz 面的投影曲线方程面的投影曲线方程.0162222222zyxzyx例例3以曲线为准线以曲线为准线 母线平母线平 行于行于z 轴的柱面方程轴的柱面方程.例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.211222zzyx解解（1）消去变量）消去变量z后得后得

19、,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz.23|,021 yxz（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，21 z例例 5 求抛物面求抛物面xzy 22与平面与平面02 zyx 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解如图如图,（2）消消去去y得得投投影影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）

20、消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体空间立体曲面曲面五、空间区域在坐标面上的投影五、空间区域在坐标面上的投影例例1.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在锥面所围成锥面所围成和和由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体xoyyxzyxz 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 ,)(3,4:2222yxzyxzC,122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去面上的投影曲线为面上的投影曲线为在在则交线则交线xoyC .0,122zyx一个圆一个圆,面上的投影为面上的投影为所求立体在所求立体在

21、xoy .0,122zyx求两曲面所围立体求两曲面所围立体(即空间区域即空间区域)在坐标面在坐标面的投影区域的一般方法：的投影区域的一般方法：(1)求两曲面的交线方程在坐标面的投影求两曲面的交线方程在坐标面的投影柱面方程，柱面方程，(2)将将(1)中所得方程与坐标面方程联立，得中所得方程与坐标面方程联立，得两曲面的交线方程在坐标面的投影曲线方程，两曲面的交线方程在坐标面的投影曲线方程，(3)投影曲线在坐标面所围成的闭区域投影曲线在坐标面所围成的闭区域.022xzyz2 z8 z xoyD例例2 求由曲线求由曲线 绕绕 轴旋转一周而成轴旋转一周而成的的曲面曲面 夹在平面夹在平面 与平面与平面 之

22、间的之间的部分在部分在 面的投影区域面的投影区域 .例例 求由上半球面求由上半球面 与圆柱与圆柱面面 及平面及平面 z=0 所围成所围成的立体在的立体在 xoz 平面平面的投影的投影.222ayxz )0(22 aaxyxa 2222azyx 22axyx .xyozz=0axyzo。22raz 。cosar 。D 1.六、小结六、小结1、曲面方程的概念、曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线).0),(zyxF2、空间曲线的一般方程、参数方程、空间曲线的一般方程、参数方程 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyyt

23、xx3、空间曲线在三个坐标面上的投影柱面、空间曲线在三个坐标面上的投影柱面 和投影直线和投影直线 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT思考题思考题1方程方程 3254222xzyx表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？思考题思考题2 求求椭椭圆圆抛抛物物面面zxy 222与与抛抛物物柱柱面面zx 22的的交交线线关关于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和在在xoy面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程.思考题思考题1解答解答 3254222xzyx.316422 xzy表示双曲线表示双曲线.思考题思考题2解答解答,22222 zxzxy交线方程为交线方程为消消去去z得得投投影影柱

24、柱面面,122 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy.0122 zyx一、一、填空题：填空题：1 1、曲面曲面zyx10922 与与yoz平面的交线是平面的交线是_；2 2、通过曲线通过曲线162222 zyx,0222 yzx，且，且 母线平行于母线平行于y轴的柱面方程是轴的柱面方程是_；3 3、曲线曲线01,0332322 zyzxyzzx在在 xoz平面上的投影方程是平面上的投影方程是_；4 4、方程组方程组 3215xyxy在平面解析几何中表示在平面解析几何中表示_；5 5、方程组方程组 319422yyx在平面解析几何中表示在平面解析几何中表示_ _ _，在空间解析几何中表示，在

25、空间解析几何中表示_；练练 习习 题题6 6 、旋旋转转抛抛物物面面22yxz (40 z)在在xoy面面的的投投影影为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，在在yoz面面的的投投影影为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，在在zox面面上上的的投投影影为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.二、二、画出下列曲线在第一卦限的图形：画出下列曲线在第一卦限的图形：1 1、0422yxyxz2 2、222222azxayx三三、将将曲曲线线 xyzyx9222化化为为参参数数方方程程四、四、求螺旋线求螺旋线 bzayaxsincos在三个坐标面上的投影曲线在三个坐标面

26、上的投影曲线的直角坐标方程的直角坐标方程.五、五、求 由 上 半 球 面求 由 上 半 球 面222yxaz ,柱 面柱 面022 axyx及平面及平面0 z所围成的立体，在所围成的立体，在xoy面和面和xoz面上的投影面上的投影.一一、1 1、09102xzy；2 2、1623,1632222 zxzy；3 3、0032422yxzx；4 4、两两直直线线的的交交点点,两两平平面面的的交交线线；5 5、椭椭圆圆与与其其一一切切线线的的交交点点,椭椭圆圆柱柱面面19422 yx与与其其切切平平面面3 y的的交交线线；6 6、4,4,42222 zxzyyx.练习题答案练习题答案三、三、tzty

27、txsin3cos23cos23,)20(t.四、四、0222zayx,0arcsinxaybz,0arccosyaxbz.五、五、0,0,;2222 zxaaxzaxyx.定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.

28、CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面

29、的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:

30、平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的

31、曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的

32、准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的

33、一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线

34、绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其

35、平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面