第四章-稳定性与李雅普诺夫方法汇总课件.ppt

1、2023-1-241第四章稳定性与李雅普诺夫方法2023-1-242一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。工程实施的。系统的稳定性，表示系统在遭受外界绕扰动偏离原来的平衡状态，系统的稳定性，表示系统在遭受外界绕扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种“顽性顽性”。可按两种方式来定义系统运动的稳定性：可按两种方式来定义系统运动的稳定性：通过输入通过输入输出关系来表征的外部稳定性输出关系来表征的外部稳定性通过零输入状态下的

2、状态运动的响应来表征的内部稳定性通过零输入状态下的状态运动的响应来表征的内部稳定性只是在满足一定的条件时，系统的内部稳定性和外部稳定性之只是在满足一定的条件时，系统的内部稳定性和外部稳定性之间才存在等价关系。间才存在等价关系。2023-1-243在经典控制理论中，对于单输入单输出线性定常系统，应用劳在经典控制理论中，对于单输入单输出线性定常系统，应用劳斯斯(Routh)判据和赫尔维茨判据和赫尔维茨(Hurwitz)判据等代数方法判定系统的判据等代数方法判定系统的稳定性，非常方便有效。稳定性，非常方便有效。至于频域中的奈奎斯特至于频域中的奈奎斯特(Nyquist)判据则是更为通用的方法，它不判据

3、则是更为通用的方法，它不仅用于判定系统是否稳定，而且还指明改善系统稳定性的方向。仅用于判定系统是否稳定，而且还指明改善系统稳定性的方向。上述方法都是以分析系统特征方程在根平面上根的分布为基础上述方法都是以分析系统特征方程在根平面上根的分布为基础的。但对于非线性和时变系统，这些判据不适用了。的。但对于非线性和时变系统，这些判据不适用了。早在早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将判定系统稳定性年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将判定系统稳定性的问题归纳为两种方法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二的问题归纳为两种方法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。法。前者是通过求解系统微分方程，然后根据解的

4、性质来判定系统前者是通过求解系统微分方程，然后根据解的性质来判定系统的稳定性。它的基本思想和分析方法与经典理论是一致的。的稳定性。它的基本思想和分析方法与经典理论是一致的。2023-1-244本章重点讨论李雅普诺夫第二法。本章重点讨论李雅普诺夫第二法。它的特点是不求解系统方程，而是通过一个叫李雅普诺夫函数的它的特点是不求解系统方程，而是通过一个叫李雅普诺夫函数的标量函数来直接判定系统的稳定性。标量函数来直接判定系统的稳定性。因此，它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。因此，它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于李雅普诺

5、夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于对系统瞬态响应的质量进行评价以及求解参数最优化问题。对系统瞬态响应的质量进行评价以及求解参数最优化问题。此外，在现代控制理论的许多方面，例如最优系统设计、最优此外，在现代控制理论的许多方面，例如最优系统设计、最优估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论都有广泛的应用。都有广泛的应用。2023-1-2454.1 外部稳定性和内部外部稳定性和内部稳定性稳定性 2023-1-246,)(01ttktu的输入的输入u(t)，所产生的输出，所产生的输出y(t)也是有界的，即成立：也是有界的

6、，即成立：,)(02ttkty则称此因果系统是外部稳定的，也即是有界输入有界输出稳则称此因果系统是外部稳定的，也即是有界输入有界输出稳定的，并简称为定的，并简称为BIBO稳定。稳定。一、外部稳定性一、外部稳定性 考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入u(t)，即满足，即满足条件：条件：2023-1-247在讨论外部稳定性时，必须假定系统的初始条件为零；在这种假定下，系统的输入输出描述才是唯一的和有意义的。对于零初始条件的线性定常系统，G(s)为其传递函数阵，则系统为BIBO稳定的充要条件是：当G(s)为真的有理分式函数矩阵时，G(s)的每一

7、个元传递函数的所有极点均具有负实部。2023-1-248DuCxyxxBuAxx0)0(如果外输入如果外输入u(t)0，初始状态，初始状态x0为任意，且由为任意，且由x0引起的零输入响引起的零输入响应应(t;0,x0,0)满足关系式：满足关系式：00 x),0;(lim0tt则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。二、内部稳定性二、内部稳定性2023-1-249对于该式所描述的线性定常系统，其为渐近稳定的充分必要条对于该式所描述的线性定常系统，其为渐近稳定的充分必要条件是矩阵件是矩阵A的所有特征值均具有负实部，即：的所有特征值均具有负实部，即：niA

8、i,2,1,0)(Re其中其中n为系统的维数。为系统的维数。0111)det()(asasasAsIsnnn那么就可利用劳斯赫尔维茨判据，直接由特征多项式的系数那么就可利用劳斯赫尔维茨判据，直接由特征多项式的系数来判断系统的渐近稳定性。来判断系统的渐近稳定性。当矩阵当矩阵A给定后，则一旦导出其特征多项式：给定后，则一旦导出其特征多项式：2023-1-2410三、内部稳定性和外部稳定性间的关系三、内部稳定性和外部稳定性间的关系结论1：线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定的。结论2：线性定常系统是BIBO稳定的，不能保证系统必是渐近稳定的。证：由系统结构的规范分解定理可知，通过引入线性非

9、奇异变换，可将系统分解为能控能观、能控不能观、不能控能观和不能控不能观四个部分，而输入输出特性只能反映系统的能控能观部分。因此，系统的BIBO稳定只是意味着其能控能观部分为渐近稳定，它既不表明也不要求系统的其它部分是渐近稳定的。结论3：如果线性定常系统为能控和能观的，则其内部稳定性与外部稳定性必是等价的。2023-1-2411xyuxx01111001分析系统的外部稳定性与内部稳定性分析系统的外部稳定性与内部稳定性11)1)(1(111100101)()(11ssssssbAsIcsW传递函数的极点传递函数的极点s=1位于位于s的的左半平面，故系统外部稳定。左半平面，故系统外部稳定。0)1)(

10、1()det(AI可得特征值可得特征值 1=1，2=+1。这是因为具有正实部的特征这是因为具有正实部的特征值值 2=+1被系统的零点被系统的零点s=+1对对消了，所以在系统的输入输消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出来。出特性中没被表现出来。故系统不是内部稳定的。故系统不是内部稳定的。举例2023-1-24124.2 李雅普诺夫关于稳定性的定义 2023-1-2413线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关。非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定

11、性的一般定义2023-1-2414),(txfx一、系统状态的运动及平衡状态一、系统状态的运动及平衡状态设所研究的齐次状态方程为：设所研究的齐次状态方程为：f为与为与x同维的向量函数，是同维的向量函数，是x的各元素的各元素x1,x2,xn和时间和时间t的函数。的函数。2023-1-2415设方程式在给定初始条件设方程式在给定初始条件(t0,x0)下，有唯一解：下，有唯一解：),;(00ttxx),;(0000ttxx表示表示x在初始时刻在初始时刻t0的状态。的状态。x x描述了系统在描述了系统在n维状态空间中从初始条件维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发的一条状出发的一条状态运动的轨线，称

12、系统的态运动的轨线，称系统的运动运动或或状态轨线状态轨线 运动、状态轨线运动、状态轨线2023-1-24160 xf),(te成立，则称xe为系统的平衡状态。若系统存在状态向量xe，对所有t，都使：对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的。Axxfx),(t当A为非奇异矩阵时，满足Axe0的解xe=0是系统唯一存在的一个平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。平衡状态平衡状态2023-1-24173221211xxxxxx对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。10,10,00121eeexxx稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。线性定常系统，

13、其所有平衡状态的稳定性都是一样的，所以才笼统地讲所谓的系统稳定性问题。对其余系统则由于可能存在多个平衡点，而不同平衡点可能表现出不同的稳定性，因此必须逐个加以讨论。2023-1-2418 ：状态向量x与平衡状态xe的距离exx exx为欧几里德范数在n维状态空间中 212222211)()()(neneeexxxxxxxx当很小时，则称s()为xe的邻域。二、稳定性的几个定义二、稳定性的几个定义 点集s()：以xe为中心，为半径的超球体xs()：如系统的解),;(00ttxx位于球域s()内，则：000,),;(ttttexx表明系统由初态x0或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。李雅普诺夫根据

14、系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种情况。exx 2023-1-2419如果系统对于任意选定的实数如果系统对于任意选定的实数 0，都存在另一实数，都存在另一实数(，t0)0，使当：使当：),(00te xx时，从任意初态时，从任意初态x0出发的解都满足：出发的解都满足：tttte000,),;(xx则称平衡状态则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下稳定。为李雅普诺夫意义下稳定。1、李雅普诺夫意义下稳定、李雅普诺夫意义下稳定 其中实数其中实数 与与 有关，一般情况下也与有关，一般情况下也与t0有关。有关。如果与如果与t0无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。

15、2023-1-2420若对应于每一个s()，都存在一个s()，使当t无限增长使，从s()出发的状态轨线(系统的响应)总不离开s()，即系统响应的幅值是有界的，则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下的稳定，简称为稳定。2023-1-2421如果平衡状态如果平衡状态xe是稳定的，而且当是稳定的，而且当t无限增长时，轨线不仅不超无限增长时，轨线不仅不超出出s()，而且最终收敛于，而且最终收敛于xe，则称这种平衡状态，则称这种平衡状态xe渐近稳定。渐近稳定。2、渐近稳定、渐近稳定2023-1-2422从工程意义上说，渐近稳定比稳定更重要。但渐近稳定是一个局部概念，通常只确定某平衡状态的渐近稳定性并不意味着

16、整个系统就能正常运行。因此，如何确定渐近稳定的最大区域，并且尽可能扩大其范围是尤其重要的。2023-1-2423如果平衡状态xe是稳定的，而且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，称这种平衡状态xe大范围渐近稳定。3、大范围渐近稳定显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。对于线性系统来说，由于满足叠加原理，如果平衡状态是渐近稳定的，则必然是大范围渐近稳定的。对于非线性系统，使xe为渐近稳定平衡状态的球域s()一般是不大的，常称这种平衡状态为小范围渐近稳定。2023-1-2424如果对于某个实数0和任一实数0，不管这个实数多么小，由s()内出发的状态轨线，

17、至少有一个轨线越过s()，则称这种平衡状态xe不稳定。4、不稳定、不稳定2023-1-2425球域s()限制着初始状态x0的取值，球域s()规定了系统自由响应 的边界。),;(00ttxx0)(limttx则称xe渐近稳定如果x(t)为有界，则称xe稳定。如果x(t)不仅有界而且有：如果x(t)为无界，则称xe不稳定。在经典控制理论中，只有渐近稳定的系统才称做稳定系统。只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定的系统则称临界稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。渐近稳定稳定不稳定Lyapunov意义下稳定(Re(s)0)经典控制理论(线性系统）2023-1-24264.3 李雅普诺夫第一法李雅普诺

18、夫第一法 2023-1-2427李雅普诺夫第一法又称间接法。它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系统，解出特征方程的根即可作出稳定性判断。对于非线性不很严重的系统，可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后根据其特征根来判断系统的稳定性。2023-1-24280,)0(,0txxAxx xe=0为它的一个平衡状态。一、线性系统的稳定判据(特征值判据)考察没有外输入作用存在时的线性定常自治系统：对于该系统，其原点平衡状态的稳定性，完全由A决定。根据A的特征值的分布来判断系统的稳定性时，其判据为：结论1：系统的每一平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充分必要条件

19、为，A的所有特征值均具有非正(负或零)实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。结论2：系统的唯一平衡状态xe=0是渐近稳定的充分必要条件为，A的所有特征值均具有负实部。由于所讨论的系统为线性的和定常的，所有其为稳定时必是一致稳定的，当其为渐近稳定时必是大范围一致渐近稳定的。2023-1-2429xx 000000001考虑线性定常自治系统：其平衡状态为：320 xxex其中，x2和x3为任意实数。也即，状态空间x2x3中平面上的每一个点均为平衡状态。举例2023-1-24301)(AsI其最小多项式为s(s+1)A的特征值为1，0，0特征值0仅是最小多项式的一个单根。根据特征值判据，

20、此系统的每个平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐近稳定的。10000001 sss)1(000)1(000)1(122sssssss)1(000)1(000)1(1sssss举例2023-1-2431设系统的状态方程为：设系统的状态方程为：),(txfx为讨论系统在为讨论系统在xe的稳定性，可将非线性向量函数的稳定性，可将非线性向量函数f(x,t)在在xe邻域邻域内展成泰勒级数，得：内展成泰勒级数，得：)()(xRxxxfxxxeTeR(x)为级数展为级数展开式中的高阶开式中的高阶导数项。导数项。二、非线性系统的稳定性二、非线性系统的稳定性 nnnnnnnnTxfxfxfxfxfxfxf

21、xfxf212221212111xf称为雅可比称为雅可比(Jacobian)矩阵矩阵2023-1-2432若令若令 xxxe，并取一次近似式，可得系统的线性化方程：，并取一次近似式，可得系统的线性化方程：xAx eTxxxfA在一次近似的基础上，李雅普诺夫给出下列结论：在一次近似的基础上，李雅普诺夫给出下列结论：1)如果系数矩阵如果系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统在平衡状态在平衡状态xe是渐近稳定的，而且系统的稳定性与是渐近稳定的，而且系统的稳定性与R(x)无关。无关。2)如果如果A的特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统的平的特

22、征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状态衡状态xe是不稳定的。是不稳定的。3)如果如果A的特征值，至少有一个的实部为零，系统处于临界情况，的特征值，至少有一个的实部为零，系统处于临界情况，那么原非线性系统的平衡状态那么原非线性系统的平衡状态xe的稳定性将取决于高阶导数项的稳定性将取决于高阶导数项R(x)，而不能由，而不能由A的特征值符号来确定。的特征值符号来确定。2023-1-2433系统状态方程为：系统状态方程为：21222111xxxxxxxx分析系统在平衡状态处的稳定性。分析系统在平衡状态处的稳定性。举例举例2023-1-243411,0021eexx在在xe1处线性化：处线

23、性化：2211xxxx1001A系统有两个平衡状态：系统有两个平衡状态：1=1，2=+1，可见原非线性系统在，可见原非线性系统在xe1处是不稳定的。处是不稳定的。1221xxxx0110A 12=j，实部为零，因而不能由线性化方程得出原非线性系统，实部为零，因而不能由线性化方程得出原非线性系统在在xe2处稳定性的结论。处稳定性的结论。在在xe2处线性化：处线性化：这种情况要应用李雅普诺夫第二法进行判定。这种情况要应用李雅普诺夫第二法进行判定。2023-1-24354.4 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法 2023-1-2436李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思想不是通过求解系统的运动方程，

24、而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性作出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其存储的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也不消耗，那么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。2023-1-2437如图所示曲面上的小球B，受到扰动作用后，偏离平衡点A到达状态C，获得一定的能量，(能量是系统状态的函数)然后便开始围绕平衡点A来回振荡。BAC如果曲面表明绝对光滑，运动过程不消耗能量，也不再从外界吸收

25、能量，储能对时间便没有变化，那么，振荡将等幅地一直维持下去，这就是李雅普诺夫意义下的稳定。如果曲面表面有摩擦，振荡过程将消耗能量，储能对时间的变化率为负值。那么振荡幅值将越来越小，直至最后小球又回复到平衡点A。根据定义，这个平衡状态便是渐近稳定的。2023-1-2438由此可见，按照系统运动过程中能量变化趋势的观点来分析系统的稳定性是直观而方便的。但是，由于系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系，于是李雅普诺夫定义一个正定的标量函数V(x)，作为虚构的广义能量函数，然后，根据 的符号特征来判别系统的稳定性。dtdVV)()(xx)(xV对一个给定系统，若能找到

26、一个正定的标量函数V(x)，而 是负定的，则这个系统是渐近稳定的。这个V(x)叫做李雅普诺夫函数。实际上，任何一个标量函数只有满足李雅普诺夫稳定性判据所假设的条件，均可作为李雅普诺夫函数。2023-1-2439由此可见，应用李雅普诺夫第二法的关键问题便可归结为寻找李雅普诺夫函数V(x)的问题。过去，寻找李雅普诺夫函数主要是靠试探，几乎完全凭借设计者的经验和技巧。这严重地阻碍着李雅普诺夫第二法的推广应用。现在，随着计算机技术的发展，凭借数字计算机不仅可以找到所需要的李雅普诺夫函数，而且还能确定系统的稳定区域。但是要想找到一套对任何系统都普遍适用的方法仍很困难。2023-1-2440一、预备知识

27、1、标量函数的符号性质 设V(x)为由n维向量x所定义的标量函数，x，且在x=0处，恒有V(x)=0。对所有在域中的任何非零向量x，如果成立：(1)V(x)0，称V(x)为正定的。22212)(xxVx(2)V(x)0，称V(x)为半正定(或非负定)的。221)()(xxVx(3)V(x)0或V(x)0。(2)若若V(x)负定，则称负定，则称P为负定，记做为负定，记做P0。(3)若若V(x)半正定半正定(非负定非负定)，称，称P为半正定为半正定(非负定非负定)，记做，记做P 0。(4)若若V(x)半负定半负定(非正定非正定)，称，称P为半负定为半负定(非正定非正定)，记做，记做P 0。由上可见

28、，矩阵由上可见，矩阵P的符号性质与其所决定的二次型函数的符号性的符号性质与其所决定的二次型函数的符号性质完全一致。质完全一致。因此，要判别因此，要判别V(x)的符号只要判别的符号只要判别P的符号即可。而后者可由希的符号即可。而后者可由希尔维斯特尔维斯特(Sylvester)判据进行判断。判据进行判断。2023-1-24463、希尔维斯特、希尔维斯特(Sylvester)判据判据 jiijnnnnnnppppppppppp,212222111211P),2,1(,nii为其各阶主子行列式：为其各阶主子行列式：Pnppppp,222112112111设实对称矩阵：设实对称矩阵：2023-1-244

29、7矩阵矩阵P(或或V(x)定号性的充要条件定号性的充要条件),2,1(,0nii则称则称P(或或V(x)为正定的。为正定的。(2)、为奇数为偶数iii00则称则称P(或或V(x)为负定的。为负定的。(3)、ninii01,2,10称称P(或或V(x)为半正定为半正定(非负定非负定)(4)、niiii000为奇数为偶数称称P(或或V(x)为半负定为半负定(非正定非正定)的。的。(1)、2023-1-2448二、李雅普诺夫第二法的主要定理二、李雅普诺夫第二法的主要定理 0),(tttxfx 对一切对一切t成立成立f(0,t)=0，即状态空间的原点为系统的平衡状态。，即状态空间的原点为系统的平衡状态

30、。1、大范围一致渐近稳定的判别定理、大范围一致渐近稳定的判别定理考虑连续时间的非线性时变自由系统：考虑连续时间的非线性时变自由系统：对该系统，如果存在一个对对该系统，如果存在一个对x和和t具有连续一阶偏导数的标量函具有连续一阶偏导数的标量函数数V(x,t)，V(0,t)=0，且满足：，且满足：(1)、V(x,t)正定且有界正定且有界(2)、V(x,t)对时间对时间t的导数的导数 负定且有界负定且有界(3)、当、当 时，有时，有V(x,t)则系统的原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。则系统的原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。),(tVxx原点平衡状态为大范围渐近稳定的判别定理，通常称其为李原点平衡

31、状态为大范围渐近稳定的判别定理，通常称其为李雅普诺夫主稳定性定理。雅普诺夫主稳定性定理。2023-1-2449由该结论给出的条件，只是保证系统为大范围一致渐近稳定的由该结论给出的条件，只是保证系统为大范围一致渐近稳定的充分条件。充分条件。充分条件的局限性在于，如果对给定系统找不到一个标量函数充分条件的局限性在于，如果对给定系统找不到一个标量函数V(x,t)使满足结论中所指出的条件，那么将不能对判断系统的稳使满足结论中所指出的条件，那么将不能对判断系统的稳定性提供任何信息。定性提供任何信息。而且，在实际问题中，这样的情况是相当常见的。而且，在实际问题中，这样的情况是相当常见的。进而，不难看出，若

32、结论中的条件进而，不难看出，若结论中的条件(3)不满足，且条件不满足，且条件(1)和和(2)仅仅对原点一个邻域对原点一个邻域 内满足，则相应地只能导出局部一致渐近稳内满足，则相应地只能导出局部一致渐近稳定的结论，同时进一步的问题是要确定出吸引区定的结论，同时进一步的问题是要确定出吸引区，通常这不，通常这不是一件容易的事。是一件容易的事。2023-1-2450因为因为V(x,t)为正定且有界，所以不妨将其看成是一种为正定且有界，所以不妨将其看成是一种“能量能量”，而而 则相应地为能量随时间的变化率。则相应地为能量随时间的变化率。),(tVx在物理上很容易理解，如果一个系统的能量是有限的，并且能在

33、物理上很容易理解，如果一个系统的能量是有限的，并且能量的变化率总是负的，那么系统的所有运动都必是有界的，并量的变化率总是负的，那么系统的所有运动都必是有界的，并最终返回到原点平衡状态。最终返回到原点平衡状态。李雅普诺夫主稳定定理正是这一明显的物理事实的推广形式。但李雅普诺夫主稳定定理正是这一明显的物理事实的推广形式。但是毕竟是毕竟V(x,t)不能等同于能量，而且随着系统的不同，不能等同于能量，而且随着系统的不同，V(x,t)的含的含义和形式各不相同，故通常将义和形式各不相同，故通常将V(x,t)称为李雅普诺夫函数。称为李雅普诺夫函数。对于简单的系统，通常把李雅普诺夫函数取为系统状态的一个二对于

34、简单的系统，通常把李雅普诺夫函数取为系统状态的一个二次型函数；次型函数；对于复杂的系统，其李雅普诺夫函数的构造尚无一般的方法，只对于复杂的系统，其李雅普诺夫函数的构造尚无一般的方法，只能根据研究者的经验而试选，而且实例表明此时李雅普诺夫函数能根据研究者的经验而试选，而且实例表明此时李雅普诺夫函数的形式也远比二次型要复杂得多。的形式也远比二次型要复杂得多。大范围一致渐近稳定的直观含义2023-1-24512、定常系统的大范围渐近稳定判别定理一、定常系统的大范围渐近稳定判别定理一 0),(tt xfx 如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x)，V(0)=

35、0，且对，且对状态空间中的一切非零点状态空间中的一切非零点x满足：满足：(1)、V(x)正定且有界正定且有界(2)、V(x)对时间对时间t的导数的导数 负定负定(3)、当、当 时，有时，有V(x)则系统的原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。则系统的原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。)(xVx对于定常系统：对于定常系统：对对t 0成立成立f(0)=0。2023-1-2452)()(22212122221121xxxxxxxxxx00ex2221)(xxVxV(x)为正定为正定dtdxxVdtdxxVV2211)()()(xxx负定负定)(xV2221xxx2)(xxV因此该系统大范围一致渐近稳定。

36、因此该系统大范围一致渐近稳定。且当且当时，时，221122xxxx)(2)(222212122221121xxxxxxxxxx22221)(2xx举例2023-1-2453一般地说，对于相当一些系统，要构造一个李雅普诺夫函数一般地说，对于相当一些系统，要构造一个李雅普诺夫函数V(x)，使其满足，使其满足 为负定，常常是不易做到的。同时，从为负定，常常是不易做到的。同时，从直观上也容易理解，要求直观上也容易理解，要求 为负定不免过于保守。为负定不免过于保守。)(xV)(xV判别定理一的局限性2023-1-24540),(tt xfx 3、定常系统的大范围一致渐近稳定判别定理二、定常系统的大范围一

37、致渐近稳定判别定理二 对于定常系统：对于定常系统：如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x)，V(0)=0，且对，且对状态空间中的一切非零点状态空间中的一切非零点x满足：满足：(1)V(x)正定正定(2)为半负定为半负定(3)对任意对任意x0，不恒为不恒为0(4)当当 时，有时，有V(x)dtdVV)()(xx)0,;(0 xtVxt 0，f(0)=0则系统的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。则系统的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。2023-1-2455由于由于 半负定，所以在半负定，所以在x 0时会出现时会出现 ，这时系，这时系统可能有两种统可

38、能有两种运动情况：运动情况：)(xV0)(xVx1x2x0 xex1x2x0 xe 恒为恒为0，这时运动轨线落在某个特定曲面，这时运动轨线落在某个特定曲面V(x)=C上，这意味着运动轨线不会收敛于原点。上，这意味着运动轨线不会收敛于原点。)0,;(0 xtV)0,;(0 xtV 不恒为不恒为0，运动轨线只在某个时刻与某个曲，运动轨线只在某个时刻与某个曲面面V(x)=C相切，运动轨线通过切点后向原点收敛，属渐近稳定。相切，运动轨线通过切点后向原点收敛，属渐近稳定。2023-1-2456U(s)Y(s)21s系统是一个结构不稳定系统。系统是一个结构不稳定系统。它的自由解是一个等幅的正弦振荡。要想使

39、这个系统稳定，必它的自由解是一个等幅的正弦振荡。要想使这个系统稳定，必须改变系统的结构。须改变系统的结构。举例2023-1-245711)()(2ssUsYu100110 xx 1221xxxx00ex0)(2221xxV x0)(222)(21212211xxxxxxxxVx 在任意在任意x 0的值上均为的值上均为0，V(x)为常数：为常数：)(xVCxxxV2221)(系统运动的轨线是一系列以原点为圆心，系统运动的轨线是一系列以原点为圆心，C C为半径的圆。为半径的圆。系统为李雅普诺夫意义下的稳定。系统为李雅普诺夫意义下的稳定。举例2023-1-24582221221)1(xxxxxx00

40、ex2221)(xxVx(1)V(x)为正定为正定 dtdxxVdtdxxVV2211)()()(xxx(2)221122xxxx)1(22221221xxxxxx2222)1(2xx0)(xV0)(xV)(xV(a)、x1任意，任意，x2=0(b)、x1任意，任意，x2=1 其他：其他：为半负定为半负定故故举例2023-1-2459考察情况考察情况(a)：0)()0,;(10txt xx2(t)=00)(2tx 12221221)1(00 xxxxxxx除了原点除了原点0)()0,;(10txt x不是系统的受扰运动解。不是系统的受扰运动解。(3)检查是否检查是否 恒为恒为0。)0,;(0

41、xtV归结为判断这两种情况是否为系统的受扰运动解。归结为判断这两种情况是否为系统的受扰运动解。2023-1-2460再考察情况再考察情况(b)：1)()0,;(10txt xx2(t)=10)(2tx 12221221)1(01xxxxxxx矛盾，不是系统的受扰运动解矛盾，不是系统的受扰运动解)0,;(0 xtV2221xxx不恒为不恒为0(4)2)(xxV因此，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。因此，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。2023-1-24614、时变系统、时变系统(李雅普诺夫意义下的李雅普诺夫意义下的)稳定的判别定理稳定的判别定理0),(tttxfx 如果存在一个对

42、如果存在一个对x和和t具有连续一阶偏导数的标量函数具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，V(0,t)=0，和围绕原点的一个吸引区，和围绕原点的一个吸引区，使对一切，使对一切x和一切和一切t t0，且满足：，且满足：(1)、V(x,t)正定且有界正定且有界(2)、V(x,t)对时间对时间t的导数半负定且有界的导数半负定且有界 则系统的原点平衡状态为则系统的原点平衡状态为 域内一致稳定。域内一致稳定。考虑连续时间的非线性时变自由系统：考虑连续时间的非线性时变自由系统：对一切对一切t成立成立f(0,t)=0，即状态空间的原点为系统的平衡状态。，即状态空间的原点为系统的平衡状态。2023-1-24

43、625、定常系统稳定的判别定理、定常系统稳定的判别定理 0),(tt xfx 如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x)，V(0)=0，和围，和围绕原点的一个吸引区绕原点的一个吸引区，使对一切，使对一切x和一切和一切t 0满足：满足：(1)V(x)正定正定(2)为半负定为半负定 则称系统原点平衡状态为则称系统原点平衡状态为 域内稳定。域内稳定。dtdVV)()(xx由于上述给出的所有判别定理都只提供了充分条件，因此如果由于上述给出的所有判别定理都只提供了充分条件，因此如果经多次试取李雅普诺夫函数都得不到确定的答案时，就要考虑经多次试取李雅普诺夫函数都得

44、不到确定的答案时，就要考虑其为不稳定的可能性。其为不稳定的可能性。对于定常系统：对于定常系统：对一切对一切t 0成立成立f(0)=02023-1-24636、不稳定的判别定理、不稳定的判别定理 0),(tttxfx 0),(tt xfx 如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x,t)或或V(x)，V(0,t)=0和和V(0)=0，和围绕原点的一个吸引区，和围绕原点的一个吸引区，使对一切，使对一切x和一切和一切t t0，满足如下的条件：，满足如下的条件：(1)V(x,t)为正定且有界或为正定且有界或V(x)为正定为正定(2)也为正定且有界或也为正定且有界

45、或 也为正定也为正定则系统平衡状态为不稳定。则系统平衡状态为不稳定。或定常系统或定常系统),(tVx)(xV对于时变系统对于时变系统由此结论可以看出，当由此结论可以看出，当V(x,t)和和 同号时，系统的受扰运同号时，系统的受扰运动轨线理论上将发散到无穷大。动轨线理论上将发散到无穷大。),(tVx2023-1-2464举例举例xx1111确定确定xe=0处的稳定性。处的稳定性。0)(2221xxV x0)(222)(22212211xxxxxxVx所以系统在所以系统在xe=0处是不稳定的。处是不稳定的。由特征方程：由特征方程：0221111det)det(2sssssAI可知，方程各系数不同号

46、，系统必然不稳定。可知，方程各系数不同号，系统必然不稳定。2023-1-2465三、对李雅普诺夫函数的讨论三、对李雅普诺夫函数的讨论 运用李雅普诺夫第二法的关键在于寻找一个满足判据条件的李运用李雅普诺夫第二法的关键在于寻找一个满足判据条件的李雅普诺夫函数雅普诺夫函数V(x)。李雅普诺夫稳定性理论本身并没有提供构造李雅普诺夫稳定性理论本身并没有提供构造V(x)的一般方法。的一般方法。尽管第二法原理上很简单，但应用起来却很不容易。尽管第二法原理上很简单，但应用起来却很不容易。1)、V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且对是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且对x应具有连续的一阶

47、偏导数。应具有连续的一阶偏导数。2)、对于一个给定的系统，如果、对于一个给定的系统，如果V(x)是可找到的，那么通常是非是可找到的，那么通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。唯一的，但这并不影响结论的一致性。3)、V(x)的最简单形式是二次型函数：的最简单形式是二次型函数：PxxxTV)(其中其中P为实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。为实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但但V(x)并不一定都是简单的二次型。并不一定都是简单的二次型。2023-1-24664)、如果、如果V(x)为二次型，且可表示为：为二次型，且可表示为：IxxxTniinxxxxV1222221)(则则V(

48、x)=Ck=常数，常数，CkCk+1，k=1,2,在几何上表示状态空间中在几何上表示状态空间中以原点为中心，以以原点为中心，以Ck为半径的超球面，为半径的超球面，Ck必位于必位于Ck+1的球面内。的球面内。V(x)就表示从原点至就表示从原点至x点的距离。点的距离。便表示了系统相对原点便表示了系统相对原点运动的速度。运动的速度。)(xV)(xV)(xV)(xV若这个距离随着时间的推移而减小，即若这个距离随着时间的推移而减小，即 0，则原点不稳，则原点不稳定定2023-1-24675)、V(x)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况。

49、但丝毫不能提供域外运动的任何信息。定情况。但丝毫不能提供域外运动的任何信息。6)、由于构造、由于构造V(x)函数需要较多的技巧，因此李雅普诺夫第二法函数需要较多的技巧，因此李雅普诺夫第二法主要用于确定那些使用别的方法无效或难以判别其稳定性的问主要用于确定那些使用别的方法无效或难以判别其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。题。例如高阶的非线性系统或时变系统。2023-1-24684.5 线性系统的状态运线性系统的状态运动稳定性的李雅普诺夫动稳定性的李雅普诺夫判据判据 2023-1-2469Axx则平衡状态则平衡状态xe=0为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的为大范围渐近稳定的充要

50、条件是：对任意给定的正定实对称矩阵正定实对称矩阵Q，如下形式的李雅普诺夫矩阵方程：，如下形式的李雅普诺夫矩阵方程：QPAPAT有有唯一正定对称唯一正定对称矩阵解矩阵解P。讨论线性系统中受扰运动即状态的零输入响应的稳定性问题。讨论线性系统中受扰运动即状态的零输入响应的稳定性问题。一、线性定常连续系统渐近稳定判据一、线性定常连续系统渐近稳定判据 2023-1-2470P正定，欲证正定，欲证xe=0为渐近稳定。为渐近稳定。PxxxTV)(P=PT0，V(x)为正定为正定xPxPxxxTTV)(Q=QT0，为负定为负定)(xV)()(AxPxPxAxTTxPAPAx)(TTQxxT由李雅普诺夫稳定性定