28. （教师版）2019年长沙市、南昌市部分学校高三第一次联合模拟考试理科数学.pdf

1、 2019 年长沙市、南昌市部分学校高三第一次联合模拟考试 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1 3i 2i （ ） A 61 i 55 B 6 i 5 C1 i D1 i 1答案：D 解析： 3i(3i)(2i)55i 1 i 2i(2i)(2i)5 2已知集合 2 | 21, |,AxxBx xta tA ，若AB，则实数a的取值范围是（ ） A(, 2 B 2,3 C2,3 D3,) 2答案：C 解析：由题可知( 2

2、,1)t ，所以 2 ,4)xtaaa ，所以 |4Bxaxa，由AB， 得 2 41 a a ，解得23a 3已知数列 n a为等比数列，若 2659 16,128aaaa，则 2 a （ ） A2 B16 19 C 2 3 D16 17 3答案：D 解析：设等比数列 n a的公比为q，则由题意得 3 59 26 128 8,2 16 aa qq aa ， 4 262222 16 1716, 17 aaaa qaa 4某工厂经过技术改造，降低了能源消耗，职能部门从某车间抽取部分工人进行调查，发现他们一天的 能源消耗指数均在 50350 之间，按照50,100)， 100,150)， 150,

3、200)，200,250) ， 250,300)，300,350 分组，得到频率分布直方图如图所示若采用分层抽样的方法从能源消耗指数在50,200)内的工人中抽取 10 人进行业务指导，则应从能源消耗指数在100,150)内选取的人数为（ ） A5 B3 C2 D4 4答案：B 解析：由题意可得，(0.00240.00360.00440.00240.0012) 501x，解得0.0060x ，所以 前三组的人数之比为0.0024:0.0036:0.00602:3:5， 故应从100,150)内选取的人数为 3 103 235 5 函数( )sin(0) 3 f xx 的图象向右至少平移 4 个

4、单位长度才能与原函数的图象关于x轴对 称，则函数( )f x的单调递增区间为（ ） A 7 ,() 242242 kk k Z B 7 ,() 2424 kkk Z C 5 ,() 242242 kk k Z D 5 ,() 244244 kk k Z 5答案：C 解析：由题意，2 42 T ，则 2 4,( )sin 4 3 f xx T ，于是由 242, 232 kxkk Z，得( )f x的单调递增区间为 5 ,() 242242 kk k Z 6执行如图所示的程序框图，则输出的M的值为（ ） A8 B7 C6 D5 6答案：A 解析： 执行程序框图， 14 2, 3 xM， 不满足m

5、 N， 32 3, 7 xM， 不满足m N， 86 4, 15 xM， 不满足m N，5,8xm，满足m N，此时退出循环，所以输出的8M 7如图为某几何体的三视图，网格中小正方形的边长为 1，则该几何体的表面积为（ ） A16 16 248 B32 16 248 C48 16 248 D48 16 256 7答案：A 解析：由三视图知，该几何体可看作一个三棱柱与一个圆柱的 3 4 构成的组合体，如图，其中三棱柱的底面 是直角边为 4 的等腰直角三角形、高为 4，圆柱的底面半径为 4、高为 4，所以该几何体的表面积 2 133 4 4 24 244224 416 16 248 244 S 8

6、二项式 8 2 2 2 ax 的展开式中 6 x的系数为56 2，则 1 (cos) a xx dx （ ） A2 B1 C 3 2 D 1 2 8答案：C 解析：二项式 8 2 2 2 ax 的展开式中含 6 x的项为 5 52 3333 8 2 ()7 2,7 256 2 2 Caxa xa ， 2a， 所以 2 2 2 11 1 113 (cos)(cos)sin 22 a xx dxxx dxxx 9 已知函数( )()(0,) x f xxa eaaR的图象在点(2,(2)f处的切线 1 l的斜率与在点( 2,( 2)f处 的切线 2 l的斜率之积为3，则切线 1 l与坐标轴围成的三

7、角形的面积为（ ） A 2 4e B 2 2e C 2 e D 2 2 e 9答案：B 解析：( )()(1) xxx fxexa exae，则 22 (2)(3),( 2)(1)fa efae ，由题意可得 22 (3) (1)3a eae ，即 2 20aa，又因为0a ，所以2a ，所以( )(2) x f xxe， ( )(1) x fxxe，则 2 (2)0,(2)ffe，于是切线 1 l的方程为 2( 2)yex，令0y ，得2x ，令 0x ，得 2 2ye ，所以切线 1 l与坐标轴围成的三角形的面积为 22 1 2 22 2 ee 10已知 12 ,F F分别为双曲线 22

8、22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，且 直线 2 : b l y a 与双曲线C的左右两支分别交于,P Q两点，若 12 2 PAFQAF ，则双曲线C的离心 率的取值范围为（ ） A(1,2) B 51 1, 2 C( 2,) D 51, 2 10答案：A 解析： 由 22 22 2 1 xy ab b y a ， 得xc ， 所以 22 , bb PcQ c aa ， 因为( ,0)A a， 所以 2 , b APca a ， 2 , b APca a ，又 12 2 PAFQAF ，所以 2 PAQ ，则0AP AQ ， 即 44 22 22

9、()()0 bb ca caac aa ，因为 222 cab，所以 4 2 2 0 b b a ，所以 2 2 1 b a ， 所以双曲线C的离心率 2 12 cb e aa ，又1e ，所以12e QP F2F1A O 11如图，在四棱锥CABDE中，四边形ABDE为矩形，2,EACACBACCB F G分别为 ,AB AE的中点，平面ABDE 平面ABC，若四面体CFDG的各个顶点均在球O的表面上，则球O的 体积（ ） A11 11 6 B9 2 C36 2 D72 2 A B C D G E F 11答案：A 解析：因为F为AB的中点，CACB，所以CFAB因为平面ABDE 平面ABC

10、，所以CF 平 面ABDE， 则,CFFD CFFG 易知在矩形ABDE中，2 2AB ，3,6,3FGFDDG， 所以 222 DGGFFD， 则GFFD， 因为点,F C D G均在球O上， 所以以F为顶点，,FC FD FG 为相邻棱的长方体的顶点均在球O上，则球O的直径 222 211RFCFDFG，即 11 2 R ， 则球O的体积 3 3 441111 11 3326 VR 12已知函数 (2)21,2 ( ) 3 3,2 1 x xx f x x x ，若函数( )( )2g xf xmxm有三个不同的零点，则实 数m的取值范围为（ ） A( 1,0) B(0,1) C( 1,1

11、) D(1,3) 12答案：B 解析：函数( )( )2g xf xmxm的零点即方程( )(2)f xm x的根， 21,2 ( ) 3 2 ,2 1 x x f x m x x x ， 根据题意可知直线ym与 21,2 3 ,2 1 x x y x x 的图象有三个不同的交点在同一平面直角坐标系中作出 这两个函数的图象，如图，由图可知当01m时，两个函数的图象有三个不同的交点，即函数 ( )( )2g xf xmxm有三个不同的零点 1 O m 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，准线与x

12、轴交于点A，点(0,3)M，若AMF为正三 角形，则p 13答案：2 3 解析：由题意得 3 3 2 p ，解得2 3p 14 已知,P Q分别是边长为 2 的正六边形ABCDEF的边,CD EF的中点， 则AQ BP 14答案：13 2 解析：解法一：由正六边形的性质知， 1 ,2 2 FQBC AFCDCP ，则由题意，得 1 2, 2 AQAFFQCPBC BPBCCP ， 22 151 22 222 AQ BPCPBCCPBCCPCP BCBC 22 5113 2 11 2cos602 222 解法二：以A为坐标原点，,AB AE 的方向分别为, x y轴的正方向，建立平面直角坐标系如

13、图所示， 则 1 3 35 3 3 (0,0),(2,0),(0,2 3),( 1, 3),(3, 3), 2222 ABEFCQP ， 1 3 31 3 312713 , 2222442 AQBPAQ BP AB C D E F Q P x y 15某玩具厂拟定生产两款新毛绒玩具样品，一款为毛绒小猪，另一款为毛绒小狗由设计图可知，生产 这两款毛绒玩具均需相同材质的填充物、 长毛绒、 天鹅绒， 且每个毛绒小猪需填充物 1 200g、 长毛绒 25 cm、 天鹅绒 30 cm，每个毛绒小狗需填充物 720g、长毛绒 15 cm、天鹅绒 9 cm，现有所需填充物 144 000g、长 毛绒 3 0

14、00 cm、天鹅绒 2 700 cm，若每个毛绒小猪与毛绒小狗的出厂价分别为 64 元、36 元，则生产这批 毛绒玩具的最大销售额为 元 15答案：7440 解析：设生产毛绒小猪x个，毛绒小狗y个，则由题意，得 1200720144000 25153000 3092700 , xy xy xy x y N ，即 53600 103900 , xy xy x y N ，销售额6436zxy 作出可行域，如图中阴影部分包含的整数点，由图可知，当6436zxy经过点(60,100)A时取得最大 值，即 max 64 6036 1007440z O A x y 103900xy 53600xy 16已

15、知各项均为正数的数列 n a满足 3 11 1 2 8,22, 2 n n nnnn n nn a aaacb cc ，且数列 n b 的前n项和为 n T，则使10 n T 的n的最小值为 16答案：121 解析：由 3 1 22n nn aa ，得 1 4 22 nn nn aa ，即 1 4 nn cc ，所以数列 n c是首项为 1 1 4 2 a c ，公 差为 4 的等差数列，故4 n cn，所以 1 1 1 n bnn nn ， 则 12 ( 21)( 32)(1)1 1 nn Tbbbnnn ， 则由1 110n ，解得120n ，故使10 n T 的n的最小值为 121 三、

16、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 如图， 在平面四边形ABCD中， 对角线BD平分ABC，BAD为钝角，120 ,2BCDBCCD， :2 :1AB AD （1）求ABD的外接圆半径； （2）求ABC的面积 A B C D 17解析： （1）2,120 ,30 ,30BCCDBCDCBDBDCABDCBD ， 在BCD中，由正弦定理，得 sinsin BDCD BCDCBD ，即 2 sin120sin30 BD ，

17、2 3BD2 分 在ABD中，由正弦定理，得 2 ,sinsin,45 ,105 sinsin2 ABADAB ADBABDADBBAD ADBABDAD 4 分 又 62 sin105sin75 4 ，5 分 ABD的外接圆的直径 2 3 26 22 6 sin62 4 BD R BAD ， ABD的外接圆的半径3 26R 7 分 （2）在ABD中，由正弦定理，得 sinsin ABBD ADBBAD ， 2 2 3 sin 2 62 3 sin62 4 BDADB AB BAD 9 分 又260ABCABD ，10 分 ABC的面积 113 sin(62 3) 23( 31) 222 SA

18、B BCABC 12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，平面BDEF 平面ABCD，/EFBD， DEBD，2,2,ADDEEFG为FC上一点 （1）求证：平面BDG 平面ACF； （2）若FGGC，求平面ABF与平面BDG所成锐二面角的余弦值 A B C D E F G 18解析： （1）由题意知BDAC，设ACBDO，连接OF，易知2 2BD ， 1 2 2 EFBDDO，又/EFBD，四边形DEFO为平行四边形，/DEFO， 又DEBD，BDFO3 分 又ACFOO，BD平面ACF又BD 平面BDG，所以平面BDG 平面ACF5 分

19、 （2）因为平面BDEF 平面ABCD，DEBD，DE平面ABCD，,ADDE DEDC，又 ADDC，所以以D为坐标原点，,DA DC DE所在直线分别为, ,x y z轴建立如图所示空间直角坐标 系，则 1 3 (0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2),1 2 2 DABCFG ， 1 3 (0,2,0),( 1,1,2),(2,2,0),1 2 2 ABAFBDDG 7 分 设平面ABF的一个法向量为 1111 ( ,)nx y z ， 则 1 111 20 20 n ABy n AFxyz ，取 1 1z ，得 1 (2,0,1)n 9 分 设平面

20、BDG的一个法向量为 2222 (,)nxyz ，则 22 222 220 13 0 22 n DBxy n DGxyz ，取 2 1x ，得 2 (1, 1,1)n 11 分 12 12 12 315 cos, 553 n n n n nn ， 故平面ABF与平面BDG所成锐二面角的余弦值为 15 5 12 分 A B C D E F G O x y z 19 （本小题满分 12 分） 某零件加工厂有甲、乙两个生产车间，它们生产同一种零件，每生产一个该零件，需要的成本为 100 元， 每个零件售价 500 元由于资金周转问题，目前甲车间已经改革了生产技术，生产能力有所提升，而乙车 间暂未进行

21、技术改革为了研究甲、乙两个车间的生产能力，零件加工厂记录了相同的 100 天内甲、乙两 个车间每天分别生产的零件个数，并整理得到下面的表格： 甲车间的日生产零件数/个 12 13 14 频数 20 40 40 乙车间的日生产零件数/个 12 13 14 频数 50 30 20 将频率视为概率，记 X 为该零件加工厂目前总的日生产零件数（单位：个） （1）求 X 的分布列 （2）已知某手机制造厂每天向该零件加工厂购买零件，并且该手机制造厂对该零件的日需求量为 25 个， 约定：若零件加工厂的日生产零件数不超过手机制造厂对该零件的日需求量，则零件加工厂当日生产的全 部零件均以售价卖给手机制造厂；若

22、零件加工厂的日生产零件数超过手机制造厂对该零件的日需求量，则 零件加工厂当日生产的零件按照手机制造厂对该零件的日需求量以售价卖给手机制造厂，超出的零件以成 本价卖给手机制造厂 不考虑其他成本，记为零件加工厂销售该零件的日利润（单位：元） ，求的分布列和期望； 若调低售价为每个零件 490 元，则该手机制造厂对该零件的日需求量也相应地调整为 27 个不考虑其 他成本， 从零件加工厂销售该零件的日利润的期望值进行判断， 你认为是否应该调低售价呢？试说明理由 19解析： （1）由题意及题表可知，甲车间每天生产 12，13，14 个零件的概率分别为0.2, 0.4, 0.4， 乙车间每天生产 12，1

23、3，14 个零件的概率分别为0.5, 0.3, 0.22 分 从而 X 的所有可能取值为 24，25，26，27，28， (24)0.2 0.50.1,(25)0.2 0.30.4 0.50.26, (26)0.2 0.20.4 0.30.4 0.50.26, (27)0.4 0.20.4 0.30.2,(28)0.4 0.20.08 P XP X P X P XP X 所以 X 的分布列为： X 24 25 26 27 28 P 0.1 0.26 0.36 0.2 0.08 4 分 （2）由题意知 (500 100),24, 25 10 000,26,27,28 XX X 5 分 所以的分布

24、列为 9600 10000 P 0.1 0.9 6 分 所以( )9600 0.1 10000 0.99960E7 分 当手机制造厂对该零件的日需求量为 27 个时，记 1 为零件加工厂销售该零件的日利润（单位：元） ，按 照约定， 1 390,24,25,26,27, 10530,28 XX X 8 分 所以 1 的分布列为： 1 9360 9750 10140 10530 P 0.1 0.26 0.36 0.28 9 分 所以 1 ( )9360 0.1 9750 0.26 10140 0.36 10530 0.2810069.8E11 分 因为 1 ( )( )EE，所以应该选择调低售价

25、12 分 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 2 :1(20) 4 xy Cb b 的右焦点为F， ,A B是椭圆上关于原点对称的零点，且以AB为直 径的圆经过点F，:(32 2):1AFBF （1）求b的值； （2）如图，设,P Q分别为椭圆C的右顶点与上顶点，若直线 1 :( 11) 2 l yxmm 与椭圆C交于 ,M N两点，求四边形PMQN面积的取值范围 x O N M P Q y l 20解析： （1）设 F 为椭圆C的左焦点，连接,AFBF，由:(32 2):1AFBF ，可设BFt， 则(32 2)AFt因为以AB为直径的圆经过点F，AFBF，1 分 易知以AB为直

26、径的圆的圆心为坐标原点O， F 在圆O上， F F 为圆O的直径，易知四边形F AFB是 矩形，AFt根据椭圆的定义知，(42 2)24AFAFta ，则22t ，3 分 由勾股定理可得 22 2(32 2) 2 3,3cttc ， 22 1bac 5 分 （2） 由 （1） 知椭圆的方程为 2 2 1 4 x y， 与直线l的方程联立， 消去y并整理得： 22 2220xmxm， 则 222 (2 )4(22)4(2)0mmm 设 1122 ( ,),(,)M x yN xy，则 2 1212 2 ,22xxm x xm 7 分 2 2222 121212 155 1()4( 2 )4(22

27、)52 222 MNxxxxx xmmm 点P到直线MN的距离 1 21 5 m d ，点Q到直线MN的距离 2 21 5 m d ，9 分 12 21214 11, 555 mm mdd ， 2 12 1 ()2 2 2 PMQN SddMNm 四边形 11 分 由11m ，得 2 01,22 2 PMQN mS 四边形 ， 故四边形PMQN的面积的取值范围为(2,2 212 分 21 （本小题满分 12 分）已知函数 2 ( )() x f xxaxb e （1）当0ab时，试讨论函数( )f x的单调性； （2）当ab时，若( )0f xe 恒成立，求实数a的取值范围 21解析： （1）

28、因为ba ，所以 2 ( )() x f xxaxa e，且定义域为R， 2 ( )(2) x fxxax e2 分 令( )0fx，得0x 或2xa ， 当20a ，即2a 时，当(,0)x 时，( )0,( )fxf x单调递增；当(0,2)xa 时， ( )0,( )fxf x单调递减；当(2,)xa 时，( )0,( )fxf x单调递增 当20a ，即2a 时，( )fx0 0恒成立，所以( )f x在(,) 上单调递增 当20a ，即2a 时，当(,2)xa 时，( )0,( )fxf x单调递增；当(2,0)xa 时， ( )0,( )fxf x单调递减；当(0,)x时，( )0

29、,( )fxf x单调递增5 分 （2）当ab时， 2 ( )(),( )0 x f xxaxa ef xe 恒成立，即 min ( )f xe 2 ( )()2 (2)() xx fxxax xa exxa e， 当04a时， 2 0,0 x xaxae，所以 2 ( )()0 x f xxaxa ee 恒成立7 分 当4a 时，(,xa 时， 2 ()0xaxax xaa，所以 2 ( )() x f xxaxa ee成立， 当(, 2)xa 时，( )0,( )fxf x单调递减，当( 2,)x 时，( )0,( )fxf x单调递增， 所以(,)xa 时， 2 min ( )( 2)(

30、4)f xfa e，令 2 (4)a ee ，解得 3 4ae ， 所以 3 44ae9 分 当0a 时，(, 2)x 时， 2 ( )(1)0 x f xxa xee ； 当( 2,)xa 时，( )0,( )fxf x单调递减，当(,)xa 时，( )0,( )fxf x单调递增， 所以( 2,)x 时， min ( )() a f xfaae，令 a aee ，得 1 0 a ae ， 设 1 ( ),0 a g aaea ，因为 1 ( )10 a g ae ，所以( )g a在(,0)上单调递增， 注意到( 1)0g ，所以由( )g a 0 0，得10a11 分 综上得，a的取值范

31、围是 3 1,4e12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 35cos 15sin x y （为参数） ，以原点O为极点，x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l经过极点O与点C （1）求圆C与直线l的极坐标方程 （2）若直线 l 与直线l关于y轴对称，且直线 l 与圆C相交于,A B两个不同的点，求ABC的面积 22解析： （1）圆C的普通方程为 22 (3)(1)5xy，即 22 2 3210xyxy 将 222,

32、cos ,sinxyxy代入上式，得圆C的极坐标方程为： 2 2 3 cos2 sin10 圆C的圆心在直角坐标系中的坐标为( 3,1)，则 3 tan 3 ， 所以直线l的极坐标方程为() 6 R5 分 （2）由题意可知直线 l 的极坐标方程为 5 () 66 R 设圆C与直线 l 的交点为 12 55 , 66 AB 将 5 6 代入 2 2 3 cos2 sin10 ， 得 2 210 ，解得 12 12,12 ，所以 12 2 2AB， 所以ABC的面积为 2 1 56 22 AB AB 10 分 3 2 1 1 24 B A C O 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 1

33、0 分） 已知函数( )3f xax，若不等式( )2f x 的解集为 4 ,0 3 （1）解不等式( )24f xx； （2）若不等式( )3 24f xxt有解，求实数t的取值范围 23 （1）( )2f x 即32ax，解得 22 33 aa x ，则由题意得 24 33 2 0 3 a a ，解得2a ， ( )24f xx可化为3224xx， 2 3 (32)(2)4 x xx 或 2 2 3 (32)(2)4 x xx 或 2 (32)(2)4 x xx ， 解得 2 4 3 x 或 2 1 3 x或，所以41x ， 所以不等式( )24f xx的解集为 | 41xx 5 分 （2）不等式( )3 24f xxt 等价于32364xxt 3236(32)(36)4xxxx，由题意知44t ，解得8t， 故实数t的取值范围是8,)10 分