23.（教师版）福建省福州市2019届高三上学期教学质量抽测理科数学.pdf

1、 1 2018-2019 学年度福州市高三第一学期质量抽测学年度福州市高三第一学期质量抽测 数学数学（理科理科）试卷试卷 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1设集合 |1Ax x， |02Bxx，则AB （ ） A(, 1)(1,2) B(, 1) C(,2) D(1,2) 1答案：D 解析： |1 |1Ax xx x或1x ， |02Bxx，所以

2、(1,2)AB 2已知复数z满足 2 (1 i)2iz，则z为（ ） A 5 2 B5 C2 D1 2答案：A 解析： 22 2i2i5 , (1 i)2 1 i zz 3曲线( )lnf xxx在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A2 B 3 2 C 1 2 D 1 4 3答案：D 解析： 1 ( )1fx x ，则(1)2 f ，故曲线( )lnf xxx在点(1,1)处的切线方程为12(1)yx ， 即21yx， 此切线与两坐标轴的交点坐标分别为 1 (0, 1),0 2 ， 则切线与坐标轴围成的三角形的面积 为 111 1 224 4已知等差数列 n a的前n项和

3、为 n S，且 3 2a ， 6 8a ，则 8 S （ ） A20 B40 C60 D80 4答案：B 解析： 18 836 () 8 4()4 (28)40 4 aa Saa 5给出下列说法： “ 4 x ”是“tan1x ”的充分不必要条件； 定义在 , a b上的偶函数 2 ( )(5)f xxaxb的最大值为 30； 2 命题“ 0 xR， 0 0 1 2x x ”的否定形式是“xR ， 1 2x x ”其中正确说法的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 5答案：C 解析：由 4 x ，可得tan1x ，但由tan1x ，推不出 4 x ，所以“ 4 x ”是“tan1x ”的充分不

4、必 要条件，所以命题是正确的； 若定义在 , a b上的函数 2 ( )(5)f xxaxb是偶函数， 则 505 05 aa abb ， 则 2 ( )5f xx在 5,5上的最大值为 30，所以命题是正确的； 命题“ 0 xR， 0 0 1 2x x ”的否定形式是“xR ， 1 2x x ”，所以命题是错误的 故正确说法的个数为 2 6 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线均与圆 22 650xyy相切， 则双曲线C的 离心率为（ ） A 3 2 B 2 3 C 6 2 D 9 4 6答案：A 解析：双曲线的渐近线方程为 b yx a ，即0bxay，

5、圆 22 650xyy化为标准方程是 22 (3)4xy，若渐近线与此圆相切，则 22 33 2 aa c ab ，即 3 2 c e a 7秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数学九章中提出的多 项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式 值的一个实例，若输入n，x的值分别为 3、3，则输出v的值为（ ） A143 B48 C16 D5 开始开始 输入输入n,x 1v 1in 1ii vvxi i0？ 输出输出v 结束结束 是是 否否 3 7答案：B 解析：3,3,1,21 325,15 3 116,0nxvivv

6、xiivvxii 16 3048,1vvxii ，不满足条件，退出循环，输出48v 8某个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个侧面中，面积最大的侧面的面积为（ ） 1 2 1 1 正视图正视图 侧视图侧视图 俯视图俯视图 A2 B1 C 3 2 D 6 2 8答案：D 解析： 根据三视图，还原几何体的直观图如图中SABCD所示，其中SA 平面ABCD，四边形ABCD 是直角梯形，且,/,1,2ABAD ADBC SAABBCAD，则2,3,2SBSCCD， 5SD ，则SCD是直角三角形，所以 126 ,1, 222 SABSBCSADSCD SSSS ，因此面积最 大的侧面的面积为 6

7、2 S A B C D 9已知点O是ABC内部一点，且满足OAOBOCO ，又2 3AB AC ，60BAC，则 OBC的面积为（ ） A 3 2 B3 C1 D2 9答案：C 解析：由2 3AB AC ，60BAC，可得 1 cos2 3 2 AB ACABACBACABAC ， 4 所以4 3ABAC ，所以sin 2 3 1 ABC ABACBACS ，又OAOBOCO ，所以O为 ABC的重心，所以 1 1 3 OBCABC SS 【拓展结论】在ABC中（O为ABC所在平面内一点） （1）OAOBOCOO 为ABC的重心； （2）0OA OBOB OCOC OAO 为ABC的垂心； （

8、3）aOAbOBcOCOO 为ABC的内心（, ,a b c分别是ABC的三个内角, ,A B C所对的 边） ； （4） 222 OAOBOCO 为ABC的外心； （5）若,0,) ABAC AP ABAC 点P的轨迹经过ABC的内心； （6）若,0,) coscos ABAC AP ABBACC 点P的轨迹经过ABC的垂心； （7）若,0,) sinsin ABAC AP ABBACC 点P的轨迹经过ABC的重心 10已知函数 2 ( )3sin22cos1f xxx，将( )f x的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵 坐标保持不变；再把所得图象向上平移 1 个单位长度，得到

9、函数( )yg x的图象，若 12 ( )()9g xg x， 则 12 xx的值可能为（ ） A 3 B 2 C 3 4 D 5 4 10答案：B 解析： 2 ( )3sin2(2cos1)3sin2cos22sin 2 6 f xxxxxx ，将函数( )f x的图象上的 所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标保持不变；则函数图象对应的解析式变为2sin 4 6 yx ， 再把所得图象向上平移 1 个单位长度， 得到函数( )2sin 41 6 g xx ， 则函数( )g x的值域为 1,3， 又 12 ( )()9g xg x，所以 12max ( )()( )3g xg xg

10、x，则 12 ,xxkT kZ，又 2 42 T ， 所以 12 () 2 k xxk Z 11如图，函数( )f x的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式 2 ( )f xxxa的解集中 5 有且仅有 1 个整数，那么实数a的取值范围是（ ） O B C y x A 2 2 1 A | 21aa B | 21aa C | 22aa D |2a a 11答案：B 解析：根据题意可知 22,0 ( ) 2,0 xx f x xx ，不等式 2 ( )f xxxa等价于 2 ( )axxf x， 令 2 2 2 32,0 ( )( ) 2,0 xxx g xxxf x xx ，作出函数(

11、 )g x的大致图象，如图所示， 又(0)2,(1)1,( 1)2ggg ，所以要使不等式的解集中有且仅有 1 个整数，则21a ，即实 数a的取值范围是 | 21aa 12已知函数 32 ( )2lnf xxexmxx，若( )f xx恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A 2 1 1,e e B 2 1 0,1e e C 2 1 ,1e e D 2 1 ,e e 12答案：A 解析：由( )f xx恒成立，得 32 2lnxexmxxx恒成立，得 32 2(1)ln0xexmxx恒成立， 因为0x ，两边同时除以x，得 2 ln 2(1)0 x xexm x ，则 2 ln 12 x mx

12、ex x 恒成立， 6 设 2 ln ( )2 x g xxex x ，则 2 1 ln ( )22 x g xxe x ，当0xe时， 2 1 ln 0,220 x ex x ， 所以( )0g x；当xe时， 2 1 ln 0,220 x ex x ，所以( )0g x 所以当xe时， 2 max 1 ( )g xe e ，则 2 1 1me e ，所以 2 1 1me e 二二、填空题填空题（每题每题 5 分分，满分满分 20 分分，将答案填在答题纸上将答案填在答题纸上） 13已知实数x，y满足条件 2 22 1 yx xy x ，则xy的最大值为 13答案：3 解析：作出可行域为如图所

13、示的ABC，其中 1 (1,0),1 ,(1,2) 2 ABC ，设zxy， 则 3 1,3 2 ABC zzz，则 max 3 C zz O A B C x y 14 甲、 乙、 丙三位同学独立解决同一个问题， 已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为 1 1 1 , 2 3 4 ， 则有人能够解决这个问题的概率为 14答案： 3 4 解析：这个问题没有被解决的概率为 1111 111 2344 ，故有人能够解决这个问题的概率为 13 1 44 15 已知抛物线 2 8yx的焦点为F， 直线l过F且依次交抛物线及圆 22 (2)1xy于A，B，C，D 四点，则4ABCD的最小值为 7 1

14、5答案：13 解析：抛物线 2 8yx的焦点为(2,0)F，圆 22 (2)1xy的圆心为(2,0)，与抛物线的焦点重合，且半 径为 1，设 1122 ( ,),(,)A x yD xy，因为直线AD过焦点F，所以 12 4x x ，因为 1212 414145(2)4(2)545ABCDAFDFAFDFxxxx 12 2 452 4 4513x x ，当且仅当 12 4xx，即 12 4,1xx时取等号，故4ABCD的最 小值为 13 【归纳总结】抛物线C的方程为 2 2(0)ypx p，过其焦点,0 2 p F 的直线交抛物线于 1122 ( ,),(,)A x yB xy两点，则： （1

15、） 2 2 1212 , 4 p x xy yp ； （2） 1212 , 22 pp AFxBFxABxxp； （3）若直线AB的倾斜角为，点A在x轴上方，点B在x轴下方， 则 2 2112 , 1 cos1 cossin ppp AFBFAB AFBFp ； （4）以AB为直径的圆与其准线相切，以AF为直径的圆与y轴相切 16 函数( )cos2(sincos )f xxxx在区间0, 2 上单调递增， 则实数的取值范围是 16答案： 2,) 解析：因为( )cos2(sincos )f xxxx在区间0, 2 上单调递增， 所以( )2sin2(cossin )0fxxaxx 在区间0,

16、 2 上恒成立，因为0, 2 x ， 所以cossin0xx， 2sin2 sincos x a xx 在区间0, 2 上恒成立， 令 2sin24sincos ( ) sincossincos xxx g x xxxx ， 令sincostxx，则 2 4sin cos2(1)xxt，又sincos2sin,0, 42 txxxx ， 8 所以1,2t，故函数 2 222 ( )2 t h tt tt ，函数( )h t在1,2t时单调递增，所以当2t 时， ( )h t取得最大值 max ( )2h t，故 max ( )2g x，所以2a，所以实数a的取值范围是 2,) 三三、解答题解答

17、题 （解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 ） 17 如图，在ABC中，M是边BC的中点， 5 7 cos 14 BAM， 2 7 cos 7 AMC （1）求角B的大小； （2）若21AM ，求AMC的面积 A B C M 17解析： （1）由 5 7 cos 14 BAM，得 21 sin 14 BAM， 由 2 7 cos 7 AMC ，得 21 sin 7 AMC，又AMCBAMB ， 所以，coscos()coscossinsinBAMCBAMAMCBAMAMCBAM 2 75 721211 7147142 ， 又(0, )B，所以 2 3 B

18、（2）解法一：由（）知 2 3 B ，在ABM中，由正弦定理，得 sinsin AMBM BBAM ， 所以， sin sin AMBAM BM B 21 21 14 3 3 2 因为M是边BC的中点，所以，3MC 故 1 sin 2 AMC SAM MCAMC 1213 3 213 272 解法二：由（）知 2 3 B ，在ABM中，由正弦定理，得 sinsin AMBM BBAM ， 所以， sin sin AMBAM BM B 21 21 14 3 3 2 因为M是边BC的中点，所以， AMCABM SS ， 9 所以， 11213 3 sin213 2272 AMCABM SSAM B

19、MBMA 18 在数列 n a中， 1 1a ， 1 1 n n n a a a ，设 1 ,N n n bn a （1）求证数列 n b是等差数列，并求通项公式 n b； （2）设 1 2n nn cb ，且数列 n c的前n项和 n S，若R，求使1 nn Sc恒成立的的取值范围 18 证法一：解： （1）由条件知， 1 111 1 n nnn a aaa ，所以， 1 11 1 nn aa ，所以 1 1 nn bb ， 又 1 1 1 1b a ，所以，数列 n b是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故数列 n b的通项公式为： n bn 证法二：由条件，得 1 1 1111 n n

20、n nnnn a bb aaaa 1 n n a a 又 1 1 1 1b a ，所以，数列 n b是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故数列 n b的通项公式为： n bn （2）由（1）知， 1 2n n cn ， 则 011 1 22 22n n Sn ， 12 21 22 22n n Sn 由得， 01 011 222 222221(1) 2 12 n nnnn n Snnn ， 1 (1) 2n n Sn ，0 n c ，1 nn Sc 恒成立，等价于 1 n n S c 对任意n N恒成立 1 1(1)22 22 2 n n n n Sn cnn ，2 19 如图，在三棱柱 11

21、1 ABCABC中，ABAC， 1 ACBB， 1 2ABABAC， 1 2 2BB （1）求证： 1 AB 平面ABC； （2）若P是棱 11 BC的中点，求直线 1 BB与平面PAB所成角的正弦值 B A C B1 A1 C1 P 10 19 解析： （1）证明：在三棱柱 111 ABCABC中，ABAC， 1 ACBB，又 1 ABBBB， AC 平面 11 ABB A，又 1 AB 平面 11 ABB A， 1 ACAB， 1 2 2BB ， 1 2 2AA ， 1 2ABAB， 222 11 ABABAA， 1 ABAB， 又ACABA， 1 AB 平面ABC （2）解法一：由（1）

22、知，直线 11 AC， 11 AB， 1 BA两两互相垂直，如图，以 1 A为原点，分别以 11 AC， 11 AB， 1 BA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系 1 Axyz， 则 1(0,0,0) A，(1,1,0)P，(0,0, 2)B， 1(0,2,0) B 11 (0,2,0)ABAB ，( 1, 1, 2)PB ， 设平面PAB的法向量( , , )nx y z ， 则 0 0 n AB n PB ，所以， 0 20 y xyz ， 取1z ，则( 2,0,1)n ， 又 1 (0,2,2)BB ，设直线 1 BB与平面PAB所成角为， 则 1 1 1 sincos, |

23、| n BB n BB nBB 210 1058 直线 1 BB平面PAB所成角的正弦值 10 10 解法二：由（）知，直线 11 AC， 11 AB， 1 BA两两互相垂直，以A为原点，分别以AC、AB、Az所在 直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz， 则(0,0,0)A， 1(0,2,2) A，(1,3,2)P，(0,2,0)B， 1(0,4,2) B， 1(2,2,2) C 11 (0,2,0)ABAB ，( 1, 1, 2)PB ， 设平面PAB的法向量( , ,z)nx y ， 则 0 0 n AB n PB ，所以， 0 20 y xyz ， 取1z ，则( 2,

24、0,1)n ， 又 1 (0,2,2)BB ，设直线 1 BB与平面PAB所成角为， B A C B1 A1 C1 P x y z B A C B1 A1 C1 P x y z 11 则 1 1 1 sincos, | | n BB n BB nBB 210 1058 直线 1 BB平面PAB所成角的正弦值 10 10 20 已知点 3 1, 2 A 在椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上，O为坐标原点，直线 22 3 :1 2 xy l ab 的斜 率与直线OA的斜率乘积为 1 4 （1）求椭圆C的方程； （2）不经过点A的直线 3 : 2 l yxt（0t 且Rt）与椭圆C

25、交于P，Q两点，P关于原点的对称 点为R（与点A不重合） ，直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：AMAN 20 解析： （1）由题意， 22 1 2 2 321 243 OA bb kk aa ， 即 22 4ab 又 22 13 1 4ab 联立解得 2 1 a b ，所以，椭圆C的方程为： 2 2 1 4 x y （2）设 11 ( ,)P x y， 22 (,)Q xy， 11 (,)Rxy，由 2 2 3 2 1 4 yxt x y ， 得 22 310xtxt ，所以 2 40t ，即22t ，又因为0t ，所以，( 2,0)(0,2)t ， 12 3xxt ， 2 12

26、1xxt， 解法一：要证明AMAN，可转化为证明直线AQ，AR的斜率互为相反数，只需证明0 AMAN kk， 即证明0 AQAR kk 12 12 33 22 11 AQAR yy kk xx 1221 12 33 ()(1)()(1) 22 (1)(1) yxyx xx 1221 12 3333 ()(1)()(1) 2222 (1)(1) xtxxtx xx 1212 12 3()3 (1)(1) x xt xx xx 2 12 3(1)(3 )3 0 (1)(1) ttt xx 12 0 AMAN kk，AMAN 解法二：要证明AMAN，可转化为证明直线AQ，AR与y轴交点M、N连线中点

27、S的纵坐标为 3 2 ，即AS垂直平分MN即可 直线AQ与AR的方程分别为： 2 2 3 3 2 :(1) 21 AQ y lyx x ， 1 1 3 3 2 :(1) 21 AR y lyx x ， 分别令0x ，得 2 2 3 3 2 12 M y y x ， 1 1 3 3 2 12 N y y x 而 21 21 33 22 3 11 MN yy yy xx ，同解法一，可得3 MN yy 3 22 MN S yy y ，即AS垂直平分MN所以，AMAN 21 设函数 1 ( )(1) x f xaxe （1）当0a 时，求函数( )f x的单调区间； （2）当1a 时，若函数( )f

28、 x与函数 2 4()Ryxxm m的图象总有两个交点，设两个交点的横坐标 分别为 1 x， 2 x 求m的取值范围； 求证： 12 4xx 21 解： （1）由已知得， 1 1 ( ) x a fxaex a ， 由0 x e，0a ，令( )0fx得： 1a x a ，令( )0fx得， 1a x a ， 所以，当0a 时，单调递增区间是 1 , a a ；单调递减区间是 1,a a （2）令 212 ( )( )4(1)4 x g xf xxxmxexxm ， 1 ( )(2)(2) x g xex ， 解法一：由( )0g x得，2x ；由( )0g x得，2x 易知，2x 为( )g

29、 x的极大值点 max 1 ( )(2)4g xgm e ，当x 时，( )g x ；当x 时，( )g x 由题意，只需满足 max 1 ( )40g xm e ，m的取值范围是： 1 4m e 解法二： 1 ( )(2) x fxex ，由( )0fx得，2x ；由( )0fx得，2x 易知，2x 为极大值点 而 2 4()Ryxxm m在2x 时取得极小值， 由题意，只需满足 2 1 ( )28f xm e ，解得 1 4m e 由题意知， 1 x， 2 x为函数 2 ( )( )4g xf xxxm 12 (1)e4 x xxxm 的两个零点，由知， 13 不妨设 12 2xx，则 2

30、 42x，且函数( )g x在(,2)上单调递增， 欲证 12 4xx，只需证明 12 ( )(4)g xgx，而 12 ( )()g xg x， 所以，只需证明 22 ()(4)g xgx 令( )( )(4) (2)H xg xgxx，则 13 ( )(1)(3) xx H xxexe 31 ( )(2)() xx H xxee ，2x ， 3 24 1 1 x x x e e e ，即 31 0 xx ee 所以，( )0H x，即( )H x在(2,)上为增函数，所以，( )(2)0H xH， 22 ()(4)g xgx成立，所以， 12 4xx 请考生在请考生在（22） 、 （） 、

31、 （23）二题中任选一题作答二题中任选一题作答注意注意：只能做所选定的题目只能做所选定的题目如果多做如果多做，则按所做的第一个则按所做的第一个 题目计分题目计分，做答时请用做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 0 3cos sin xt yyt （t为参数，为l的倾斜角） ，以 原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为4sin，直线， 3 ，() 3 R ，与曲线E分别交于不同于极点O的三点A，B，C （1）若 2 33 ，求证：OBOCOA； （2）当 5 6 时

32、，直线l过B、C两点，求 0 y与的值 22 解： （1）证明：依题意，4sinOA，4sin 3 OB ，4sin 3 OC ， 2 33 ，4sin4sin4sin 33 OBOCOA （2）当 5 6 时，直线 3 与圆的交点B的极坐标为 777 4sin,2,2, 6666 ， 直线 3 与圆的交点C点的极坐标为4sin,4, 2 22 从而，B、C两点的直角坐标分别为：( 3,1)B，(0,4)C 直线l的方程为：34yx ，所以， 0 1y ， 2 3 23 已知函数( )23f xxaa，Ra （1）若对于任意Rx，总有( )(4)f xfx成立，求a的值； （2）若存在Rx，使

33、得( )21f xxa 成立，求a的取值范围 23 解： （1）因为( )(4)f xfx，xR，所以( )f x的图象关于2x 对称， 又( )23 2 a f xxa的图象关于 2 a x 对称， 14 所以2 2 a ，所以，4a （2）x R，使得( )|21|f xxa等价于xR ，使得22120xaxa 等价于min22120xaxa， 设( )2212g xxaxa ，则 min ( )(2)(21)212g xxaxaaa， 所以，120aa 当1a时，120aa ， 1 3 a，所以， 1 1 3 a； 当1a 时，120aa ，1a ，所以1a ， 综上， 1 3 a 解法二： （1）( )(4)f xfx，232(4)3xaaxaa， 282xaxa，即2(82)xaxa ，或282xaxa（舍） 所以，4a （2）由( )21f xxa 得，2212xaxa， 而2211xaxa，由题意知，只需满足12aa，即212aaa 即 21 12 aa aa ， 1 3 a