1、 专题专题 7 7旋转之求线段最值旋转之求线段最值 破解策略破解策略 用旋转思想解决线段最值问题的本质用三角形三边关系解决问题 如图，线段OA， OB为定长，则A， B， O三点共线时，AB取得最值： 当点B位于处B1 时，AB取得最小值OAOB；当点B位于B2处时，AB取得最大值OAOB 最大值 最小值 B1O B2 A B 常见的题型有： 1 如图，RtABC大小固定，其中ABC90，点A， B分别在互相垂直的直线m， n 上滑动 n m O B A C 取AB中点D， 连接OD， CD 当O， C， D三点共线时，OC取得最大值ODCD m n D O B A C 2 如图，等边ABC大
2、小固定，点A， B分别在互相垂直的直线m， n上滑动 m n C O B A 取AB中点D， 连接OD， CD 当O， C， D三点共线时，OC取得最大值ODCD n m D C O B A 3 如图，RtABC大小固定，其中ABC90，点A， B分别在互相垂直的直线m， n 上滑动 n m O B A C 取AB中点D， 连接OD， CD 当O， C， D三点共线时，OC取得最小值|CD OD| m n D O B A C 例题讲解例题讲解 例 1已知 RtABC中，ACB90，tanBAC 1 2 若BC6， 点D在边AC的三等分 点处，将线段AD绕A点旋转，E始终为BD的中点，求线段CE
3、长度的最大值 E D A CB 解：在 RtABC中，AC tan BC BAC 12，AB65 如图 1，当AD 1 3 AC时，取AB的中点F，连接EF和CF， 则CF 1 2 AB3 5， EF 1 2 AD2 所以当且仅当C， E， F三点共线且点F在线段CE上时，CE最大， 此时CECFEF235 E D F A CB 图 1 如图 2，当AD 2 3 AC时，同理可得CE的最大值为 435 综上可得，当点D在靠近点C的三等分点处时，线段CE的长度的最大值为 435 E F DA BC 图 2 例 2 以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AOB和COD，其中 ABO
4、30如图，若BO3 3，点N在线段OD上，且NO2，P是线段AB上的一个动点， 在将AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_，最大值为_ B CD P N O A 解： 3 3 2 2；3 32 过点O作OEAB于点E，则OE 1 2 OB 3 3 2 故当点P在点E处时，OP长度取最小值 3 3 2 ；当点P在点B处时，OP长度取最大值3 3 A O N P D B C E 当AOB绕点O旋转到O，E，D三点共线，且点E在线段OD上时，PN取最小值，即OE ON 3 3 2 2； E(P) CD O A B N 当AOB绕点O旋转到O，B，D三点共线，且点B在线段DO的延长线上时，
5、PN取最大值， OBON3 32 所以线段PN长度的最小值为 3 3 2 2，最大值为3 32 B(P) O DC A N 进阶训练进阶训练 1 已知AOB和COD是等腰三角形，其中BABO2，CDCO3，ABODCO连结 AD，BC，M，N分别为OA，BC的中点若固定AOB，将COD绕点O旋转，求MN的最大值 N M A B C D O 【答案】 5 2 【提示】如图，取OB的中点E，连结EM，EN，则EM，EN为定值，当点E在线段MN上时， MN取最大值 E O D C B A M N 2 已知：在 RtABC中，BAC90，ACAB4，D，E分别是AB，AC的中点若等腰 RtADE绕点A
6、旋转，得到等腰 RtAD1E1，记直线BD1与CE1的交点为P （1）设BC的中点为M，求线段PM的长； （2）求点P到AB所在直线的距离的最大值 E1 D1 A B C D E P 【答案】（1）2 2；（2）13 【提示】（1）易证E1ACD1AB，所以E1CAD1BA，从而可得BPCBAC90， 所以PM 1 2 BC2 2 M P E D C B A D1 E1 （2）由题意知，点D1，E1在以A为圆心、AD为半径的圆上，而点P在直线BD1上，所以当 直线BD1与A相切时，点P到AB的距离最大此时四边形AD1PE1是正方形，即PD1AD1 2如图，作PGAB于点G，解 RtPGB即可 G P E D C B A D1 E1 3 已知：正方形ABCD的边长为 1，P为正方形内的一个动点，若点M在AB延长线上，且 满足PBCPAM，延长BP交AD的延长线于点N，连结CM，是否存在满足条件的点P，使 得PC 1 2 ？请说明理由 AB C D P M N 【答案】不存在满足条件的点P，使得PC 1 2 【提示】因为PBCPAM，可得ABPPAMABPPBC90，所以APBN以 AB为直径，作半圆O，连结OC，OP，则OPPCOC，从而PC 51 2 ，所以不存在满足条 件的点P，使得PC 1 2 O N M P D C BA
