1、 2001-2012 年天津市中考数学试题分类解析汇编(年天津市中考数学试题分类解析汇编(12 专题)专题) 专题专题 12:押轴题:押轴题 a. 选择题选择题 1. (2001 天津市天津市 3 分)分)如图,已知ABC 为等腰直角三角形,D 为斜边 BC 的中点,经过 点 A、 D 的O 与边 AB、 AC、 BC 分别相交于点 E、 F、 M 对于如下五个结论: FMC=45 ; AE+AF=AB; ED BA EFBC ;2BM2=BEBA;四边形 AEMF 为矩形其中正确结论的 个数是【 】 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】圆周角定理,等
2、腰直角三角形的性质。 【分析】【分析】连接 AM,根据等腰三角形的三线合一,得 ADBC,再根据 90 的圆周角所对的 弦是直径, 得 EF、 AM 是直径, 根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形, 得四边形 AEMF 是矩形。 根据等腰直角三角形 ABC 的底角是 45 ,易得FMC=45 ,正确; 根据矩形和等腰直角三角形的性质,得 AE+AF=AB,正确; 连接 FD,可以证明EDF 是等腰直角三角形,则中左右两边的比都是等 腰直角三角形的直角边和斜边的比,正确; 根据 BM=2BE,得左边=4BE2,故需证明 AB=4BE,根据已知条件它们之间不一 定有这种关系,错误; 正确。 所以
3、共 4 个正确。故选 C。 2. (天津市(天津市 2002 年年 3 分)分)已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若 SAOB=4, SCOD=9,则四边形 ABCD 的面积 S四边形ABCD的最小值为【 】 (A)21 (B)25 (C)26 (D)36 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】三角形的面积,不等式的性质。 【分析】【分析】分别表示出AOD、BOC 的面积,即可得到四边形 ABCD 的面积 表达式,然后应用不等式的性质 a2+b22ab 来求得四边形 ABCD 的最小面积: 如图,任意四边形 ABCD 中,SAOB=4,SCOD=9, AODBOC
4、14OD19OB SOD4SOB9 11 2OB2OD OBOD 22 , 。 ABCD ODOBODOB S49132 49132361325 OBODOBOD 四边形 。 故四边形 ABCD 的最小面积为25。故选 B。 3. (天津市(天津市 2003 年年 3 分)分)在ABC 中,已知 AB2a,A30 ,CD 是 AB 边的中线, 若将ABC 沿 CD 对折起来,折叠后两个小ACD 与BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠 前ABC 的面积的 1 4 ,有如下结论: AC 边的长可以等于a; 折叠前的ABC 的面积可以等于 2 3 2 a; 折叠后,以 A、B 为端点的线段 AB 与中
5、线 CD 平行且相等。 其中,正确结论的个数是【 】 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题) 【分析】【分析】若 AC=a成立,根据等腰三角形的性质及图形折叠的性质可求出四边形 AB1DC 为平行四边形,再根据平行四边形的性质及三角形的面积公式求解: 若 AC=a成立,如图(1),在ACD 中,由CAD=30 ,AD=a, ADC= 1 2 (180 CAD)=75 ,CDB=180 ADC=105 , 而CDB1=CDB, B1DA=105 75 =30 ,ACB1D。 B1D=BD=a=AC,四边形 AB1DC 为
6、平行四边形。 SCED= 1 2 SACD= 1 4 SABC,满足条件,即 AC 的长可以等于a,故正确。 假设 SABC= 2 3 2 a成立,由ABC 的面积公式可求出 AC=3a,根据三角形的 三边关系可求出B=60 , 由平行四边形的判定定理可求出四边形 AB2CD 为平行四边形, 再 根据平行四边形的性质及三角形的面积公式求解: 若 SABC= 2 3 2 a, SABC= 1 2 ABACsinCAB,AC=3a。 AC=3a,B=60 ,如图(2),CDB=60 =DCB2。 ADB2C。 又B2C=BC=a=AD,四边形 AB2CD 为平行四边形。 SCFD= 1 2 SAC
7、D= 1 4 SABC,满足条件,即 SABC的值可以等于 2 3 2 a,故正确。 综合可知,以 A、B 为端点的线段 AB 与中线 CD 平行且相等: 由平行四边形 AB1CD 或平行四边形 AB2CD,显然成立,故正确。 故选 D。 4. (天津市(天津市 2004 年年 3 分)分)如图,正ABC 内接于O,P 是劣弧 BC 上任意一点,PA 与 BC 交于点 E,有如下结论: PA=PB+PC; 111 PAPBPC ; PA PE=PB PC.其中, 正确结论的个数为【 】 (A) 3 个 (B) 2 个 (C) 1 个 (D) 0 个 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】等边三
8、角形的判定和性质,圆周角定理,全等三角形的判定和性质,三角形的边角 关系,相似三角形的判定和性质。 【分析】【分析】正ABC 内接于O,P 是劣弧 BC 上任意一点,BPC=1200。 延长 BP 到 D,使 PD=PC,连接 CD,则CPD=600。 PCD 为等边三角形。CDP=600。 ABC 为正三角形,BC=AC。 PBC=CAP,CPA=CDB=600, APCBDC(AAS)。 PA=DB=PB+PD=PB+PC。故正确。 在APB 中,P 是劣弧 BC 上任意一点,ABP600BAP。PAPB, 即 PB 1 PA a c。所以 正确。 当=1x时,函数值0y。故结论正确。 一
9、元二次方程 x25x6m=0 实数根分别为 x1、x2,x1x2=5,x1x2=6m。 二次函数 y=(xx1)(xx2)+m=x2(x1x2)xx1x2m=x25x(6m) m =x25x6=(x2)(x3)。 令 y=0,即(x2)(x3)=0,解得:x=2 或 3。 抛物线与 x 轴的交点为(2,0)或(3,0),故结论正确。 综上所述,正确的结论有 2 个:。故选 C。 二、填空题二、填空题 1. (2001 天津市天津市 3 分)分)若一个梯形内接于圆,有如下四个结论:它是等腰梯形;它是 直角梯形;它的对角线互相垂直;它的对角互补请写出正确结论的序号: (把你认为正确结论的序号都填上
10、)。 【答案】【答案】。 【考点】【考点】圆内接四边形的性质 【分析】【分析】梯形的一组对边平行,根据垂径定理的推论得另一组对边相等,所以它是正确 的; 圆内接四边形的对角互补, 如果是直角梯形那这个四边形就是矩形; 所以它 是错误的; 对角线无条件判断它们是否垂直,所以它不一定正确; 是正确的。 正确的答案是。 2. (天津市(天津市 2002 年年 3 分)分)如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 E,若 AC 平分DAB,且 AB=AE,AC=AD,有如下四个结论: ACBD; BC=DE; 1 DBC=DAB 2 , ABE 是正三角形。 请写出正确结论的序号
11、 (把你认为正确结论的序号都填上)。 3. ( 天 津 市( 天 津 市 2003 年年 3 分 )分 ) 如 果abc, ,为 互 不 相 等 的 实 数 , 且 满 足 关 系 式 222 =21614bcaa与 2 =45bc aa,那么a的取值范围是 。 【答案】【答案】1a。 【考点】【考点】不等式的应用。 【分析】【分析】根据已知条件和基本不等式可以得到含有a的不等式,解这个关于a的不等式就可 以求出a的范围: abc, ,为互不相等的实数, 2 0b c-,即 22 20bcbc。 将 222 =21614bcaa与 2 =45bc aa代入,得 22 216142450aaaa
12、, 解得,1a。 4. (天津市(天津市 2004 年年 3 分)分)已知正方形 ABCD 的边长是 1,E 为 CD 边的中点,P 为正方形 ABCD 边上的一个动点,动点 P 从 A 点出发,沿 ABCE 运动,到达点 E.若点 P 经过 的路程为自变量 x,APE 的面积为函数 y,则当 y 1 3 时,x 的值等于 . 【答案】【答案】 2 3 或 5 3 。 【考点】【考点】二次函数的应用。 【分析】【分析】根据 P 点的位置,由三角形面积公式表达出分段函数,在分段函数中,已知 y 的 值,求 x: 当点 P 在 AB 边上时,y= 1 2 x1= 1 3 ,解得 x= 2 3 。
13、当点 P 在 BC 边上时,y= 1 2 (1+ 1 2 )1 1 2 (x1)1 1 2 1 2 (2x)= 1 3 , 解得 x= 5 3 。 当点 P 在 CE 上时,y= 1 2 (2 1 2 x)1= 1 3 ,解得 x=11 6 。它不在 CE 上,舍去。 当 y 1 3 时,x 的值等于 2 3 或 5 3 。 5. (天津市(天津市 2005 年年 3 分)分)如图,已知五边形 ABCDE 中,AB/ED,AB90 , 则可以将该五边形 ABCDE 分成面积相等的两部分的直线有 条,满足条件的直线可 以这样确定: _ _ _ _ _ 【答案】【答案】无数。过点 C 作与 AB
14、平行的直线将该五边形分割为一个矩形和一个梯形,经过梯 形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线可将该五边形的面积均分;设该直线 与边 DE、AB 的交点分别为 P、Q,线段 PQ 的中点为 O,则经过点 O 且与边 DE、 AB 相交的任意一条直线均可将该五边形的面积均分 【考点】【考点】多边形。 【分析】【分析】过点 C 作与 AB 平行的直线将该五边形分割为一个矩形和一个梯形,经 过梯形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线可将该五边形的面积均分;设该直线与边 DE、AB 的交点分别为 P、Q,线段 PQ 的中点为 O,则经过点 O 且与边 DE、AB 相交的任 意一条直线均可将该五边形的面积
15、均分。 设点 O 且与边 DE、AB 相交的任意一条直线 PQ, OP=OQ,POP=QOQ,PPO=QQO,POPQOQ(ASA)。 POPQOQ SS 。 P EAQP Q SS BCD 。 6. (天津市(天津市 2006 年年 3 分)分)如图,已四边形纸片 ABCD,现需将该纸片剪拼成一个与它面积 相等的平行四边形纸片,如果限定裁剪线最多有两条,能否做到: (用“能”或“不能”填空)。若填“能”,请确定裁剪线的位置,并说明拼接方法;若填“不能”, 请简要说明理由。 _ _ _ 【答案】【答案】能。 如图,取四边形 ABCD 各边的中点 E、G、F、H,连接 EF、 GH,则 EF、G
16、H 为裁剪线。EF、GH 将四边形 ABCD 分成 1、2、3、4 四个部分, 拼接时, 图中的 1 不动, 将 2、 4 分别绕点 H、 F 各旋转 180 , 3 平移,拼成的四边形满足条件。 【考点】【考点】平行四边形的判定,旋转和平移的性质。 【分析】【分析】由旋转、平移和中点,可知, MO=MHHO=HG=KJJI=KI, MK=MLLK=EF=OFFI=OI, 四边形 OIKM 是平行四边形。 7. (天津市(天津市 2007 年年 3 分)分)如图,直线l经过O 的圆心 O,且与O 交于 A、B 两点,点 C 在O 上,且AOC= 30,点 P 是直线l上的一个动点(与圆心 O
17、不重合),直线 CP 与 O 相交于点 Q。 问:是否存在点 P,使得 QP=QO; (用“存在”或“不存 在”填空)。若存在,满足上述条件的点有几个?并求出相应的OCP 的大小;若不存在,请简要说明理由: 。 【答案】答案】存在。 符合条件的点 P 共有 3 个:当点 P 在线段 AO 上时,OCP=40 ;当点 P 在 OB 的 延长线上时,OCP=20 ;当点 P 在 OA 的延长线上时,OCP=100 。 【考点】【考点】点与圆的位置关系;三角形内角和定理,三角形外角定理。 【分析】【分析】点 P 是直线l上的一个动点,因而点 P 与线段 AO 有三种位置关系,在线段 AO 上, 点
18、P 在 OB 上,点 P 在 OA 的延长线上分这三种情况进行讨论即可: 当点 P 在线段 AO 上,如图 1, 在QOC 中,OC=OQ,OQC=OCQ。 在OPQ 中,QP=QO,QOP=QPO。 又QPO=OCQ+AOC,AOC=30 ,QOP+QPO+OQC=180 3OCP=120 。OCP=40 。 当点 P 在线段 OA 的延长线上,如图 2, OC=OQ,OQP= 0 180QOC 2 。 OQ=PQ,OPQ= 00 180OQP180QOC = 24 。 在OCP 中,30 +QOC+OQP+OPQ=180 , 00 180QOC180QOC 30QOC180 24 ,解得Q
19、OC=20 。 OQP=80 。OCP=100 。 当 P 在线段 OA 的反向延长线上,如图 3, OC=OQ,OCP=OQC= 180COQ 2 ,即COQ=1800 2OCP。 OQ=PQ,POQ=180 OQPOQCOCP 222 。 AOC=30 ,COQ+POQ=150 。 18002OCP OCP 2 =150 ,解得OCP=20 。 8. (天津市(天津市 2008 年年 3 分)分)如图,O1,O2,O3,O4为四个等圆的圆心,A,B,C,D 为切 点,请你 在图中画出一条直线, 将这四个圆分成面积相等的两部分, 并说明这条直线经过的两个点是 ;如 图,O1,O2,O3,O4
20、,O5为五个等圆的圆心,A,B,C,D,E 为切点,请你在图中画出 一条直线, 将这五个圆 分成面积相等的两部分,并说明这条直线经过的两个点是 【答案】【答案】O1,O3;O5 ,O1 O3和 O2 O4的交点。(答案不唯一) 【考点】【考点】圆的对称性。 【分析】【分析】 如图, 过 O1 O3与 O2 O4交点 O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分。 答案不惟一。 如图 ,A O4,E O2,D O3,C O1等均可。答案不惟一。 9. (天津市(天津市 2009 年年 3 分)分)如图,有一个边长为 5 的正方形纸片ABCD,要将其剪拼成边 长分别为ab,的两个小正方形,使得
21、222 5abab,的值可以是 (写出一 组即可);请你设计一种具有一般性的裁剪方法,在图中画出裁剪线,并拼接成两个小正 方形,同时说明该裁剪方法具有一般性: _ 【答案】【答案】3、4。 裁剪线如图所示(红线):图中的点 E 是以 AB 为直径的半圆上的 任意一点(点 A、B 除外),连接 BE 并延长交 DA 于点 F;过点 C 作 CGBF, 垂足为点 G;过点 F 作 FHAB,交 BC 于点 H;过点 H 作 HICG,垂足为点 I。则裁剪线为 BF、AE、CG、HI。其中 AE 和 BE 即为两个小正方形的边长。 由于点 E 是以 AB 为直径的半圆上的任意一点(点 A、B 除外)
22、,从而 该裁剪方法具有一般性。 【考点】【考点】正方形的性质和判定,勾股定理的应用,圆周角定理,平行和垂直的性质 【分析】【分析】使得 222 5ab由直角三角形勾股定理的很容易联想到ab,的值是 3、4。 点 E 是以 AB 为直径的半圆上的任意一点(点 A、B 除外), AEB=900。AE2BE2=AB2,即 222 5ab。 其余证明略。拼接方法如图所示:红字母即为拼接的位置: (E) (A) (F) (H) (C) (I) (A) (B) (E) I H G F E DC B A 10. (天津市(天津市 2010 年年 3 分)分)有一张矩形纸片 ABCD,按下面步骤进行折叠: 第
23、一步:如图,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 B、D 重合,点 C 落在点 C处,得 折痕 EF; 第二步:如图,将五边形 AEFCD 折叠,使 AE、CF 重合,得折痕 DG,再打开; 第三步:如图,进一步折叠,使 AE、CF 均落在 DG 上,点 A、C落在点 A处,点 E、F 落 在点 E处,得折痕 MN、QP. b a b I H G F E DC B A 这样,就可以折出一个五边形 DMNPQ. ()请写出图中一组相等的线段 (写出一组即可); () 若这样折出的五边形 DMNPQ (如图) 恰好是一个正五边形, 当ABa,ADb, DMm 时,有下列结论: 22 2tan18aba
24、b; 22 tan18mab; tan18bma; 3 tan18 2 bmm. 其中,正确结论的序号是 (把你认为正确结论的序号都 填上). 【答案】【答案】()AD=CD (答案不惟一,也可以是 AE=CF 等);()。 【考点】【考点】矩形的性质,折叠的性质, 【分析】【分析】()根据矩形和折叠的性质,直接得出结果。 ()将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 B、D 重合,DE=BE。 设 AE=x,则由ABa得 BE= DE=ax。 在 RtADE 中,由勾股定理,得 AE +AD =DE ,则由 AE=x,ADb, DE=ax得 2 22= xbax,展开得, 22 2abax。 又在正
25、五边形中(如图),CDA=108 ,则ADE=108 90 =18 。 在 RtADE 中,AE=AD tanADE,即 tan18xb。 22 2tan18abab。所以正确。 如图,连接 GB,NB。由矩形和折叠的性质知点 D、G、B 共线;点 M、N、B 共线,且NGB=900。 由 题 意 知 : 正 五 边 形 边 长DMm, 则 NG= 1 2 m, GBN=18, GB= 22 11 DB 22 ab。 在 RtGBN 中, NG tan GBN GB , 即 022 22 1 2 tan18tan18 1 2 m mab ab 。所以正确。 由题意知:NBA=18 ,ABa,M
26、A=bm, 在 RtABM 中, MA tan NBA AB , 即 0 tan18tan18 bm bma a 。所以正确。 如图,过点 N 作 NHBD,交 MQ 于点 H。 则MNH=GBN=18 , MN=DMm, MA= MA=bm, HA= NG= 1 2 m,即 MH= MAHA=bm 1 2 m= 3 2 bm。 在 RtMNH 中, MH sin MNH MN , 即 0 3 33 2 sin18sin18 22 bm bm m 。 所以 3 tan18 2 bmm不正确。 综上所述,正确结论的序号是。 11. (天津市(天津市 2011 年年 3 分)分) 如图,有一张长为
27、 5 宽为 3 的矩形纸片 ABCD,要通过适当的 剪拼,得到一个与之面积相等的正方形 (I) 该正方形的边长为 。(结果保留根号) (II) 现要求只能用两条裁剪线请你设计一种裁剪的方法在图中画出裁剪线, 并简要说明剪拼的过程: 。 【答案】【答案】(I) 15。 (II)如图作出 BN=15 (BM=4,MN=1, MNB=90 ): 画出两条裁剪线 AK,BE (AK=BE=15BEAK): 平移ABE 和ADK。 此时,得到的四边形 BEFG 即为所求 【考点】【考点】尺规作图,勾股定理,相似三角形的判定和性质,图形的移动和拼接。 【分析】【分析】()矩形面积等于 15,与之面积相等的
28、正方形边长为15。 ()先要作出15的长。考虑到(15)2=4212,故只要作以 4 为斜边 1 为一 直角边的三角形,另一直角边长即15。 考虑到 35=1515,即 315 = 515 ,所以有以上作法。 12. (2012 天津天津市市 3 分)分)“三等分任意角”是数学史上一个著名问题已知一个角MAN 设 1 MAN 3 ()当MAN=690时,的大小为 (度); ()如图,将MAN 放置在每个小正方形的边长为 1cm 的网格中,角的一边 AM 与 水平方向的网格线平行,另一边 AN 经过格点 B,且 AB=2.5cm现要求只能使用带刻度的 直尺,请你在图中作出,并简要说明作法(不要求
29、证明) 【答案】【答案】()23。 ()如图,让直尺有刻度一边过点 A,设该边与过点 B 的竖直方向的网格线交于 点 C,与过点 B 水平方向的网格线交于点 D,保持直尺有刻度的一边过点 A,调整点 C、D 的位置,使 CD=5cm,画射线 AD,此时MAD 即为所求的。 【考点】【考点】作图(应用与设计作图),直角三角形斜边上的中线性质,三角形的外角性质,平 行的性质。 【分析】【分析】()根据题意,用 69 乘以 1 3 ,计算即可得解: 1 3 69 =23 。 ()利用网格结构,作以点 B 为直角顶点的直角三角形,并且使斜边所在的直 线过点 A,且斜边的长度为 5,根据直角三角形斜边上
30、的中线等于斜边的一半可得斜边上的 中线等于 AB 的长度, 再结合三角形的外角性质可知, BAD=2BDC, 再根据两直线平行, 内错角相等可得BDC=MAD,从而得到MAD= 1 3 MAN。 三、解答题三、解答题 1. (2001 天津市天津市 8 分)分)某企业有九个生产车间,现在每个车间原有的成品一样多,每个车 间每天生产的成品也一样多,有 A,B 两组检验员,其中 A 组有 8 名检验员他们先用两天 将第一、二两个车间的成品检验完毕后,再去检验第三、四两个车间所有成品,又用去了三 天时间;同时,用这五天时间,B 组检验员也检验完余下的五个车间的成品,如果每个检验 员的检验速度一样快,
31、每个车间原有的成品为 a 件,每个车间每天生产 b 件成品。 (1)用 a,b 表示 B 组检验员检验的成品总数; (2)求 B 组检验员的人数。 【答案】【答案】解:(1)B 组检验员检验的成品总数为 5a+25b。 (2)每个检验员的检验速度一样, 2a4b2a10b 8 28 3 ,解得 a=4b。 每个检验员速度为: 2a4b2 4b4b3 =b 8 28 24 。 B 组检验员人数为: 5a25b20b25b 12 315 b5b 44 (人)。 答: B 组检验员的人数为 12 人。 【考点】【考点】分式方程的应用。 【分析】【分析】 (1)B 组检验员检验的成品总数=余下五个车间
32、原有的成品+这 5 天新生产的成品。 (2)工作效率=工作总量 检验的人数,根据“每个检验员的检验速度一样快”,可用 这个等量关系来列方程。 2.(2001 天津市天津市 3 分)分)已知:在 RtABC 中,B=90 ,BC=4cm,AB=8cm,D、E、F 分别 为 AB、AC、BC 边上的中点。若 P 为 AB 边上的一个动点,PQBC,且交 AC 于点 Q,以 PQ 为一边,在点 A 的异侧作正方形 PQMN,记正方形 PQMN 与矩形 EDBF 的公共部分的 面积为 y。 (1)如图,当 AP=3cm 时,求 y 的值; (2)设 AP=xcm,试用含 x 的代数式表示 y(cm2)
33、; (3)当 y=2cm2时,试确定点 P 的位置。 【答案】【答案】 解: (1)由于 D 是 AB 中点,因此 DE 是ABC 的中位线,AD=BD=4cm, DE=2cm。 在 RtAPQ 中,AP=3cm,PQ=APtanA=31 2 =1.5(cm)。 DN=ANAD=APPNAD=31.54=0.5。 重合部分的面积应该是 y=DN MN=1.5 0.5=0.75(cm2)。 (2)当 0x 8 3 时,y=0; 当 8 3 x4 时,y= 2 4 x2x 3 ; 当 4x 16 3 时,y=x; 当 16 3 x8 时,y=162x。 (3)当 8 3 x4 时,若 y=2,即
34、2 4 x2x 3 =2,解得 x= 42 10 3 或 x= 42 10 3 (舍去); 当 4x16 3 时,若 y=2,即 x=2,不符合 4x16 3 ; 当 16 3 x8 时,若 y=2,即 162x=2 解得 x=7。 综上所述,当 x= 42 10 3 cm 或 x=7cm 时,y=2cm2。 【考点】【考点】动点问题,正方形的性质,勾股定理,三角形中位线定理。 【分析】【分析】(1)根据 AP 的长,求出 PQ 的值,然后看看正方形与矩形是否重合,若重合求 出重合部分的线段的长,然后根据矩形的面积计算公式进行求解即可。 (2)要分四种情况进行讨论: 当 N 在 D 点或 D
35、点左侧时,当正方形 PQMN 的边 MN 与矩形 EDBF 的边 ED 重合时,利用相似三角形的性质可得出 x= 8 3 ,即 0x 8 3 时,此时正方形与矩形没有重 合,因此 y=0。 当 N 在 D 点右侧,而 P 点在 D 点左侧或与 D 点重合时,即 8 3 x4,此时正 方 形 与 矩 形 重 合 的 面 积 应 该 是 以DN为 长 , NM为 宽 的 矩 形 , 13 DNPNPDPNADAPx4xx4 22 ()(),而 NM=PQ= 1 2 x,因此重合部 分的面积应该是 2 313 yx4xx2x 224 (); 当 P 在 D 点右侧,而 N 点在 B 点左侧或与 B
36、点重合时,即 4x16 3 时,此 时正方形重合部分的面积应该是以正方形边长为长, DE 为宽的矩形的面积, PN= 1 2 x, DE=2, 因此此时重合部分的面积是 y= 8 3 x 2=x; 当 P 在 B 左侧时,而 N 点在 AB 延长线上时,即16 3 x8 时,此时重合部 分的面积应该是以 DE 长为宽,PA 长为长的矩形的面积BP=ABAP=8x,BF=DE=2, 因此此时重合部分的面积应该是 y=(8x) 2=162x。 (3)将 y=2 代入(2)的式子中,看看求出的 x 哪个符合条件即可。 3. (天津市(天津市 2002 年年 8 分)分)已知:以 RtABC 的直角边
37、 AB 为直径作O,与斜边 AC 交于点 D,过点 D 作O 的切线交 BC 边于点 E。 (I)如图,求证:EB=EC=ED; (II)试问在线段 DC 上是否存在点 F,满足 BC2=4DF DC。若存在,作出点 F,并予以证 明;若不存在,请说明理由。 【答案】【答案】解:(I)证明:连结 BD。 ED、EB 是O 的切线,由切线长定理,得 ED=EB,DEO=BEO, OE 垂直平分 BD。 又AB 是O 的直径,ADBD。 AD/OE,即 OE/AC。 又点 O 为 AB 的中点,OE 为 ABC 的中位线, BE=EC。 EB=EC=ED。 (II)在 DEC 中,由于 ED=EC
38、,C=CDE, DEC=18002C。 当DECC 时,有 18002CC,即 00yy 0, 当x=1 或x=3 时, 1 y=0, 当1 ,解得 3 bk bk 当0k时,有bk;当0kk。 综上所述,由(1) (2) (3)知,一次函数=0y kxb k的图象与函数 2 y 的图象有三个不同的交点时,应满足 2 40 1 323 4 0 3a 10 。 当 y3y2时,有 ax24a x(25a)x2+1,即(1a)x24a x(5a 1)0。 若二次函数 y(1a)x24a x(5a1)对于一切实数 x,函数值大 于或等于零,必须 2 1 a 。 若 2 b+ b +4ab q= 2a
39、 , 则 y=8 2 b+ b +4ab q=8 2a +15a+4b=15a+4 2 b +4ab0。 综上所述,当 x=q4 时,二次函数 yax2bxc 所对应的函数值大 于 0。 【考点】【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数图象与系数的关系,一元二次方程根与系 数的关系和根的判别式,解一元二次方程,不等式的性质。 【分析】【分析】本题根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系求二次函数解析式,条件由具体到 抽象,要根据题目的条件逐步求解。 ()()还需结合一元二次方程根的判别式,根 与系数的关系等知识解题。 11. (天津市(天津市 2006 年年 10 分)分) 已知 RtABC
40、 中,ACB90 ,AC6,BC8。 ()如图,若半径为 r1的O1是 RtABC 的内切圆,求 r1; ()如图,若半径为 r2的两个等圆O1、O2外切,且O1与 AC、AB 相切,O2 与 BC、AB 相切,求 r2; ()如图,当 n 大于 2 的正整数时,若半径 rn的 n 个等圆O1、O2、On依次 外切,且O1与 AC、BC 相切,On与 BC、AB 相切,O1、O2、O3、On1均 与 AB 边相切,求 rn. 【答案】【答案】 解: (I) 在 RtABC 中, ACB=90 , AC=6, BC=8, 22 ABACBC10 如图,设O1与 RtABC 的边 AB、BC、CA
41、 分别切 于点 D、E、F,连接 111111 O DO EO FAOBOCO、。 111 O DABO EBCO FAC, ABC 1 SAC BC24 2 , 1 AO C111 11 SAC O FAC r3r 22 1 BO C111 11 SBC O EBC r4r 22 , 1 AO B111 11 SAB O DAB r5r 22 。 又 111 ABCAOCBOCAO B SSSS , 111 243r4r5r,解得 1 r2 。 (II)如图,连接 121212 AOBOCOCOO O、 ,则 1 A O C22 1 SAC r3 r 2 2 B O C22 1 SB C r
42、4 r 2 等圆O1、O2外切, 122 O O2r,且 12 O O AB。 过点 C 作 CMAB 于点 M,交 12 O O于点 N,则 2 AC BC2424 CMCNCMr AB55 ,。 1212 CO O12222222AO O B 1241 SO OCN=rrS2r +10 r = r +5 r 252 梯形 , 。 又 121212 ABCAO CBO CCO OAO O B S=S+S+S+S 梯形 , 222222 24 243r4rrr(r5)r 5 ,解得 2 10 r 7 。 (III)如图,连接 1n1n1n AOBOCOCOO O、 ,则 1 AO Cnn 1
43、SAC r3r 2 , n BO Cnn 1 SBC r4r 2 。 等圆O1、O2、On依次外切,且均与 AB 边相切, 12n OOO、 、均在直线 1n O O上,且 1n O O / /AB。 1nnnn O O(n2)2r2r2(n 1)r 。 过点C作CHAB于点H, 交 1n O O于点K, 则 n 2 42 4 C HC Kr 55 ,。 1n CO O1nnn 124 SO OCK(n1)rr 25 , 1n nnnnAO O B 1 S2(n1)r10r(n1)r5r 2 梯形 。 又 1n1n1n ABCAO CBO CCO OAO O B SSSSS 梯形 , nnnnnn 24 243r4r(n1)rr(n1)r5r 5 ,解得 n 10 r 2n3 。 【考点】【考点】圆与圆的位置关系,圆与直线的位置关系,勾股定理,三角形和梯形面积公式。 【分析】【分析】由圆与圆相切和圆与直线相切的性质,将ABC 分割成若干三角形(梯形),利 用面积相等列出方程求解即可。 12. (天津市(天津市 2006 年年 10 分)分)已知抛物线 yax2bxc 的顶点坐标为(2,4). ()试用含 a 的代数式分别表示 b,c; ()若直线 ykx4(k0)与 y 轴及该抛物线的交点依次为 D、E、F,且 ODE OEF S S 1 3 , 其中 O 为坐标原点,试用含
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