1、专题专题 7 7旋转之求线段最值旋转之求线段最值 破解策略破解策略 用旋转思想解决线段最值问题的本质用三角形三边关系解决问题 如图,线段OA, OB为定长,则A, B, O三点共线时,AB取得最值 : 当点B位于处B1时, AB取得最小值OAOB;当点B位于B2处时,AB取得最大值OAOB 值 值 值 值 值 值 B1O B2 A B 常见的题型有: 1 如图,RtABC大小固定,其中ABC90,点A, B分别在互相垂直的直线m, n上 滑动 n m O B A C 取AB中点D, 连接OD, CD 当O, C, D三点共线时,OC取得最大值ODCD m n D O B A C 2 如图,等边
2、ABC大小固定,点A, B分别在互相垂直的直线m, n上滑动 m n C O B A 取AB中点D, 连接OD, CD 当O, C, D三点共线时,OC取得最大值ODCD n m D C O B A 3 如图,RtABC大小固定,其中ABC90,点A, B分别在互相垂直的直线m, n上 滑动 n m O B A C 取AB中点D, 连接OD, CD 当O, C, D三点共线时,OC取得最小值|CD OD| m n D O B A C 例题讲解例题讲解 例 1已知 RtABC中,ACB90,tanBAC 若BC6, 点D在边AC的三等分 1 2 点处,将线段AD绕A点旋转,E始终为BD的中点,求
3、线段CE长度的最大值 E D A CB 解:在 RtABC中,AC12,AB6 tan BC BAC 5 如图 1,当ADAC时,取AB的中点F,连接EF和CF, 则CFAB, 1 3 1 2 3 5 EFAD2 所以当且仅当C, E, F三点共线且点F在线段CE上时,CE最大, 1 2 此时CECFEF23 5 E D F A CB 图 1 如图 2,当ADAC时,同理可得CE的最大值为 43 2 3 5 综上可得,当点D在靠近点C的三等分点处时,线段CE的长度的最大值为 43 5 E F DA BC 图 2 例 2 以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作AOB和COD,其中
4、 ABO30如图,若BO,点N在线段OD上,且NO2,P是线段AB上的一个动点,3 3 在将AOB绕点O旋转的过程中,线段PN长度的最小值为_,最大值为_ B CD P N O A 解:2;2 3 3 2 3 3 过点O作OEAB于点E,则OEOB 1 2 3 3 2 故当点P在点E处时,OP长度取最小值;当点P在点B处时,OP长度取最大值 3 3 2 3 3 A O N P D B C E 当AOB绕点O旋转到O,E,D三点共线,且点E在线段OD上时,PN取最小值,即OE ON2; 3 3 2 E(P) CD O A B N 当AOB绕点O旋转到O,B,D三点共线,且点B在线段DO的延长线上
5、时,PN取最大值, OBON2 3 3 所以线段PN长度的最小值为2,最大值为2 3 3 2 3 3 B(P) O DC A N 进阶训练进阶训练 1 已知AOB和COD是等腰三角形,其中BABO2,CDCO3,ABODCO连结 AD,BC,M,N分别为OA,BC的中点若固定AOB,将COD绕点O旋转,求MN的最大值 N M A B C D O 【答案】 5 2 【提示】如图,取OB的中点E,连结EM,EN,则EM,EN为定值,当点E在线段MN上时,MN 取最大值 E O D C B A M N 2 已知:在 RtABC中,BAC90,ACAB4,D,E分别是AB,AC的中点若等腰 RtADE
6、绕点A旋转,得到等腰 RtAD1E1,记直线BD1与CE1的交点为P (1)设BC的中点为M,求线段PM的长; (2)求点P到AB所在直线的距离的最大值 E1 D1 A B C D E P 【答案】(1);(2)1 2 23 【提示】(1)易证E1ACD1AB,所以E1CAD1BA,从而可得BPCBAC90, 所以PMBC 1 2 2 2 M P E D C B A D1 E1 (2)由题意知,点D1,E1在以A为圆心、AD为半径的圆上,而点P在直线BD1上,所以当 直线BD1与A相切时,点P到AB的距离最大此时四边形AD1PE1是正方形,即PD1AD1 2如图,作PGAB于点G,解 RtPGB即可 G P E D C B A D1 E1 3 已知:正方形ABCD的边长为 1,P为正方形内的一个动点,若点M在AB延长线上,且 满足PBCPAM,延长BP交AD的延长线于点N,连结CM,是否存在满足条件的点P,使 得PC?请说明理由 1 2 AB C D P M N 【答案】不存在满足条件的点P,使得PC 1 2 【提示】 因为PBCPAM, 可得ABPPAMABPPBC90, 所以APBN 以AB 为直径,作半圆O,连结OC,OP,则OPPCOC,从而PC,所以不存在满足条件 51 2 的点P,使得PC 1 2 O N M P D C BA