1、1 专题专题 8 8“PAPAk kPBPB”型的最值问题”型的最值问题 破解策略破解策略 “PAkPB”型的最值问题，当k1 时通常为轴对称之最短路径问题，而当k0 时，若 以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路 1 当点P在直线上 如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知 sinMBN k 过点A作ACBN于点C，交BM于点P，此时PAkPB取最小值，最小值即为AC的长 P C B A M N 证明证明 如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QDBN于点 D N M A B C P D Q 由 sinMBNk，可得QD kQB 所以QA
2、kQBQAQDAC，即得证 2 当点P在圆上 如图，O的半径为r，点A，B都在O外，P为O上的动点，已知rkOB 在OB上取一点C，使得OC kr，连结AC交O于点P，此时PAkPB取最小值，最小 值即为AC的长 A B C P O 证明证明 如图，在O上任取一点Q，连结AQ，BQ，连结CQ，OQ 2 O P C B A Q 则OC kOQ，OQ kOB 而COQQOB，所以COQQOB， 所以QC kQB 所以QA kQB QAQCAC，即得证 例题讲解例题讲解 例例 1 1 如图，矩形ABCD中，AB6cm，BC5cm，对角线AC、BD相交于点O，COD 关于CD的对称图形为CED若点P为
3、线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动 点Q从点O出发，以 1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以 15cm/s的速度沿线段 PA匀速运动到点A， 到达点A后停止运动， 当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短 时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间 解：由题意可得，点Q运动到带你A的时间为 2 171 过点E作EFAD，交AD的延长线于点F 则EF3cm，AF5 2 3 cm AE 2 9 22 AFEFcm，从而 sinEAF EA EF 3 2 过点P作PGAD于点G，则有PG 3 2 PA 过点O作OHAD于点H，则OH 2 1 CD3 而OP 3 2 PAPOPG
4、OH，所以t最 小3s 3 显然AH 3 1 AF，所以AP 3 1 AE 2 3 cm 综上所述，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为 2 3 cm，点Q 走完全程所需的时间为 3s 例例 2 2 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx 22mxm2m 的顶点为 C直线yx2 与抛物线交于A、B两点， 点A在抛物线的对称轴左侧 抛物线的对称轴与直线AB交于点M， 作点B关于直线MC的对称点B以M为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使得QB 2 2 QB的值最小，则这个最小值为多少？ 解：yx 22mxm2m（xm）2m 顶点C的坐标为（m，m），从而点M的坐标为（m，m2）
5、 连结MQ，则MQMC2 联立方程组 2 2 22 xy mmmxxy 可得点A（m1，m1），B（m2，m4） BM22)24()2( 22 mmmm，即MQ 2 2 MB 取MB的中点N，则MN 2 1 MB 2 2 MQ 连结QN，易证QMBNMQ QN 2 2 QB 连结BN，则QB 2 2 QBQBQNBN 4 易得直线AB与y轴的夹角为 45，所以AMC45 连结BM，则BMB2AMC90 在 RtBMN中，BN10)2(2)22( 2 即QB 2 2 QB的最小值为10 进阶训练进阶训练 1.如图在ACE中，CACE，CAE30，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上， 设D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当 2 1 CDOD的最小值为 6 时，求O的 直径AB的长 8 3AB 2如图，在ABC中，B90，ABBC2，以点B为圆心作B与AC相切，P为B 上任意一点，求PA 2 2 PC的最小值 5
