1、专题专题 9 9费马点费马点 破解策略破解策略 费马点费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点， 这个最小的距离叫做费马距离 若三角形的内角均小于 120，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在 的周角；若三角形内有一个内角大于等于 120，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和 最小的点 1.若三角形有一个内角大于等于 120，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在ABC中，BAC120，求证：点A为ABC的费马点 证明： 如图，在ABC内有一点P延长BA至C，使得ACAC，作CAP CAP，并且使得AP AP，连结PP 则APCAPC，PCPC 因为BAC120 所以P
2、APCAC60 所以在等腰PAP中，APPP 所以PAPBPCPPPBPCBCABAC 所以点A为ABC的费马点 2.若三角形的内角均小于 120，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边 三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点 如图，在ABC中三个内角均小于 120，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边 三角形的外接圆在ABC内的交点为O，求证：点O为ABC的费马点 证明：在ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC 将AOC绕着点A逆时针旋转 60，得到AOD连接OO则ODOC 所以AOO为等边三角形，OOAO 所以OAOCOBOOOBOD 则当点B、O、O、
3、D四点共线时，OAOBOC最小 此时ABAC为边向外作等边三角形， 两个等边三角形的外接圆在ABC内的交点即为点O 如图，在ABC中，若BAC、ABC、ACB均小于 120，O为费马点，则有AOBBOC COA120，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心三角形的等角中心 例例 1 1 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0） ，点B的坐标为（6，0） ， 点C的坐标为（6，），延长AC至点D使得CDAC，过点DE作DE/AB，交BC的延长34 线于点E，设G为y轴上的一点，点P从直线yx与y轴的交点M出发，先沿y336 轴到达点G，再沿GA到达点A，若点P在y轴上运动的速度是它在直线
4、GA上运动速度的 2 倍，试确定点G的位置，使点P按照上述要求到达A所用的时间最短 解：t v GM vv GM 2 2GAGA 2 当 2GAGM最小时，时间最短 如图，假设在OM上存在一点G，则BGAG MG2AGMGAGBG 把MGB绕点B顺时针旋转 60，得到MGB，连结GG，MM GGB、MMB都为等边三角形 则GGGBGB 又MGMG MGAGBGMGGGAG 点A、M为定点 AM与OM的交点为G，此时MGAGBG最小 点G的坐标为（0，） 32 例例 2 2 A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每 两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总
5、长度为最小，则应当如何修建？ 解：如图，将ABP绕点N逆时针旋转 60，得到EBM；同样，将DCQ绕点C顺时针旋 转 60，得到FCN，连结AE、DF，则ABE、DCF均为等边三角形，连结PM、QN，则 BPM，CQN均为等边三角形 所以当点E，M，P，Q，N，F共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段EF的长， 如图，此时点P，Q在EF上，123430 F N E M BC AD PQ 进阶训练进阶训练 1如图，在ABC中，ABC60，AB5，BC3，P是ABC内一点，求PAPBPC 的最小值，并确定当PAPBPC取得最小值时，APC的度数 B C A P 答案：PAPBPC的最小值为
6、7，此时APC120 P A P A CBE 【提示】如图，将APB绕点B逆时针旋转 60，得到ABP，连结PP，AC过点 A作AEBC，交CB的延长线于点E解 RtAEC求AC的长，所得即为PAPBPC的最 小值 2 如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点， 将BM绕点B逆时针旋转 60得到BN，连结AM，CM，EN （1）当M在何处时，AMCM的值最小? （2）当M在何处时，AMBMCM的值最小？请说明理由； （3）当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长 31 N E C D B A M 答案：（1）当点M落在BD的中点时，AMCM的值最小，最小值为AC的长； （2）连结CE，当点M位于BD与CE的交点处时AMBMCM的值最小，最小值为CE 的长 （3）正方形的边长为 2 【提示】（3）过点E作EFBC，交CB的延长线于点F，解 RtEFC即可 N E C D A B F M
