《微积分（第二版）》课件第一节空间曲面.ppt

1、第七章第七章 多元函数微积分多元函数微积分第一节 空间曲面 第二节 多元函数 第三节 偏导数与经济应用 第四节 全微分 第五节 多元函数微分法 第六节 多元函数极值 第七节 多元函数优化问题 第八节 二重积分一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、空间曲面与方程二、空间曲面与方程三、空间曲线及其在坐标面投影三、空间曲线及其在坐标面投影四、平面区域与四、平面区域与n维空间维空间第一节第一节 空间曲面空间曲面第七章第七章 多元函数微积分多元函数微积分 导言：多元函数微积分是一元函数微积分的推广.多元函数微积分的许多内容与一元函数微积分相关内容类似或密切相关，主要包括：多元函数、多元函数的极限与连续

2、、多元函数微分学及其应用、二重积分等内容.在这部分内容的学习中应注意与一元函数微积分的对比和联系.在讨论多元函数微积分之前，首先要了解空间曲面的知识.这些知识是学习多元函数微积分的基础.第一节第一节 空间曲面空间曲面一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系(1)在空间任选一点O称为坐标原点,(3)在三个坐标轴上选定长度单位.(2)在O点处作三条两两互相垂直的轴Ox,Oy,Oz称为坐标轴，三个坐标轴Ox,Oy,Oz的次序和方向，规定为按右手法则排列，即右手握住 z 轴，四个手指从 x 轴的方向转到 y 轴方向时，拇指就指向 z 轴的正方向.xyzO 三个坐标轴Ox,O y,Oz两两决定三个互相垂直

3、的平面Oxy,Ozx,Oyz,统称为坐标平面.即xOy坐标面、yOz坐标面、zOx坐标面.xzyo 三个坐标平面将空间分为八个部分,称其每个部分为卦限,它们分别是：含x轴,y轴和z轴正向的卦限称为第卦限,然后逆着z轴正向看时,按逆时针顺序依次为,卦限，以及第,卦限.2.点的坐标xyzOMPRQ 设M为空间的任意一点,过点M作垂直于三个坐标轴的平面，与x轴、y轴、z轴的垂足分别为P,Q,R.在坐标轴上对应的坐标分别是x,y,z.这样空间内任一点就确定了惟一的一组有序的数组x,y,z,用(x,y,z)表示.反之,任给出一组有序数组x,y,z它们分别在x轴,y轴和z轴上对应点P,Q,R.过三点分别作

4、垂直于三个坐标轴的平面相交于点M.因此M),(zyx 1-1 1-1对应对应 通过空间直角坐标系,建立了空间点M与有序数组x,y,z 之间的1-1对应的关系.有序数组x,y,z 就称为点M的坐标,x为点M 的横坐标,y为点M 的纵坐标,z为点M 的竖坐标,记为M(x,y,z).x轴上点的坐标为(x,0,0)，y轴上点的坐标为(0,y,0)，z轴上点的坐标为(0,0,z)，oxy面上点的坐标为(x,y,0)，oyz面上点的坐标为(0,y,z)，ozx面上点的坐标为(x,0,z)，特殊点的坐标Oxyz),(zyxM)0,(yx3.空间两点间的距离 设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2

5、)为空间两点.过点M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.yzOy1xz1z2y2x2x1QPM1M2R|,|121xxPM，222212221221|QMPQPMQMQMMM|,|12yyPQ|,|122zzQM )()()(|21221221221zzyyxxMM上式称为M1,M2 两点间的距离公式.由勾股定理可得 例 在 y 轴上求一点M,使其到两点 M1(2,0,1)与M2(1,1,3)的距离相等.解 由于点M在y 轴上,设其坐标为(0,y,0),由题意有等式 即|,|21MMMM 222222)30()1()10()10()0()20(yy解此方程得 y=3，因此所求点为M(0

6、,3,0).二、空间曲面的方程1.曲面方程的概念 定义 若曲面 上的点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0而不在曲面 上的点的坐标都不满足方程,则称该方程为曲面 的方程.而曲面 就称为该方程的图形.zxyO而不在球面上的点的坐标都不满足方程,所以该方程为球面方程.特殊地,球心在原点,半径为R的球面方程为 例 求球心在 M0(x0,y0,z0),半径为R 的球面方程.2202020)()()(Rzzyyxx.2222Rzyx 解 设 M(x,y,z)为球面上任意一点,则M在球面上的充要条件为 即RMM0Rzzyyxx202020)()()(2.平面的方程 例 求与两定点 ,等距离的动点 的轨迹

7、方程.)2,1,2(),2,0,1(21MM),(zyxM解 由题意有 由两点间的距离公式，得 21MMMM222222)2()1()2()2()0()1(zyxzyx两边平方，化简得三元一次方程024zyx 由几何学知，动点的轨迹是线段 的垂直平分面，因此上述三元一次方程是平面方程.此结论对空间一般平面也成立.21MM空间平面的一般方程为三元一次方程0DCzByAx其中A、B、C、D均为常数，且不全为零.对于平面 当A、B、C、D均不为零时，平面图形用连接平面与三个坐标轴的交点的三角形表示.0DCzByAxzxyO（1）若 ，则平面 过坐标原点0D0CzByAx（2）若 ，则平面 平行于Oz

8、轴0C0DByAx（3）若 ，则平面 过Oz轴0 DC0 ByAx（4）若 ，则平面 平行于yOz平面0 CB0 DAx3.母线平行于坐标轴的柱面 柱面的概念 动直线 L 沿给定曲线 C 平行移动形成的曲面称为柱面.动直线 L 称为柱面的母线,定曲线 C 称为柱面的准线.C （1）以xOy 坐标面上曲线 C:f(x,y)=0 为准线,母线平行于z 轴的柱面方程为0),(yxf柱面方程f(x,y)=0 特点是方程中不含有变量z.xyzC 必在准线 C 上.所以 的坐标满足曲线 C 的方程 f(x,y)=0.设 M(x,y,z)为柱面上的任一点,过 M 作平行于 z 轴的直线交 xoy 坐标面于点

9、 由柱面定义知 点 M(x,y,z)也满足方程 f(x,y)=0.由于方程 f(x,y)=0 不含 z，所以),0,(yxMMM 而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐标面的交点必不在曲线 C 上,也就是说不在柱面上的点的坐标不满足方程 f(x,y)=0.xyz)0,(yxM),(zyxM （2）以yOz 坐标面上曲线 C:g(y,z)=0 为准线,母线平行于x 轴的柱面方程为0),(zyg （3）以zOx 坐标面上曲线 C:h(x,z)=0 为准线,母线平行于y 轴的柱面方程为0),(zxh 在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面

10、的母线就平行于哪一个坐标轴.yzxyz222Ryx几种常用的柱面方程及图形（1）圆柱面（2）椭圆柱面12222byax（4）抛物柱面（3）双曲柱面12222byaxpyx22zyxO 平面曲线 C 绕同一平面上定直线 L 旋转所形成的曲面称为旋转曲面.定直线 L 称为旋转轴.4.旋转曲面 设 yoz 平面上曲线 C:f(y,z)=0 绕 z 轴旋转形成旋转曲面 .则旋转曲面方程为.0),(22zyxfCC 设 yoz 平面上曲线 C:f(y,z)=0 绕 z 轴旋转形成旋转曲面 .点 M(x,y,z)为旋转曲面上任意一点,过点 M 作平面垂直于 z 轴,交 z 轴于点 P(0,0,z),交曲线

11、 C 于点 M0(0,y0,z0).由于点 M 可以由点 M0 绕 z 轴旋转得到,因此有00,zzPMPM,22yxPM因为,00yPM,220yxy又因为 M0 在曲线 C 上，所以f(y0,z0)=0即得旋转曲面方程:.0),(22zyxf 设 yoz 坐标面上的直线 z=ay(a 0),绕 z 轴旋转,确定旋转曲面方程.因为将直线 z=ay 绕z轴旋转,故z 保持不变,将 y 换成,22yx).(22yxaz则得此曲面称为圆锥面.),(2222yxaz即例 圆锥面方程旋转所得的曲面方程为)(22yxaz该曲面称为旋转抛物面.当 a 0)，绕 z 轴当 a 0 时，旋转抛物面的开口向上.

12、例 旋转抛物面xyzO 定义 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.讨论二次曲面形状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线（即截痕）的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌,这种方法称为截痕法.5.二次曲面（1）椭球面1222222czbyax)0,(cba由方程得czbyax ,即曲面介于平面czbyax ,之间曲面与三个坐标面的交线为：,012222yczax.012222xczby,012222zbyax椭球面与平行坐标平面的交线为椭圆，且椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.zqypx2222（与 同号）pq（4）椭圆抛物面（2）单叶双曲面1222222czbya

13、x（3）双叶双曲面1222222czbyax)0,(cba)0,(cba（2）单叶双曲面1222222czbyax（3）双叶双曲面1222222czbyax)0,(cbazqypx2222（与 同号）pq（4）椭圆抛物面zqypx2222（与 同号）pq（5）双曲抛物面三、空间曲线及其在坐标面上的投影 空间两平面相交为直线.因此，可以把空间直线看作是两平面的交线.相应地，可以把空间曲线看作是两曲面的交线.0),(0),(21zyxFzyxF所表示的曲线方程称为空方程组特殊地，直线方程00222111zCyBxAzCyBxA间曲线的一般方程.zxyO z=3 是平行于 x y 坐标面的平面，因而

14、它们的交线是在平面 z=3 上的圆.解 因为 x2+y2+z2=25 是球心在原点,半径为 5 的球面.表示什么曲线?例 方程组;3,25222zzyxxyzO22222)21()21(1yxyxz例 曲线方程表示上半球面 与柱面相交构成的空间曲线方程221yxz222)21()21(yx过曲线C上的每一点作xOy坐标面的垂线,这些垂线形成了一个母线平行于z轴且过曲线C的柱面,称其为曲线C关于xOy坐标面的的投影柱面.这个柱面与面的交线称为曲线在面上的投影曲线,简称投影.0),(0),(21zyxFzyxF投影柱面方程的确定：0),(0),(21zyxFzyxF由方程组消去变量z，所得方程 为

15、投影柱面方程.0),(yxF设空间曲线C的方程为xOy坐标面上的投影曲线方程00),(zyxF 例 求曲线 在 xoy坐标面上的投影曲线的方程.yyxzyx8,64:22222yyx822解 方程就是 关于xoy 坐标面的投影柱面方程，因而曲线 在 x y 坐标面上的投影曲线是圆.0,822zyyx四、平面区域与n 维空间.)()(),()()(),(022020000000圆邻域，如图所示的称为点圆周即不含为半径的圆的内部为圆心、正数，以为一平面上的一定点，是设PyyxxyxPPPPOPxOyyxP.)()(00000PPOPPPO心邻域，记为的去后，称为去掉中心上述邻域xyO0P:的关系有

16、以下三种与任一点，则上平面为平面上的一点集，是设DPxOyPxOyD.,)(,0 的内点是则称点使得内点：若存在DPDPO.,的边界的所有边界点集合称为的边界点为点集则称的点又含有不属于点的既含有属于的任何邻域内边界点：若在DDDPDDP.,)(,0 的外点是则称点使得即存在的某个邻域，外点：若存在DPDPOPE,94),(22yxyxD点集;9422的内点的点都是满足Dyx；它们都属于的边界点的点均为满足DDyx,422.942222yxyxD与的边界是圆周；但它们都不属于边界点的的点也均为满足DDyx,922xyO32例 连通：如果点集E内任意两点都能用全属于E的折线或曲线连接起来，则称E

17、为连通的.区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及其它的边界所成的集合称为闭区域.有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个以原点为圆心的圆盘D，使 ，则称E为有界区域，否则称E为无界区域.DE.,为开集则称的内点内任意一点均为如果DDDxyO例 区域 为开区域.0),(yxyxD例 区域 为有界闭区域.1,10),(yxxyxD)1,1(xyO n 维空间 由元有序实数组 的全体组成的集合称为n 维空间，记作 ，即),(21nxxx,2,1,R),(21nixxxxRinnnR其中每个有序数组 称为 中的一个点，也称该点的坐标，n个实数 就是这个点的坐标的分量.),(21nxxxnRnxxx,21 n维空间中任意两点 与 间的距离定义为),(21nxxxP),(21nyyyQ2222211)()()(nnyxyxyxPQ