《微积分（第二版）》课件第四节函数的幂级数展开.ppt

1、第四节第四节 函数的幂级数展开函数的幂级数展开一、泰勒公式一、泰勒公式二、泰勒级数二、泰勒级数三、将函数展开幂级数三、将函数展开幂级数第四节第四节 函数的幂级数展开函数的幂级数展开 问题导言：计算特殊数 值，以及一些基本初等函数的函数值具有广泛的应用价值.解决这些值计算的一种有效方法是利用函数逼近.关于函数逼近首先要考虑两方面问题：一是何种类型函数来逼近给定的函数.二是以何种方式来逼近给定函数.用函数逼近的最简单形式莫过于幂级数.在此主要讨论如何将一个函数表达成幂级数.e,几何意义为:在点 的附近用曲线y=f(x)在点 处的切线来代替曲线y=f(x).即进行线性代替.线性代替：由微分的概念知道

2、，如果y=f(x)在点 处可导，则有一、泰勒公式)()()()(0000 xxoxxxfxfxf|0很小时，有近似公式当xx 0 x，即)(dxoyy.)()()(000 xxxfxfxf)(,(00 xfx0 x0 x 线性代替公式的不足：精度往往不能满足实际需要；用它作近似计算时无法估计误差.)()()(0002处相等在xxfxP)()()(0002处有相同的切线在xxfxP)()()(0002曲方向处两条曲线有相同的弯xxfxP 二次多项式代替：以 代替函数 ，设 f(x)在含 的某区间(a,b)内有二阶导数,为了使 与 f(x)尽可能接近，应使0 x22102)(xaxaaxP)(xf

3、)(2xP用 在点 附近来逼近 f(x)，可以提高代替精度,为了进一步提高精度,需要采取多项式代替.0 x，002)(axP，102)(axP202!2)(axP 由),(00 xfa 可得，)(01xfa)(!2102xfa.)(!21)()()(2000002xxxfxxxfxfxP 所以)(2xPnnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 来近似表达函数 f(x),并使得当 时，为比 高阶的无穷小,且能写出 的具体表达式,以便能估计误差.这样的 如何？0 xx)()(xPxfnnxx)(0)()(xPxfn多项式代替：用简单的多项式函数进行代替.即用)(xPn,)()(

4、00 xfxPn,)()(00 xfxPn,)()(00 xfxPn )()(0)(0)(xfxPnn 设 f(x)在含 的某区间(a,b)内有n+1阶导数,为了使 与 f(x)尽可能接近，应使)(xPn0 x,)()(00 xfxPn ，00)(axPn，10)(axPn，20!2)(axPn,!)(0)(nnnanxP对多项式函数求导得,!3)(30axPn ),(00 xfa),(!10)(xfnann由此可得，)(01xfa),(!2102xfa),(!3103xfa .)(!1)(!21)()()(00)(200000nnnxxxfnxxxfxxxfxfxP 所以且有余项).)()(

5、)()(0nnnxxoxPxfxr 定理（泰勒公式）设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)内具有直至n+1阶导数,则当 时有泰勒展开式),()()()(!1)(!21)()()(00)(200000 xrxPxrxxxfnxxxfxxxfxfxfnnnnn .)()(0nnxxoxr余项常用的余项有佩亚诺型),(bax.)(,)(为泰勒多项式为泰勒展开式的余项并称xPxrnn10)1()()!1(1)(nnnxxfnxr拉格朗日型余项).(0之间与介于xx 马克劳林公式 若在泰勒公式中令 ，则有),()0(!1)0(!21)0()0()()(2xrxfnxfxffxfnnn 00 x,)()

6、!1(1)(1)1(nnnxfnxr（介于0与x之间）.此展开式称为马克劳林公式.,)0(!1)0(!21)0()0()()(2nnnxfnxfxffxP 称为马克劳林多项式.称为余项.且有)(xrn拉格朗日型余项.)()(nnxoxr佩亚诺型余项 例 设f(x)=cos x，写出f(x)在点x=0处的1次、2次、4次、6次泰勒多项式.2cos)0(),2cos()()()(nfxnxfnn).(1cos1xPx).(211cos22xPxx解 由泰勒多项式为),(!4!21cos442xPxxx),(!6!4!21cos6642xPxxxx)(1xP)(2xP)(4xP)(6xP)(8xP)

7、(xf 例 设 写出带有拉格朗日余项的马克劳林公式.xexf)(1)0(,)()()(nxnfexf解 由)10()!1(!2112nxenxxxenxnx所以，带有拉格朗日余项的马克劳林公式为xexf)(),(!3!21332xPxxxex).(11xPxex).(!21122xPxxex!1!2111ne时，当1x718281.2,9en常用的泰勒公式12)!1(!2!1enxnxxnenxxx1212153)!12(2)12(sin)!12()1(!5!3sinnnnxnnxnxxxxx)!2()1(cos)!2()1(!4!21cos2242nxmxnxxxxnnn)()1(32)1l

8、n(132nnnxonxxxxx的充分必要条件是 二、泰勒级数 设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)内具有任意阶导数，由泰勒公式可知),()()()(!1)(!21)()()(00)(200000 xrxSxrxxxfnxxxfxxxfxfxfnnnnn 即，)()()(xSxfxrnn)()(limxfxSnn0)(limxrnn由此可知.)()(000)(nnnxxxfxf也即当 时,有0)(limxrnn 定义 级数 ，称为f(x)在 处的泰勒级数.级数 称为 f(x)的在x=0 处的麦克劳林级数.0 xx 000)()(!1nnnxxxfn 定理 设 f(x)在包含点 在内的某区间

9、内有任意阶导数.f(x)在点 处的泰勒级数在该区间内收敛于f(x)的充分必要条件是在该区间内0 xx.0)(limxrnn0 xx 0)()0(!1nnnxfn 函数 f(x)的泰勒级数收敛于f(x)也称为f(x)可以展开成泰勒级数.泰勒级数展开的唯一性 设f(x)在 的某对称区间 内可以展开成 的幂级数),(00 xRxR0 x)(0 xx )()()()(0202010，nnxxaxxaxxaaxf将上式逐阶求导，有)()(3)(2)(10203021，nnxxnaxxaxxaaxf)()1()(23!2)(20032，nnxxannxxaaxf)()2)(1(!3)(303，nnxxan

10、nnaxf)(2)1()1(!)(01)(，xxannnanxfnnn这样就证明了下述定理：),(00 xfa),(01xfa).(!2102xfa).(!10)(xfnann以 代入上式，有0 x).(!3103xfa 定理(唯一性定理)若 f(x)在某区间内可以展开为 的幂级数,)()(00nnnxxaxf)(0 xx 则此幂级数必为其泰勒级数，也即其系数必定为泰勒系数).,2,1,0()(!10)(nxfnann3.写出 f(x)在 处的泰勒级数1.求出f(x)的各阶导数,),(,),(),()(xfxfxfn 2.计算,),(,),(),(),(0)(000 xfxfxfxfn 0 x

11、000)()(!1nnnxxxfn4.求出上述泰勒级数的收敛区间(R,R)，000)()(!1)(nnnxxxfnxf5.在收敛区间内证明6.写出展开式0)()!1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxr三、将函数展开成幂级数 1.直接展开法 用展开定理直接将 f(x)展开为泰勒级数的方法为直接展开法，其步骤为其收敛区间为 .例 将 展开为马克劳林级数.xxfe)(解 求出 的n 阶导数 .xxfe)(，)()()(e)()(xfxfxfxfnx 因此，1)0()0()0()0()0()(nfffff故函数 的马克劳林级数为,!1!211!120nnnxnxxxnxxfe)(),

12、(收敛半径为)1(limlim)!1(1!1nRnnnn由比值法可知正项级数 收敛.)!1(|)!1(|e)!1(e|)(|11|1nxMnxnxxrnnxnn)(eMx).,(x0)(limxrnn于是，有01)!1(|nnnx0)!1(|lim1nxnn对任取定的x，则对于任何介于0与x之间的 ，有所以，由收敛必要条件知,!1!211!120nnnxxnxxxne所以有展开式例 将f(x)=sin x在x=0处展开为马克劳林级数.解故,1)0(,0)0(,1)0(,0)0(ffff马克劳林级数为!71!51!31753xxxx,2,1,2sin)()(nxnxfn其收敛区间为 ，因为),(

13、,)!1(|)!1(2)1(sin|)(|11nxnxnxrnnn（位于0与x之间）.因此 ，故有由于 为收敛级数，其通项的极限为零，01)!1(|nnnx或写为).(!71!51!31sin753xxxxxx0)(limxrnn),()!12()1(sin120 xxnxnnn 所谓间接展开法,就是利用已知的幂级数展开式,利用幂级数在其收敛区间内的四则运算、分析运算性质,即幂级数逐项加、减,逐项求导、逐项积分等运算,将所给函数展开为泰勒级数.2.间接展开法例 将 f(x)=cos x展开为麦克劳林级数.解 由,!71!51!31sin753xxxxx两边求导得)(!61!41!211cos6

14、42xxxxx例 将 f(x)=ln(1+x)展开为马克劳林级数.解 因为),11()1(110 xxxnnnxxx0d11011)1(nnnnx).1,1()1(32)1ln(132xnxxxxxnn xnnnxx00d)1(上式两端积分得)01ln()1ln(x即所以例 将 展开为马克劳林级数.解 因为),11()1(110 xxxnnn于是所以nnxxxx2422)1(111)1,1(x积分得12)1(53arctan1253nxxxxxnn 1,1xxxxfarctan)(12)1(53arctan)1(2642nxxxxxxnn 1,1x常用的展开式公式),11(1112xxxxxn

15、),(!2!1e2xnxxxnx).,()!12()1(!5!3sin1253xnxxxxxnn).,()!2()1(!4!21cos242xnxxxxnn).1,1()1(32)1ln(132xnxxxxxnn 将函数间接展开成幂级数，通常还使用下述变换法若函数 f(x)的幂级数展开为),()(2210RRxxaxaxaaxfnn，则有),()(2210RRttatataatfknknkkk，例 将函数 展开成幂级数.解 由),(,!1!2112xxnxxenx将x 换成 可得函数的幂级数展开式.2)(xexf2x),(,!)1(!2112422xxnxxennx 例 求 在 处的展开式.xxfln)(30 x解 令 ，则 .由tx 3)3ln(lntx31ln3ln)3ln(tt)33(3)1()1(333233ln113322tnttttnnn把上式中t 的改写为 ，即得3x603)1()3()1(33)3(32)3(333lnln113322xnxxxxxnnn