1、一、曲线凹凸性与拐点的定义一、曲线凹凸性与拐点的定义二、曲线凹凸性的判别二、曲线凹凸性的判别第四节第四节 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点 函数 图形向上弯曲（曲线为凹的），函数 图形向下弯曲（曲线为凸的）.问题导言：为了描绘函数的图形，仅知道函数的增减性和极值是不够的还要了解曲线的弯曲方向.第四节 曲线的凹凸性与拐点 如函数 与 都是 上单调增加函数，但它们的图形弯曲方向却有明显的差异.1,02)(xxfxxg)(2xy xy 1xy2)(xxfxxg)(问题：对曲线的弯曲方向，即曲线的凹凸性进行研究是必要的.问题观察：观察曲线的弯曲方向与区间内点的函数值之间的关系.曲线弧为凹的曲线弧为
2、凸的)(xfy 1x2x221xx yx)(xfy 1x2x221xx yx2)()(22121xfxfxxf2)()(22121xfxfxxf 定义 设函数 在区间I上连续，如果对I上任意两点 21,xx)(xfy.)(2)()(2)1(2121内是凹的在，则称曲线若Ixfyxfxfxxf.)(2)()(2)2(2121内是凸的在，则称曲线若Ixfyxfxfxxf 几何特征是凹曲线位于弦线下侧，凸曲线位于弦线的上侧.问题观察：观察曲线的凹凸方向与曲线的切线间的位置关系.xyoy=f(x)xyoy=f(x)凹曲线在切线的上侧，随着x的增大，切线斜率随之增大，即0)(xf凸曲线在切线的下侧，随着
3、x的增大，切线斜率随之增大，即0)(xf 定理(曲线凹凸性的判定法)设函数y=f(x)在a,b上连续，在(a,b)内二阶可导.(1)若在(a,b)内 ,则曲线弧y=f(x)在a,b 上为凹的.0)(xf(2)若在(a,b)内 ,则曲线弧y=f(x)在a,b 上为凸的.0)(xf 定理结论可由函数 进行验证.2axy ay2 当 时,曲线为凹的.0a当 时,曲线为凸的.0a,1arctan2xxxy,0)1(2)1(2)1(11222222 xxxxxxy所给曲线在 内为连续曲线弧.由于),(解故 在 内为凹的.),(xxyarctan例 判定曲线弧 的凹凸性.xxyarctan判定曲线弧 的凹
4、凸性.,3)(23xxy.6)3(2xxy 3xy 当x0时，,可知 为凹的.3xy 0 y例所给曲线在 内为连续曲线弧.由于),(解在此,原点(0,0)为曲线弧凹凸区间的分界点.xyo 若曲线在区间内具有凹凸性，区间称为凹凸区间曲线上凹与凸区间的分界点称为拐点 定义 设曲线 在点 处有穿过曲线的切线，且在切点两侧近旁曲线的凹向不同，这时称点 为曲线 的拐点)(xfy)(,(00 xfx)(,(00 xfx)(xfy 对于具有连续二阶导数的函数而言，由曲线的凹向判别条件知，拐点的两则二阶导数符号相异，由此可得 定理（拐点存在的必要条件）设函数 在点 处具有连续的二阶导数，若点 为曲线 的拐点，
5、则)(xfy 0 x)(,(00 xfx)(xfy 0)(0 xfxyo 例 求曲线弧 的拐点.当x0时，,曲线 为凸的.31xy 0 y31xy.0 .92,313532处不存在 xyxyxy在.,0,031为凹的曲线当xyyx 时从而知点(0,0)为曲线弧 的拐点.解31xy 由此可以看到曲线的拐点可能在二阶导数为零的点以及不可导处取得.xyo求曲线 与 的拐点.,3)(23xxy.6)3(2xxy 3xy 当x0时，,为凹的.3xy 0 y例所给曲线在 内为连续曲线弧.由于),(解xyo3xy 所以，原点(0,0)为 与 的拐点.3xy 3xy.0 .92,313532处不存在在 xyx
6、yxy当x0时，,曲线 为凹的.0 y3xy 由此可以看到曲线的拐点可能在二阶导数为零的点以及不可导处取得.(1)在f(x)所定义的区间内,求出二阶导数 等于零的点.)(xf (2)求出二阶导数 不存在的点.)(xf 判断连续曲线弧拐点的步骤：(3)判定上述点两侧 是否异号.如果 两侧异号则为曲线弧的y=f(x)的拐点.如果 两侧同号，则非曲线弧y=f(x)的拐点.)(xf )(xf )(xf 凹+拐点凸拐点凹y00+2(1,2)1x),2(y )1,(,2418423xxxy),2)(1(12 xxy讨论 的凹凸性与拐点.10126234xxxy例函数),(10126234在xxxy内连续.解.2,10),(xxyy，得内连续，令在可知曲线在 内为凹的.在(1,2)为凸的.拐点为点(1,3)与点(2,6).),2()1,(与,32353132xxy.)51(91092910343431 xxxxy.5/10 xy，可得令讨论曲线 的凹凸性,并求其拐点.32)1(xxy例所给函数),(在内为连续函数.解.,0不存在时当yx 凹+非拐点凹拐点凸y不存在+0),0(y)5/1,(5/1)0,5/1(x0曲线在 为凸的.)5/1,(在 内为凹的.),5/1().252.1,5/1()5/1(,5/1(31f拐点为点
