1、一、分部积分公式一、分部积分公式二、分部积分法举例二、分部积分法举例第三节第三节 分部积分法分部积分法第三节第三节 分部积分法分部积分法 对于乘积函数的导数，有乘积求导法则相应地,在积分法中也有与乘积求导法则相对应的分部积分法，分部积分法也是一种重要的积分方法 由函数乘积的微分公式，)(d)d()d(vuuvuv移项得，)d()d()(duvuvvu dduvuvvu对上式两端同时积分，得此式称为分部积分公式.定理 设函数u=u(x)与v=v(x)在区间上有连续导数,有不定积分分部积分公式 dduvuvvu dd xu vuvxuv或 分部积分公式，它可以将求 的积分问题转化为求 的积分,当后
2、面这个积分较容易求时，分部积分公式就起到了化难为易的作用 d xuvxvud 分部积分法应用的基本过程 d )()(xxvxu d)()()()(xx vxuxvxu凑微分用公式 )(d)(xvxu 使用分部积分公式关键在于恰当的选择 和u.和u 的选择要体现化难为易的原则.vdvd例 求积分.dsinxxxxvxuxxvxucosdddsind，则，令解)d coscos(dcos dsinxxxxxxxxx.sincosCxxxxxxxd coscos2dcosdddsin xvxxuxxvxu，则，若令)d cossin(21dsin21 dsin222xxxxxxxxxx显然，积分 比
3、原积分复杂.xxxd cos2说明：使用分部积分公式的关键在于恰当的选择 和u.选择时要考虑转换后的积分简单易求.vd例 求积分.dtanarcxxx解 ddarctan，令xxvxuxxxxxxxxxxd112arctan21 2darctan darctan2222 d)111(21arctan2122xxxx.arctan 21 2arctan21 2Cxxxx熟练之后可以不再写出u 和 直接应用分部积分公式.vd.de2xxx例 求积分解)(2)d(222xxxxxxexeexxexeex dedede 222xxexxxxxxxx(继续使用分部积分公式)例 求积分解.dsinarcx
4、x)arcsin(darcsindarcsinxxxxxxxxxxxd1arcsin2.1arcsin2Cxxx.dcosexxx例 求积分 )e(dcos dcose xxxxx解xxxxxdsinecose)e(dsincose xxxxxxxxxxxdcosesinecose,dcosesinecosedcose xxxxxxxxxx这样便出现了循环公式,sinecosedcose2 1Cxxxxxxx移项得).2()sin(cos2edcose1CCCxxxxxxCxxxxxx)cos(sin2edsine 类似地，有积分类型函数u微分dv注：积分中的函数 也可以换成多项式 dcosd
5、sinde，xkxxxkxxxxnnkxnnxu xvkxded xkxvdsind xkxvdcosd xxxxxxxxxnnndarcsindarctan,dlnxulnxuarctanxuarcsinnxv dxbxxbxaxaxdcosedsineaxuexbxvdsind xbxvdcosd)(xPnnx 积分方法总结：恰当的选用积分法是积分计算的关键，对于积分法的掌握在于：（1）注意各种方法解决问题的特征与使用过程；（2）要注意不定积分积分法与定积分积分法的区别（3）要注意换元法和分部积分法多种方法的结合;（4）要注意选择简单的求解方法.对于有些积分，即使形式比较简单但是其积分很难
6、用积分法求得，如 这些积分的原函函数不能用初等函数来表示。2sined,d,xxxxx例 求积分,dcos)1(xx，有，则令ttxtxtxd2d2解（1）dsint 2t dcos2dcostttxxCtttcos2sin2 dtsin2sin2tttCxxxcos2 sin2 .de)2(1xx，有，则令ttxtxtxd2d112(2)CxCttttttxxxttttttx111ee12ee2dee2ed2d2ede例.d1arctan2xxxx求积分解法一于是有，令,dsecd,tanarctan2ttxtxtxtttttxxxxdsectan1tand1arctan222ttttdsectan)d(secttttttdsecsecCtttt|tansec|lnsec.|1|lntanarc122Cxxxx解法二221darctand1arctanxxxxxxxxxxxd111arctan1222xxxxd11arctan122.|1|lntanarc 122Cxxxxxxxxdarctan1arctan122
