1、第六节第六节 无穷小的比较无穷小的比较一、无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小的性质二、等价无穷小的性质第六节第六节 无穷小的比较无穷小的比较 一、无穷小的比较两个无穷小的和、差、积都是无穷小.但两个无穷小的商确会出现不同情况.sin,2,32都是无穷小时即当xxxxxx,0sinlim,0lim ,02lim ,0lim ,0lim0300200 xxxxxxxxxx例这些情形表明,同为无穷小,但它们趋于0的速度有快有慢.为了比较不同的无穷小趋于0的速度,引入无穷小量阶的概念.,sin,2;0 322均不是无穷小是无穷小时即xxxxxxxxx,1sinlim ,22lim ,0lim0
2、020 xxxxxxxxx,lim320不存在xxx这些无穷小的商为).0()()()(0且为无穷小时或在，设xxxxx定义 .)(,0lim )3(o记作是是比则称若高阶的无穷小.,1lim )2(记作是与则称若等价无穷小是与则称是常数若),0(lim )1(cc同阶无穷小.,122sinlim21cos1lim2020 xxxxxx cos102xxx 时所以当.)(cos1xox 例022sin2sinlimcos1lim00 xxxxxxx)(cos1 (2);21 cos1)1(0:2xoxxxx 时当证明二、等价无穷小的性质)()()()()(oxxxxXx无穷小的充要条件是是等价
3、与下，在某一极限过程定理证明 因为 即)()(xx1)()(limxxXx由极限与无穷小之间的关系知)()()()()(1)()(1)()(limxxxxxxxxxXx0)(limxXx其中0)()()(limxxxXx)0)()()(xoxx即所以)()()(oxx存在，则有，且无穷小，在同一极限过程下都是及，设lim 无穷小等价代换定理)lim(lim证limlimlim.lim.limlim用此定理求两个无穷小之比的极限时,若极限难求,可用分子、分母各自的等价无穷小来代替,以简化运算.应用无穷小等价代换定理求极限，需要预先知道一些等价无穷小.常用等价无穷小的有：.1)1(,2111,1)
4、(1 ,)1ln(,1earctan,arcsin2cos1 ,tan ,sin,012nxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnx下列无穷小等价时当.2sin3tanlim0 xxx求例，所以，时，当xxxxx22sin33tan0解.2323lim2sin 3tan lim 00 xxxxxx.2tanlim230 xxxxx求例，所以，时，当)2(2tan023xxxxxxx解.212lim2tan lim0230 xxxxxxxx例11)1ln(lim0 xxx求解,)1ln(,0 xxx 时当xx2111所以22lim11)1ln(lim00 xxxxxx例xxexx2arctan)1ln(lim0求解,)1ln(,0 xxxexex 时当xx22arctan所以22lim2arctan)1ln(lim00 xxexxexxxx.sintanlim30 xxxx求，所以，时当2cos1tan,02xxxxx3030)cos1(tan limsin tanlimxxxxxxxx.212lim320 xxxx例)cos1(tan sin tan xxxx解 注意：相乘(除)的无穷小都可用各自的等价无穷小代换,但是相加(减)的无穷小的项不能作等价代换.
