高中数学几何体外接球求法（含经典例题）.docx

1、议 P高中数学几何体外接球求法一、知识梳理：1常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆(1) 长方形 (正方形) 的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；(2) 正三角形的内切圆半径： a 外接圆半径： a(3) 正三角形三心合一，三线合一，心把高分为 2 :1两部分。2球的概念：概念 1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球.定长叫球的半径；概念 2：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球 体，简称球长方体的外接球 正方体的内切球3球的截面：用一平面议 去截一个球 O ，设 OO 是平面议 的垂线段，O 为

2、 垂足，且 OO = d ，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以 r = R2 一 d 2 为半径的一个圆，截面是一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面 截得的圆叫做小圆.OdORr4.空间几何体外接球、内切球的概念：定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面 体，这个球是这个多面体的外接球。定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。5外接球和内切球性质：(1) 内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。(2) 正多

3、面体的内切球和外接球的球心重合。(3) 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。(4) 基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。(5) 体积分割是求内切球半径的通用做法。二、相关公式：球的表面积公式： S = 4几R2 ；球的体积公式： V = 几R3( 1 ) 长 方 体 (或 各 个顶 点 都 落 在 长方 体 顶 点 上 的 几 何 体 ) 的 外 接 球 半 径 公 式：R = ， a, b, c 分别为长方体共顶点的 3 条棱长 2例：三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，SA平面 ABC，ABBC，又 SA=AB= BC=1， 则球 O 的表面积为( )(A

4、)(B)(C) 3(D) 12(2)正棱锥(底面是正多边形，顶点落在底面中心的几何体)的外接球半径公式：R = , ， a 为侧棱长， h 为正棱锥的高例：如图所示，已知四棱锥 P ABCD 的高为 3 ，底面 ABCD 为正方形，PAPBPCPD且 AB ，则四棱锥 PABCD 外接球的半径为 ( )A B 2 C D 3BC(3) 正四面体外接球半径公式： R = a ， 内切球半径： R = a ， a 为棱长例：一个正四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为( )A 3 B 4 C 3 D 6(4) 侧棱垂直于底面的凌锥或棱柱外接球半径公式： R = r 2 +

5、 ()2 ， h 为几何体的高， r 为底面图形外接圆半径例：某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积是 ( )A 41D 57(5) 求外接球一般方法：找球心求半径例：四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，面 PAD面 ABCD ，PAPDAD3 ，AB 4 ，则四棱锥 ABCD 的外接球的表面积为 三、两种特殊情况1、特殊位置例：在矩形 ABCD 中， AB = 4, BC = 3 ，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角B 一 AC 一 D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为 ( )A. B. C. D. 2、对角线构造例

6、、在三棱锥 A 一 BCD 中， AB = CD = 2 ， AD = BC = ， AC = BD = ，则三棱 锥 A 一 BCD 外接球的表面积是_练习1、三棱锥 A BCD 中，积为 ，ACBD2，则该几何体外接球的表面2、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6cm2 ，4cm2 和 3cm2 ，那么它的外接 球的体积为_3 、在平行四边形 ABCD 中， ABD90 ，且 AB 1 ，BD ，若将其沿 BD 折起使平 面 ABD平面 BCD ，则三棱锥 A BDC 的外接球的表面积为 4、若三棱锥 S 一 ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA 平面 ABC ，SA

7、 = 2 ，AB = 1， AC = 2 ， 三BAC = 60。，则球 O 的表面积为_5、已知三棱锥 S 一 ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 是球O 的直径，且 SC = 2 ；则此棱锥的体积为 ( )A. B. C. D. 6 、三棱锥 P ABC 的底面 ABC 是等腰三角形， C120 ，侧面 PAB 是等边三角形且与底面 ABC 垂直，AC2 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 CAB7、某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 ( )A 25 BD 408、如图，网格纸上小正方形的边长为 2 ，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为 ( )C D 319、某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为 ( )B 29C 28A 3610、如图，正三棱锥 A 一 BCD 的侧棱长为 2，底面 BCD 的边长为 2 ，E 、F 分别为 BC 、BD 的中点，则三棱锥 A 一 BEF 的外 接球半径 R = _，内切球半径 r = _D 25