高等数学(2版-建工类)导数的几何意义及四则运算-课件.ppt

1、1复习复习1.1.点导数的定义点导数的定义 0 xxy 0d)(dxxxxf 0ddxxxy )(0 xfxxfxxfx )()(lim000hxfhxfh)()(lim000 00)()(lim0 xxxfxfxx xxxfxfx )()(lim000 xyx 0lim函数的改变量函数的改变量与与自变量改变量自变量改变量的的比值，比值，特点：特点：当自当自变量的变量的增量增量趋于零时的极限趋于零时的极限.如：如：xfxfx )0()0(lim0要是存在，要是存在，等于等于).0(f？xxfxxfx)()(lim000)(0 xf 22.2.导函数定义导函数定义 )(xfhxfhxfh)()(

2、lim0 xxfxxfx )()(lim03.3.点导数与导函数的关系点导数与导函数的关系0)()(0 xxxfxf 即即 点导数点导数是是导函数导函数在在0 x点处的点处的函数值函数值.Axfxf )()(004.4.Axf )(0主要用来讨论主要用来讨论分段函数分段函数在在分界点分界点的的可导问题可导问题.作用：作用：)(C0 )(x1 x )(sinxxcos )(cosxxsin )(xexe )(xaaaxln )(lnx )(log xaaxln15.5.求导公式求导公式x11)(x21)1(xx xx21 ）（)(R xxfxyyd)(ddd 3四、导数的几何意义四、导数的几何意

3、义1.1.导数导数)(0 xf 的几何意义：的几何意义：是是y=f(x)在点在点)(0 xf)(,(00 xfx处处切线的切线的斜率斜率.即即切线切线斜率斜率xyxfx 00lim)(k tantanlim为为锐锐角角 若切线若切线，MT倾角为倾角为)(tan0 xfk 则则 0 0 0 为为钝钝角角 为为零零度度角角 可导可导一定有切线一定有切线切线不垂直于切线不垂直于x轴轴.T0 xx)(xfy CMNoxy).,(),(00yxNyxM设设42.2.可导的几何意义：可导的几何意义：y=f(x)在在x0处可导处可导,即曲线即曲线 y=f(x)在在(x0,f(x0)存在存在不垂直于不垂直于x

4、轴的切线轴的切线.答案：答案：不一定不一定.如：如：3.3.应用应用).)(000 xxxfyy 切线方程切线方程法线方程法线方程).()(1000 xxxfyy 0 x31xy 在在不可导，不可导，但有切线但有切线.xy 0 x在在不可导，不可导，也无切线也无切线问题：问题：如果如果 y=f(x)不可导，是否没有切线呢？不可导，是否没有切线呢？)0)(0 xf54.4.例题例题例例1 1在点在点M(1,1)(1,1)处的切线处的切线方程方程求等边双曲线求等边双曲线1xy 解解 由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为1 xyk1)1(xx121 xx.1 所求所求切线方程切

5、线方程为为法线方程法线方程为为),1(11 xy),1(12 xy.02 yx即即.0 yx即即和法线方程和法线方程.6，）（xxy2323 例例2 2问曲线问曲线13 xy23xy 上哪一点处的切线与直线上哪一点处的切线与直线平行？平行？解解 已知直线已知直线，3 k13 xy的斜率的斜率根据两条直线平行的条件，根据两条直线平行的条件，所求切线的斜率也等于所求切线的斜率也等于3.由导数的几何意义知，由导数的几何意义知，23xy 的导数的导数由题意得：由题意得：323 x则得：则得：4 x于是于是8423 y曲线曲线13 xy23xy 上点上点平行平行.处的切线与直线处的切线与直线），（847

6、五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理：凡可导函数都是连续函数定理：凡可导函数都是连续函数.证证,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf)(lim00 xfxyx ，)(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0.)(0连连续续在在点点函函数数xxf)0(0 x 注意注意:即：即：不连续一定不可导不连续一定不可导.该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.但逆否命题成立但逆否命题成立.即：即：连续不一定可导连续不一定可导.如：如：,xy 31xy 0 x在在处处连续连续而不可导而不可导.8在在)(xfy 0 x处可导处可导在在)(xfy 0 x处连续，处连

7、续，在在)(xfy 0 x处的极限一定存在，处的极限一定存在，即即)(lim0 xfxx存在存在.可导与连续的关系是：可导与连续的关系是：可导必连续，可导必连续，连续不一定可导，连续不一定可导，必不可导必不可导.不连续不连续9例例3 3,0,00,1sin)(xxxxxf讨讨论论函函数数解解,1sin是是有有界界函函数数x01sinlim0 xxx.0)(处处连连续续在在 xxf处处有有但但在在0 x xyx 1sin.11,0之之间间振振荡荡而而极极限限不不存存在在和和在在时时当当 xyx，0)(lim)0(0 xffx在在x=0的连续性与可导性的连续性与可导性.0 x)(xf在在处不可导处

8、不可导.xxx 001sin)0(10非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动:位移对时间的导数为物体的瞬时速度位移对时间的导数为物体的瞬时速度.ddlim)(0tststvt 交流电路交流电路:电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.ddlim)(0tqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导数为的导数为物体的线物体的线(面面,体体)密度密度.111.1.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;2.2.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;3.3.求导数最基

9、本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.4.4.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.小结小结不连续一定不可导不连续一定不可导.应用在求切线，法线方程等应用在求切线，法线方程等.12 xxuxxux )()(lim0 xxvxuxxvxxu )()()()(0lim x )(xf)()()(xvxuxf 设函数设函数)(xv)(xu及及都在点都在点x处可导，处可导，且其且其则则 )()()(xvxuxf x处可导，处可导，也在也在证证 xxvxxvx )()(lim0)()(xvxu

10、 )()()()(xvxuxvxu 即：即：其中其中 、为常数为常数.2-4 2-4 求导法则求导法则13 )()(xucxcu 若若，1 则则 )()()()(xvxuxvxu 若若，11 则则 )()()()(xvxuxvxu 若若,0c ，则则，lnsin xxxy例例1 1 已知已知求求y 解解 y.cos211xx )()()()(xvxuxvxu lnsin xxx)(ln)(sin)()(xxx14例例2 2，735223 xxxy已知已知求求.y 解解nnnnaxaxaxaxf 1110)(例例3 3已知已知)0(0 a求求)(xf 解解 )(xf)(1110 nnnnaxax

11、axa)()()()(1110 nnnnaxaxaxa12110)1(nnnaxnanxa表明：表明：n次多项式的导数是次多项式的导数是1 n次多项式次多项式.)7352(23 xxxy)7()(3)(5)(223 xxx 232 x.31062 xx x25 3 015)()()()(2211xuxuxuxfnn )()()()(2211xuxuxuxfnn 且其导数为且其导数为则有则有 x处可导，处可导，在在n ,21为常数，为常数，也可简写为也可简写为 )(2211nnuuu nnuuu 2211证明证明 （略）（略）定理定理2 2设函数设函数x)(,),()(21xuxuxun，都在点

12、都在点处可导，处可导，16定理定理3 3 )()()(xvxuxf处可导，处可导，且其且其导数导数为为设函数设函数x)(xvy)(xuy 及及都在点都在点则则)()()(xvxuxf x处可导，处可导，也在也在证证)()()()(xvxuxxvxxuy )()()()(xvxxuxxvxxu )()()(xvxxvxxuuxvvxxu )()()()()()(xvxuxvxu )()()()(xvxuxvxxu )()()(xuxxuxv 17),()(lim0 xuxxux )()()()()()(xvxuxvxuxvxu vuvuuv )()()(limlim00 xvxuxxuxvxyx

13、x ),(lim0 xvxvx 由已知知，由已知知，)(),(xvxux 在点在点可导，可导，必在点必在点x连续连续.所以所以)(lim0 xuxux )()(lim0 xvxvx uxvvxxuy )()(18例例4 4xxf2sin)(求求的导数的导数y 解解 y)2(sin x)cossin2(xx)cos(sin2 xx)(cossin2cossin2 xxxx）（)sincos222xx （x2cos2 wuvwvuvwuuvw )(推广：推广：19定理定理4 4且其导数为且其导数为)()()(xvxuxf 则则x处可导，处可导，在在，0)(xv )()()(xvxuxf也可简写为也

14、可简写为2)(vvuvuvu 2)()()()()(xvxvxuxvxu 特殊地：特殊地：若若u=1,2)1(vvv (其中其中 )0 v且且设函数设函数x)(xv)(xu及及都在点都在点处可导，处可导，20.tan 的的导导数数求求xy )cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 xx2sec)(tan xx2csc)(cot 同理可得同理可得例例5 5解解即即21.sec的的导导数数求求xy )cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin.cot

15、csc)(cscxxx 同理可得同理可得即即xxxtansec)(sec 例例6 6解解如：如：)(Nnxyn 是否有是否有1 nnxy呢？呢？证证)1(nnxxy)nnxnx21 1 nnx说明：说明：1)(xx对于负整数也是成立的对于负整数也是成立的.22二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则定理定理,0)(y 且且内也单调、连续且可导，内也单调、连续且可导，.)(1)(yxf 有有)(yx 如果函数如果函数在某区间在某区间I 内单调、可导，内单调、可导，y)(xfy 那么它的反函数那么它的反函数在对应区间在对应区间I x证证,0 y于是有于是有,1yxxy ),0(0 xyxyxfx

16、0lim)(yxy 1lim0)(1y ,xIx 任取任取x给给一个增量一个增量，x),0(xIxxx 且且)(xfy 由由的单调性可知，的单调性可知，)(xf连续，连续，0)(y 又知又知.)(1)(yxf 即即即即 反函数的导数反函数的导数等于等于直接函数导数直接函数导数的的倒数倒数.23解解内有内有在在)1,1(xIycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc例例1 1求函数求函数xyarcsin 的导数的导数.yxsin)2,2(yI在在内单调可导内单调可导.,0c

17、os)(sin yy且且)(sin1 y.11)(arcsin2xx 24小结小结.)()()()(xvxuxvxu 注意注意2:求导法则的成立是有条件的求导法则的成立是有条件的.注意注意3:注意注意1:);()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时，求导时，分界点处的导数分界点处的导数用用左右导数求左右导数求.vuvuuv )(2)(vvuvuvu 注意到：注意到：xx2sec)(tan xx2csc)(cot xxxtansec)(sec .cotcsc)(cscxxx .)(1)(yxf 注意注意4:反函数的求导法则反函数的求导法则25思考题思考题求曲线求曲线 上与上与 轴平行的切线方程轴平行的切线方程.32xxy x思考题解答思考题解答，232xy 令令0 y，0322 x，321 x322 x切点为切点为，964,32 964,32所求切线方程为：所求切线方程为：964 y964 y和和