高等数学(第四版)-上、下册-二重积分的计算法-课件.ppt

1、设 函 数设 函 数(,)zf x y在 有 界 闭 区 域在 有 界 闭 区 域 D 上 连 续 且上 连 续 且(,)0f x y，并设积分区域，并设积分区域 D 可用不等式可用不等式 12()(),xyx axb 来表示来表示(93)图，其中函数，其中函数21(),()xx区间区间,a b上连续，这上连续，这样的区域称为样的区域称为 X-型区域，其特点是：穿过内部型区域，其特点是：穿过内部 D 且平行且平行 y轴的直线与轴的直线与 D 的边界相交不多于两点的边界相交不多于两点.在在实实际际应应用用中中，直直接接通通过过二二重重积积分分的的定定义义与与性性质质来来计计算算二二重重积积分分一

2、一般般是是困困难难的的.下下面面，我我们们从从计计算算曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积出出发发来来给给出出二二重重积积分分的的计计算算方方法法.这这种种方方法法是是把把二二重重积积分分化化为为二二次次积积分分来来计计算算.(a)1()yx 2()yx a b x y O D(b)2()yx 1()yx a b y O D x 图图 9-39-3x b z (,)z f xy 0 x 2()yx 1()yx O a y 图图 94先求截面面积先求截面面积()S x，为此，在区间，为此，在区间,a b上任意选定一点上任意选定一点0 x，过这点作垂直于，过这点作垂直于 x 轴的平面轴的平面0 xx.此平

3、面截曲顶柱体所此平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间得截面是一个以区间1020(),()xx为底，以曲线为底，以曲线0(,)zf xy为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形(图9-4).由定积分的几何意义知其面积由定积分的几何意义知其面积2010()00()()(,)dxxS xf xyy，对于区间，对于区间,a b上的任何点上的任何点 x，对应，对应的截面面积为的截面面积为 21()()()(,)dxxS xf x yy 于是得曲顶柱体的体积于是得曲顶柱体的体积 V 为为 21()()()d(,)ddbbxaaxVS xxf x yyx 从从而而有有21()()(,)d(,)ddbxaxDf x y

4、f x yyx (1)或或写写成成21()()(,)dd(,)dbxaxDf x yxf x yy (1)这这个个公公式式表表明明，二二重重积积分分可可以以化化为为先先对对 y，后后对对 x 的的二二次次积积分分来来计计算算.先先对对 y 积积分分时时，应应把把(,)f x y中中的的 x 看看作作常常数数，只只看看作作 y 的的函函数数，计计算算从从1()x到到2()x的的定定积积分分.然然后后把把算算得得的的结结果果（不不含含 y 是是 x 的的函函数数）再再对对 x 计计算算从从 a 到到 b的的定定积积分分.1()xy 2()xy D O c d y x(a)2()xy 1()xy x

5、 y O c d D(b)图图 9-5 在在推推导导中中，借借助助几几何何直直观观，设设(,)0f x y，事事实实上上，这这个个公公式式的的成成立立并并不不受受此此条条件件限限制制.类类似似地地，如如果果积积分分区区域域 D可可用用不不等等式式 12()(),yxy cyd 表表示示（图9-5），其其中中12(),()yy在在区区间间,c d上上连连续续，这这样样的的区区域域称称为为 Y-型型区区域域，其其特特点点是是：穿穿过过 D 内内部部且且平平行行 x 轴轴的的直直线线与与 D 的的边边界界相相交交不不多多于于两两点点，则则有有 2121()()()()(,)d(,)d dd(,)dD

6、dycydycyf x yf x yx yyf x yx (2)公公式式(2)是是把把二二重重积积分分化化为为先先对对 x，后后对对 y 的的二二重重积积分分来来计计算算.2211()()()()d(,)dd(,)dbxdyaxcyxf x yyyf x yx (3)公公式式(3)常常用用来来交交换换二二重重积积分分的的积积分分次次序序.O a d c b y D 图图 9-6 x A B O a b y D 图图 9-7 1D 2D 3D x y 图图98例例 1 1 计计算算2d dDxyx y，其其中中 D 是是由由直直线线0,1,xx1y 和和2y 所所围围成成的的闭闭区区域域.解解

7、方法一方法一 首先画出积分区域首先画出积分区域 D(99)图图.D是矩形区是矩形区域，化成二次积分时，积分的上下限均为常数域，化成二次积分时，积分的上下限均为常数.若先对若先对 y积积分，把分，把x暂定为常数，暂定为常数，y的变化范围由的变化范围由 1 到到 2，然后再对，然后再对 x从从0 到到 1 积分，于是得积分，于是得 231211220100177d ddddd336Dyxyx yxxyyxxx x 方法二方法二 如图如图99，若先对，若先对 x积积分，后对分，后对y积分，则得积分，则得 212210d dddDxyx yyxyx122210d2xyy 2211d2yy231123y

8、76 yD21Ox图 99例例 2 2 计计算算二二重重积积分分223dDx y，其其中中 D 是是由由 x 轴轴，y轴轴和和抛抛物物线线21yx 所所围围成成的的在在第第一一象象限限内内的的闭闭区区域域.1Oyxx121yx y=011Ox=01xyxy(a)(b)图图 910解解 画出积分区域画出积分区域 D(9 10)图 D既是既是X 型，又是型，又是Y 型区域，若用公式型区域，若用公式(1)，有，有 2211222200111232230003dd3d16d(1)d315xDxx yxx yyxyxxxx 若用公式若用公式(2)，有，有 111122222300003dd3ddyyDx

9、 yyx yxyxy 31220(1)dyyy 这个积分计算比较麻烦，说明此利用公式这个积分计算比较麻烦，说明此利用公式(1)比用公式比用公式(2)计算较为方便计算较为方便.例例3 3 计算二重积分计算二重积分dDxy，其中，其中D是由抛物线是由抛物线 2yx及直线及直线2yx所围成的闭区域所围成的闭区域.解解 画 出 区 域画 出 区 域D(9 11)图.先求交点，先求交点，解 方 程 组解 方 程 组2,2,yxyx 得得交点坐标为交点坐标为(1,1)及及(4,2)D既是既是X 型，又型，又是是Y 型区域型区域.图图 9-11D(4,2)(1,-1)xy2yO-12xy2xy若按若按Y 型

10、区域计算，用公式型区域计算，用公式(2)，有，有 222221212251dddd21(2)d2yyyyDyxxyyxy xyyyyyy 2463211422436yyyy 558 x4x图图 9-12(4,2)(1,-1)y1O2yx2D1Dyxyx x其其中中 1(,),01Dx yxyxx 2(,)2,14Dx y xyxx 利利用用二二重重积积分分的的性性质质 3，就就有有 12140122214012ddddddddd22xxxxDDDxxxxxyxyxyxxy yxxy yyyxxxx 241(2)50d5228xxxx 由由此此可可见见，这这里里用用公公式式(1)来来计计算算比比

11、较较麻麻烦烦.从从例例 2，例例 3 可可见见，积积分分次次序序选选择择不不同同，二二重重积积分分计计算算的的难难易易程程度度也也不不同同，如如何何选选择择积积分分次次序序呢呢，除除与与积积分分区区域域形形状状有有关关，还还与与被被积积分分函函数数的的特特性性有有关关.解解 画 出 积 分 区 域画 出 积 分 区 域D(9 13)图 若用公式若用公式(1)，就要，就要先计算定积分先计算定积分sindxxyyy，由于，由于sin yy的的原函数不是初等函数，原函数不是初等函数，因而积分因而积分sindxxyyy无无法用牛顿法用牛顿莱布尼茨公莱布尼茨公式算出式算出.DyOx图图 9-132yxy

12、x2112001100sinsinsind ddd()d(1)sin d(1)d(cos)yyDyyyx yyxyyyyyyyy yyy 1100(1)coscos dyyy y 1 sin1.此此例例表表明明，选选择择怎怎样样的的二二次次积积分分次次序序有有时时直直接接关关系系到到能能否否算算得得二二重重积积分分的的结结果果.若若按按Y 型型区区域域，用用公公式式(2),则则有有 例例 5 5 交交换换二二次次积积分分1220010d(,)dd(,)dxxxf x yyxf x yy的的积积分分次次序序.解解 这 个积 分可以看作区域这 个积 分可以看作区域12DDD上的一个二重积分，其中上

13、的一个二重积分，其中1D由直线由直线0,1yyx x所围成，所围成，2D由 直 线由 直 线0,2,1yyx x所 围 成所 围 成(9 14)图现将它化成先对现将它化成先对x后对后对y的二的二次积分，此时次积分，此时:01,2Dyyxy，于是有于是有 21(1,1)yxO图图 9-141D2D1221200100d(,)dd(,)dd(,)dxxyyxf x yyxf x yxyf x yx例例 6 6 通过交换积分次序计算二次积分通过交换积分次序计算二次积分2110dedyxxy.图图 9-152121DyxO(1,1)于于是是2222111100001100deddeded111e(1)

14、22eyyyyxyxyyxyy 内容小结内容小结1利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分作业作业P84 2(2),(4),3(1),(3),4(1),(3)(2)交换积分次序交换积分次序(1)二重积分化为二次积分的方法二重积分化为二次积分的方法（X-型区域、型区域、Y-型区域）型区域）在在具具体体计计算算二二重重积积分分时时，根根据据被被积积函函数数的的特特点点和和积积分分区区域域的的形形状状，选选择择适适当当的的坐坐标标，会会使使计计算算变变得得简简单单.下下面面介介绍绍利利用用极极坐坐标标计计算算二二重重积积分分的的方方法法.用用极极坐坐标标计计算算二二重重积积分分时时，积积分分

15、区区域域 D 及及被被积积函函数数(,)f x y都都应应不不难难用用极极坐坐标标表表示示，而而面面积积元元素素怎怎样样用用极极坐坐标标表表示示呢呢？按按二二重重积积分分的的定定义义 01(,)dlim(,)niiiiDf x yf 可可知知，01lim(,)niiiif 的的值值与与i的的分分法法无无关关，与与点点(,)ii 的的取取法法无无关关.*从从而而在在直直角角坐坐标标系系下下，我我们们选选择择了了i的的一一种种特特殊殊分分法法，取取分分别别平平行行于于x轴轴及及y轴轴的的两两族族直直线线，即即x 常常数数，y 常常数数，把把区区域域D分分成成 n 个个小小区区域域i，设设长长为为i

16、x，宽宽为为ky，则则iiixy ，从从而而面面积积dd dx y.在极坐标下，假设从极点在极坐标下，假设从极点 O 出发穿过积分区域出发穿过积分区域 D 内内部的射线与部的射线与 D 的边界曲线相交不多于两点的边界曲线相交不多于两点.我们用极坐标我们用极坐标系中的曲线网系中的曲线网r 常数（是以极点为中心的一族同心圆）常数（是以极点为中心的一族同心圆）和和 常数（是自极点出发的一族射线），将区域常数（是自极点出发的一族射线），将区域 D 分成分成n 个小闭区域（图个小闭区域（图 916）.xOddrdr图图 9-16这 些 小 闭 区 域 的 面 积这 些 小 闭 区 域 的 面 积(1,2

17、,)iin当作是两个圆扇形的当作是两个圆扇形的面积之差，除了包含边界点的一些小面积之差，除了包含边界点的一些小闭区域外（当取极限时，这一些小闭闭区域外（当取极限时，这一些小闭区域对应项的和的极区域对应项的和的极限限趋于零，因此趋于零，因此这些小区域可以忽略不这些小区域可以忽略不计计）.于是得于是得 2211()22iiiiiirrr 21()2iiiiiiiir rrr r （略去高阶无穷小（略去高阶无穷小21()2iir），），于是就得到极坐标下的面积元素于是就得到极坐标下的面积元素dd dr r.对直角坐标系下的二重积分对直角坐标系下的二重积分(,)dDf x y，可用下面的，可用下面的方

18、法将它变换成极坐标下的二重积分：方法将它变换成极坐标下的二重积分：（1）通过变换通过变换cos,sinxryr，将被积函数，将被积函数(,)f x y化为化为,r的函数，即的函数，即(,)(cos,sin)(,)f x yf rrF r；（2）将积分区域将积分区域 D 的边界曲线用极坐标方程的边界曲线用极坐标方程()rr来表示；来表示；（3）将面积元素将面积元素d表示成极坐标下的面积元素表示成极坐标下的面积元素d dr r.于是就得到二重积分的极坐标表示式于是就得到二重积分的极坐标表示式(,)d(cos,sin)d dDDf x yf rrr r.（4）这时区域这时区域D在两条射线在两条射线,

19、之间，这两条射线和之间，这两条射线和D的边界的交点把区域边界分为两部分：的边界的交点把区域边界分为两部分：12(),()rrrr.此时此时积分区域积分区域D可以用不等式可以用不等式 12()(),rrr 来表示来表示.在区间在区间,上任意取一个上任意取一个 值，对应这个值，对应这个 值作射线值作射线 利用极坐标计算二重积利用极坐标计算二重积分，同样是把二重积分化为分，同样是把二重积分化为二次积分，这里我们只介绍二次积分，这里我们只介绍先先r后后的积分次序的积分次序.如何确如何确定两次积分的上下限，要根定两次积分的上下限，要根据极点与区域据极点与区域D的位置而定，的位置而定，现分三种情形加以讨论

20、：现分三种情形加以讨论：（1）极点在区域极点在区域 D 的的外面（图外面（图 917）x 2()rr 1()rr B D A 图 9-17(2)极点在区域极点在区域 D 的的边界上边界上(图图 9-18)设积分区域设积分区域 D 可以用可以用不等式不等式 0(),rr 来表示来表示.这可看成（这可看成（1）当）当12()0,()()rrr的 特的 特例，故有例，故有 xOD图图918OAB.A 是是穿穿入入 D 的的点点,B 是是穿穿出出 D 的的点点,故故极极径径 r 从从 1()r变变到到2()r.将将计计算算的的结结果果（是是的的函函数数）再再在在区区间间,上上的的积积分分,即即 21(

21、)()(cos,sin)d dd(cos,sin)drrDf rrr rf rrr r（5）（3）极点在区域极点在区域D的内部（图的内部（图 9-19）设积分区域设积分区域 D 可可以用不等式以用不等式 0(),02rr 来表示来表示.这可看成这可看成(2)当当0,2的 特 例的 特 例,故有故有 2r()00(cos,sin)d dd(cos,sin)dDf rrr rf rrr r.(7)Ox图9-19特特别别地地，当当(cos,sin)1f rr时时，二二重重积积分分的的值值等等于于区区域域 D 的的面面积积，即即 d dDr r21()()ddrrr r22211()()d2rr.当当

22、12()0,()()rrr时时，21()d2r，这这就就是是在在定定积积分分应应用用中中极极坐坐标标情情形形下下的的曲曲边边扇扇形形的的面面积积公公式式.通通常常当当积积分分区区域域的的边边界界由由圆圆弧弧、射射线线组组成成且且被被积积函函数数含含有有22,yxyx等等形形式式时时，用用极极坐坐标标计计算算较较为为简简单单.例例 7 7 求求222dDIaxy,其其中中 D 是是圆圆域域22xyax.解解 因积分区域因积分区域 D 是圆域是圆域22xyax（图（图 9-20）.它的边它的边界曲线方程是界曲线方程是cosra.当当 固定时，固定时，r从从0到到cosa，而，而 的变化范围是区间的

23、变化范围是区间,2 2 y x a O cosra r 图图 9-20 于于是是得得 22cos22202d dddDaIar r rar r r cos32222203320331()d32(1 sin)d322()(34)3239aaraaa 例例 8 8 计算计算22ed dxyDx y，其中，其中D是由圆是由圆222xya所围所围成的闭区域成的闭区域.解解 因积分区域是圆域因积分区域是圆域（图（图 9-21），它的边界曲线），它的边界曲线的极坐标方程为的极坐标方程为ra.由变由变换公式（换公式（4）及计算公式（）及计算公式（7）得得 2222200ed ded ddedaxyrrDDx yr rr r2222200011ed(1 e)d(1 e)22araayaxO图图9-21内容小结内容小结2作业作业P87 2,3,4,5(2)*利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分