高等数学(3年专科)第一节-函数-课件.ppt

1、第一节函数第一节函数一、函数的概念一、函数的概念三、分段函数三、分段函数四、反函数四、反函数五、初等函数五、初等函数六、函数的基本性态六、函数的基本性态七、建立函数关系举例七、建立函数关系举例二、函数的表示法二、函数的表示法第一章函数极限连续第一章函数极限连续八、备用知识八、备用知识一、函数的概念一、函数的概念定义定义设设 D 为一个非空实数集合为一个非空实数集合，若存在确定若存在确定的的对应规则对应规则 f，使得对于数集使得对于数集 D 中的任意一个数中的任意一个数 x,按照按照 f 都有都有唯一确定的唯一确定的实数实数 y 与之对应与之对应，则称则称 f 是是定义在集合定义在集合 D 上的

2、函数上的函数.D:f 的定义域的定义域x:自变量自变量y:因变量因变量如果对于自变量如果对于自变量 x 的某个确定的值的某个确定的值 x0，因，因变量变量 y 能够得到一个确定的值，那么就称函数能够得到一个确定的值，那么就称函数 f 在在 x0 处有定义，其因变量的值或函数处有定义，其因变量的值或函数 f 的的函数值记为函数值记为)()(,000 xfxfyxxxx或或 实数集合实数集合 DxxfyyB ),(称为函数称为函数 f 的的值域值域.(其中其中 为大于为大于 0 的常的常数数)的一切的一切 x，称为点称为点 x0 的的 邻域，记作邻域，记作 U(x0,).0 xx满足不等式满足不等

3、式对于不等式对于不等式 0|x x0|称为点称为点 x0 的的 的空心邻域，记作的空心邻域，记作 U(,).如图如图 (b)所示所示.0 x它的几何意义是：以它的几何意义是：以 x0 为中心，为中心，为半径的为半径的开区间开区间(x0 ,x0+)，即，即 x0 x x0+，如图如图 (a)所示所示 .(a)Ox0 x0+x0 x(b)Oxx0 x0+x0确定函数确定函数显然，其定义域是满足不等式显然，其定义域是满足不等式的的 x 值的集合值的集合,解此不等式解此不等式,则得其定义域为则得其定义域为:也可以用集合形式表示也可以用集合形式表示为为解解例例 1.321)(2的的定定义义域域 xxxf

4、0322 xx),3()1,(:,13+即即或或 xx .),3()1,(|+xxD的定义域的定义域.解解该函数的定义域应为满足不等式组该函数的定义域应为满足不等式组解此不等式组，得其定义域解此不等式组，得其定义域也可以用集合形式表示为也可以用集合形式表示为.3,2(|xxD的的 x 值的全体，值的全体，确定函数确定函数例例 2)2lg(23)(2+xxxxf +02,0232xxx.3,2(32，即即x 解解3213)1(2)1()1(33+aaaaaf，323123aaa+，323)(2)()(262322+tttttf ，232)32()(+bbbf.321)(13+cccf3121)1

5、(3+f .0)(,0)(1,)(,)(22)其其中中(cfacfbftf例例 3 设函数设函数 f(x)=x3-2x+3，求，求，)1(),1(aff,2 二、函数的表示法二、函数的表示法函数的表示法通常有三种：公式法、表格法函数的表示法通常有三种：公式法、表格法和图示法和图示法.1.以数学式子表示函数的方法叫做函数的公以数学式子表示函数的方法叫做函数的公式表示法，公式法的优点是便于理论推导和计算式表示法，公式法的优点是便于理论推导和计算.2.以表格形式表示函数的方法叫做函数的表以表格形式表示函数的方法叫做函数的表格表示法，它是将自变量的值与对应的函数值列格表示法，它是将自变量的值与对应的函

6、数值列为表格，表格法的优点是所求的函数值容易查得为表格，表格法的优点是所求的函数值容易查得.3.以图形表示函数的方法叫做函数的图示法，以图形表示函数的方法叫做函数的图示法，图示法的优点是直观形象，且可看到函数的变化图示法的优点是直观形象，且可看到函数的变化趋势趋势.三、分段函数三、分段函数例例 4 旅客乘坐火车可免费携带不超旅客乘坐火车可免费携带不超 20 kg 的的物品，超过物品，超过 20 kg 而不超过而不超过 50 kg 的部分每的部分每 kg 交交费费 a 元，超过元，超过 50 kg 部分每部分每 kg 交费交费 b 元元.求运费求运费与携带物品重量的函数关系与携带物品重量的函数关

7、系.有些函数虽然也是以数学式子表示，但是它有些函数虽然也是以数学式子表示，但是它们在定义域的不同范围具有不同的表达式们在定义域的不同范围具有不同的表达式.这样的这样的函数叫做函数叫做分段函数分段函数.情况二情况二：重量大于：重量大于 20 kg，但不超过，但不超过 50 kg，这时，这时.50,20(,)20(xaxy情况三情况三：重量超过：重量超过 50 kg，这时，这时.50 ,)50()2050(+xbxay情况一情况一：重量不超过：重量不超过 20 kg，这时，这时.20,0 ,0 xy解解设物品重量为设物品重量为 x kg，应交运费为，应交运费为 y 元元.由由题意可知这时应考虑三种

8、情况：题意可知这时应考虑三种情况：因此，所求的函数是一个分段函数因此，所求的函数是一个分段函数 +.50,)50()2050(,50,20()20(,20,0 0 xxbaxxaxy，例例 5 设设 .0,1,0,0,0,1)(xxxxf ).2()0()2(fff和和，求求解解 02），），（因为因为+1,2)(f所所以以1.2)(0,0)(ff同同样样可可得得.计计算算再再按按相相应应的的式式子子进进行行变变量量取取值值的的所所在在范范围围，时时，应应先先确确定定自自在在求求分分段段函函数数的的函函数数值值注意注意.31101,sgn5所示所示形如图形如图，它的图，它的图，值域为值域为），

9、），定义域为（定义域为（其其符号函数，记为符号函数，记为给出的函数称为给出的函数称为例例 +xyxO图图1-31-3 +,0,1,0,1)(22xxxxxxxf例如，函数例如，函数可以记为可以记为.sgn1)(2xxxxf+例例 6 函数函数 .2 ,(上上的的一一个个分分段段函函数数为为定定义义在在 ,20,1,0),cos()(2xxxxf;)cos(,0 ,(2计算计算其函数值均以其函数值均以对于任何一个对于任何一个xx.1,2 ,0(其其函函数数值值均均为为对对于于任任何何一一个个 x例例 7 语句语句“变量变量 y 是不超过是不超过 x 的最大整数部的最大整数部分分”表示了一个分段函

10、数，常称为表示了一个分段函数，常称为“取整函取整函数数”，.,32,2,21,1,10,0,01,1,12,2,xxxxxx因此其数学表达式为因此其数学表达式为为整数为整数其中其中则则即若即若记为记为.,1.nnxnxnxy+-3-2 -1 1 2 3-3-2 -1 1 2 3yxO图图1-41-4.值值域域为为一一切切整整数数），定定义义域域（+四、反函数四、反函数设设 y=f(x)为定义在为定义在 D 上的函数，其值域为上的函数，其值域为 A.若对于数集若对于数集 A 中的每个数中的每个数 y,数集数集 D 中都有唯一的中都有唯一的一个数一个数 x 使使 f(x)=y，这就是说变量这就是说

11、变量 x 是变量是变量 y 的的函数函数.这个函数称为这个函数称为函数函数 y=f(x)的反函数的反函数,其定义域为其定义域为 A.值域为值域为 D.函数函数 y=f(x)与与 x f-1(y)二者的图形是相同的二者的图形是相同的.记为记为 x =f-1(y).交换交换 x、y 的位置的位置,即得所求的反函数即得所求的反函数 xxy 1log2.)1(loglog 22xxy 或或).1,0(其定义域为其定义域为,1log1222yyxyxx +可可解解得得由由解解.122的的反反函函数数求求函函数数+xxy例例 8.)()(11xxffxxff 和和注意注意.)(loglogxaxaxxaa

12、 和和例如例如1.基本初等函数基本初等函数;1)且且 a);1,0(aa且且三角函数三角函数反三角函数反三角函数 y=arc sinx,y=arc cos x,y=arc tan x,y=arc cot x；五、初等函数五、初等函数等五类函数统称为等五类函数统称为基本初等函数基本初等函数.y=sinx,y=cos x,y=tan x,y=cot x,y=sec x,y=csc x；xyalog,0 aayx(;)(为任意实数为任意实数axya 幂函数幂函数指数函数指数函数对数函数对数函数2.复合函数复合函数若函数若函数 y=F(u),定义域为定义域为 U1,函数函数 u=j j(x)的值的值域

13、为域为 U2,12UU 其其中中则则 y 通过变量通过变量 u 成为成为 x 的函数的函数,这个函数称为由函数这个函数称为由函数 y=F(u)和函数和函数 u=j j(x)构成的构成的复合函数复合函数,)(xFyj j 其中变量其中变量 u 称为中间变量称为中间变量.记为记为.cos 2合合函函数数构构成成的的复复与与试试求求函函数数xuuy 例例 9中中，代代入入将将2cosuyxu 即为所求的复即为所求的复合函数合函数,cos2xy 其定义域为其定义域为(,+).解解得所求的复合得所求的复合函数函数.1 2合函数合函数构成的复构成的复与与试求函数试求函数xuuy 例例 10中，中，代入代入

14、将将uyxu 21,12xy 其定义域为其定义域为 1,1.解解解解 1 例例 11,11)(xxf+设设,sin)(xx j j).(),(xfxfj jj j求求求求 f j j(x)时时,应将应将 f(x)中的中的 x 视为视为j j(x),xxfsin11)(+j j 2),()(,)(xfxxxf视为视为中的中的应将应将时时求求j jj j因此因此.11sin)(xxf+j j因此因此例例 12,)1(2xxf 设设).12(+xf求求解解 方法一方法一 令令 u=x 1,得得 f(u)=(u+1)2,再将再将u=2x+1 代入代入,即得复合函数即得复合函数.)1(41)12()12

15、(22+xxxf方法二方法二 因为因为 f(x 1)=x2=(x 1)+12,于是于是问题转化为问题转化为 求求 y=f(x)=(x+1)2 与与 j j(x)=2x+1 的的复合函数复合函数 f j j(x),因此因此.)1(41)12()12(22+xxxf例例 13)2(sinlog,)53(10 xaxyxy+指出指出是由哪些函数复合而成的是由哪些函数复合而成的.解解.53)53(1010而而成成的的复复合合和和是是由由+xuuyxy)2(sinlogxaxy+.2sin,log,复复合合而而成成的的是是由由xaxvvuuy+3.初等函数初等函数由基本初等函数及常数由基本初等函数及常数

16、 经过有限次四则运算和经过有限次四则运算和有限次复合构成有限次复合构成,并且可以用并且可以用一个数学式子表示的一个数学式子表示的函数函数,叫做初等函数叫做初等函数.例如例如 等等等等,xxxxxxyxxy +2sin3tan2 sin35ln232，都是初等函数都是初等函数.六、函数的基本性态六、函数的基本性态设设函数函数 y=f(x)的定义域关于原点对称，如的定义域关于原点对称，如果对于定义域中的任何果对于定义域中的任何 x，都有，都有 f(x)=f(-x)，则称则称 y=f(x)为偶函数；如果有为偶函数；如果有 f(-x)=-f(x)，则称则称 f(x)为奇函数为奇函数.不是偶函数也不是奇

17、函数的不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数函数，称为非奇非偶函数.1.奇偶性奇偶性，的的定定义义域域为为因因为为)(sin)(34+xxxf例例 14.sin)(34为为奇奇函函数数证证明明xxxf 证证.所所以以该该函函数数为为奇奇函函数数且且有有34)sin()()(xxxf 34sin xx ),(xf ，因因为为该该函函数数的的定定义义域域为为)(+例例 15.1,0)1(logsin)(2）且且函函数数（其其中中是是偶偶证证明明 +aaxxxxfa证证.所所以以该该函函数数为为偶偶函函数数且且有有)1)(log)sin()(2+xxxxfa),(xf xxxxxxxa+1)

18、1)(1(logsin222xxxa+11logsin2)1(logsin2xxxa+2.周期性周期性设设函数函数 y=f(x)的定义域为的定义域为(-,+)，若，若存在正数存在正数 T，使得对于一切实数，使得对于一切实数 x，都有：，都有：则称则称 y=f(x)为周期函数为周期函数.f(x+T)=f(x).规定：规定：若其中存在一个最小正数若其中存在一个最小正数 T 满足上式，则满足上式，则规定规定 T 为周期函数为周期函数 f(x)的最小正的最小正周期，简称周期周期，简称周期.例如例如 y=sinx,y=tanx的周期分别为函数的周期分别为函数 2，.)0)()(周期函数周期函数为周期的为

19、周期的是以是以数，试证函数数，试证函数为周期的周期函为周期的周期函是以是以设函数设函数aaaxfyxfy 要要证证的的是是：例例 16证证.)(为为周周期期的的周周期期函函数数是是以以所所以以aaxf 为为周周期期，所所以以以以因因为为)(xf.)()(+axafaxf),()(+axfaxf.)()(+axafaxf 即即设设 x1 和和 x2 为区间为区间(a,b)内的任意两个数内的任意两个数，若当若当 x1 x2 时时,函数函数 y=f(x)满足满足),()(21xfxf 则称该函数在区间则称该函数在区间(a,b)内内单调增加单调增加，或或称称递增递增；若当若当 x1 0 为常数）化为极

20、坐为常数）化为极坐标方程标方程.例例19 19 解解 将公式（将公式（1）代入方程）代入方程 x2+y2=R2，得，得 =R.取正号，所以圆心在取正号，所以圆心在极点、半径为极点、半径为 R的圆的圆的极坐标方程为的极坐标方程为=R.OyxA222,RxyR +试将直角坐标系圆的方程试将直角坐标系圆的方程 x2+y2=2Rx(R 0 为常数）化为极坐标方程为常数）化为极坐标方程.例例20 20 解解 将公式（将公式（1）代入方程，化简后）代入方程，化简后得该圆的极坐标得该圆的极坐标 方程方程.cos2 R OyxA222cos,2RxyRx +2RRa a）当极坐标中的）当极坐标中的换为换为-时

21、，该极坐标方程不变时，该极坐标方程不变或或不变，则该方程所表示的图形关于不变，则该方程所表示的图形关于极轴对称极轴对称；（3 3）极坐标方程的图形极坐标方程的图形 作极坐标方程的图形通常要做两方面的工作：作极坐标方程的图形通常要做两方面的工作：（1 1）对称性的判定；）对称性的判定；b b）当极坐标中的）当极坐标中的换为换为-时，该极坐标方程时，该极坐标方程不变或不变或不变，则该方程不变，则该方程所表示的图形关于半射线所表示的图形关于半射线 对称对称；2p p O(,)p p (,)A2p p （2 2）画出图形上一系列的点，并把这些点连成光滑）画出图形上一系列的点，并把这些点连成光滑曲线，从

22、而得出其图形曲线，从而得出其图形.解解 对称性：当对称性：当换为换为-时，时，),cos1()cos(1(+aa 试作极坐标方程试作极坐标方程 的图形，其的图形，其中中a为大于零的常数，该图形称为为大于零的常数，该图形称为心形线心形线.例例21 21)cos1(+a即即不变，所以图形对称于极轴不变，所以图形对称于极轴.列表列表 2a 1.87a 1.5a a 0.5a 0p pp pp pp pp p322360OA(1 cos)a +2p p 对称性：当对称性：当换为换为-时，方程也不变，时，方程也不变，解解 试作极坐标方程试作极坐标方程 （称为称为三叶玫三叶玫瑰线瑰线）的图形，其中）的图形

23、，其中a为大于零的常数为大于零的常数.例例22 22 3sinar 列表列表 r r 0 0.7a a 0.7a 0 -0.7a -a -0.7a 0其图形关于半射线其图形关于半射线 对称对称.2p p 所以图形关于所以图形关于的周期是的周期是,3sin)32(3sin p p aa+又又.32p pp pp pp pp pp pp pp p321272125346120AOp p 32 2p p 3p p 解解 对称性：当对称性：当换为换为-时，方程不变；时，方程不变；当当换为换为-时，方程也不变；时，方程也不变；试作试作双纽线双纽线 的图形，其中的图形，其中a为为大于零的常数大于零的常数.

24、例例23 23 2cos22ar 列表列表 r r a 0.7a 0p pp p480所以图形关于极轴对称，也关于半射线所以图形关于极轴对称，也关于半射线 对称对称.2p p 当当在在 之间时，方程右边不为正，所以此之间时，方程右边不为正，所以此间无图形间无图形.24p pp p与与34p p 4p p -2-112-0.6-0.4-0.20.20.40.6AO2.几种常见的参数方程几种常见的参数方程（1 1）圆的参数方程）圆的参数方程 圆心在原点半径为圆心在原点半径为R的圆的的圆的参数方程为参数方程为 sincosRyRx，或或 .cossintRytRx，Oyxtr(,)x y 圆心在点（

25、圆心在点（a,b）,半径为半径为R的圆的参数方程为的圆的参数方程为 +.sincos RbyRax，Oyxr(,)x y(,)a bax(2)(2)椭圆的参数方程椭圆的参数方程或或 sincosbyax，为为 椭圆椭圆 的参数方程的参数方程)0,0(12222 +babyaxOyx tr(,)x y 当椭圆中心在点当椭圆中心在点(x0,y0),),且长短轴分别平行与坐标且长短轴分别平行与坐标轴时，其参数方程轴时，其参数方程 +.sincos00 byyaxx，为为 .cossintbytax，Oyxr(,)xy),(00yx(3)(3)旋轮线（又称摆线）的参数方程旋轮线（又称摆线）的参数方程则

26、则 旋轮线的形成及其方程：半径为旋轮线的形成及其方程：半径为R的圆，其圆的圆，其圆心在正心在正y轴上且相切于原点轴上且相切于原点.当该圆沿当该圆沿x轴滚动（无轴滚动（无滑动）时，滑动）时，).cos1()sin(tRyttRx，即即1234560.511.52OyxRBCMAt2 Rp p(,)P x y 设点设点 为轨迹上为轨迹上的点，的点，),(yxP.tACP 由轨迹可知由轨迹可知,RtAPOA AMOAx BMPBy+则圆周上原来与原点相切的点所形成则圆周上原来与原点相切的点所形成的轨迹称为的轨迹称为旋轮线旋轮线.)2cos(p p tRRt，)sin(ttR RtR+)2sin(p

27、p).cos1(tR (4)(4)星形线的参数方程星形线的参数方程 星形线的形成及其方程：设有两个圆，其半星形线的形成及其方程：设有两个圆，其半径分别为径分别为R和和r,且且R=4r.大圆的圆心在坐标原点，大圆的圆心在坐标原点，小圆内切与大圆，其切点在小圆内切与大圆，其切点在 x 轴正半轴上的点轴正半轴上的点A A.当小圆沿大圆内滚动时（不滑动），则小圆周上当小圆沿大圆内滚动时（不滑动），则小圆周上原与大圆相切的点的轨迹称为原与大圆相切的点的轨迹称为星形线星形线.sincos33 RyRx，其参数方程为其参数方程为.323232Ryx+其在直角坐标系下的方程为其在直角坐标系下的方程为 -2-112-2-112OxyRA A