高等数学第12章：无穷级数课件.ppt

1、第一节第一节 无穷级数的概念与性质无穷级数的概念与性质一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念二、无穷级数的性质二、无穷级数的性质定义定义1 1 若有一个无穷数列 u1，u2，u3，un，此无穷数列构成下列表达式 u1+u2+u3+un+(1)称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为nnnuuuuu3211其中第n项un叫作级数的一般项或通项.一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念)1(1 431321211 nnun一般项的级数例如级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作Sn.即：nkknnuuuuuS1321)1(1431321211 nn Snn项和它的前111)1(1

2、nnnn111 )111()4131()3121()211(nnnSn 我们以级数的前n项和作为研究无穷多项和的基础.由级数(1)的前n项和，容易写出：,212121211nnnnssssuuusuusus这样，就得到数列定义定义2 2 如果级数 部分和数列 有极限s，即1nnu则称无穷级数 收敛.s称为此级数的和.且有1nnu若 无极限，则称无穷级数 发散.1nnu注意:ssnnlim,21nuuus,21nnnnuussr称为级数的余项，为 代替s所产生的误差.nsnrnsns.)1(1431321211)1(1 11的敛散性判定级数例nnnnn111)1(1nnnnun解：111)111

3、()3121()211()1(1)1(1321211nnnnnnnsn.1 1)111(limlim 此级数收敛，和为而nsnnn 二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质性质性质1 1 若级数 收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数k所得的级数 也收敛，且其和为ks.1nnu1nnku性质性质2 2 如果级数 、分别收敛于s其和为也收敛，则级数)()()()(22111nnnnnvuvuvuvunnnnnnvvvvsuuuu211211 1nnu1nnvs 和和即性质性质3 3 在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性.性质性质4 4 如果级数 收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的

4、级数仍收敛，且其和不变.1nnu注意：注意：发散级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛，原级数未必收敛.推论：推论：如果加括号以后所成的级数发散，则原级数也发散.nnnuuuu211性质性质5 5(收敛的必要条件)如果收敛，则它的一般项 趋于零，即0limnnu级数nu结论：结论：由此我们可得趋于零；收敛，则其通项若nnnuu1)1(发散；不趋于零，则通项1)2(nnnuu.,)3(1不一定收敛趋于零通项nnnuu.1收敛的必要条件趋于零是通项nnnuu13 123 .1234nnn例判定级数的敛散性1lim101 .1nnnnnn解 级数发散注意:级数收敛的必要条件常用于级数发散 的判定

5、.第二节第二节 正项级数及其敛散性正项级数及其敛散性一、正项级数及其收敛的充要条件一、正项级数及其收敛的充要条件二、正项级数收敛的比较判别法二、正项级数收敛的比较判别法三、正项级数收敛的比值判别法三、正项级数收敛的比值判别法 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法(1)21nuuu定义定义 设级数的每一项都是非负数,un0即则称此级数是nssss321 显然,正项级数的部分和sn数列是单调增加的，即正项级数.定理定理1 1 正项级数 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列sn有界.1nnu.211211211211 121收敛证明级数例nnn证明证明:这是一个正项级数，其部分和为:nns2

6、112112112故sn有界，所以原级数收敛.n21212121211 n定理定理2 2(比较审敛法)设 和 都是正项级数，且),2,1(nvunn1nnv1nnu若级数 收敛，则级数 收敛；反之，若级数 发散，则级数 也发散.1nnv1nnu1nnu1nnv 二、正项级数收敛的比较判别法二、正项级数收敛的比较判别法则有：若 发散，则 也发散;且当 时，有 成立，则有：若 收敛，则 也收敛.推论推论设级数 和 是两个正项级数，且存在自然数N，使当 时，有（k0)成立，1nnu1nnvNn 1nnvnnkvu 1nnu1nnu1nnv)0(kkvunnNn 例例2 2 判定p-级数pppnpnn

7、13121111的敛散性.常数 p0.(1)1,11 ,ppnn解 设时由比较判别法知.1;111也发散级数是发散的调和级数npnnpn)15181()71615141()3121(11 1(2)1ppppppppnpnp时，当.)8181()41414141()2121(1 的对应项它的各项均不大于级数pppppppp.,1211所以此级数收敛公比后一级数是几何级数，pq由此可得结论，p级数当 时发散，p1时收敛.1p11npn.11收敛npn13 1111 1.23nnnnnnn 例判定级数的敛散性11111 ,21 2,2nnnnn解 而 级 数收 敛 于.211也收敛，且其和小于nnn

8、.)1(1 41是发散的证明级数例nnn22 (1)(1)11 (1)(1)n nnn nn证明 11)1(1nnn由比较判别法可知，所给级数也发散.113121111nnn而级数是发散的；定理定理(达朗贝尔比值判别法)设 为正项级数，如果(1)当 时，级数收敛；1nnu(3)当 时，级数可能收敛，可能发散.luunnn1lim nnnuu1lim(2)当 ()时，级数发散.三、正项级数收敛的比值判别法三、正项级数收敛的比值判别法1l 1l 1l.)0(51的敛散性的敛散性判定级数判定级数例例 xnxnn 1nnnx级数nxnxuunnnnnn1limlim11解：xxnnn1lim.1;1

9、10时为调和级数，发散当时发散当时收敛，当xxx.23cos 612 nnnn的的敛敛散散性性判判定定级级数数例例)13cos(223cos 22nnnnnn解：nnnnnnnnnnuun221limlim2111满足而级数.21敛收敛，因此原级数也收级数nnn21121limnnn例例7 7 判别级数.10!10321102110132的收敛性nn解解:101!10.10)!1(11nnnuunnnn由比值判别法可知所给级数发散.101lim lim 1nuunnnn.2)12(1 81的的收收敛敛性性判判别别级级数数例例 nnn212)12(1 122nnnnnn此时 ，比值判别法失效，用

10、其他方法判定;1)1(2)12(2)12(lim lim1nnnnuunnnn解：)2(112ppnn级数，收敛级数.2)121 1收敛（所给级数由比较判别法知：nnn1l 第三节绝对收敛与条件收敛第三节绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其敛散性一、交错级数及其敛散性二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 一、交错级数及其审敛一、交错级数及其审敛法法定义定义 正负项相间的级数，称为交错级数.可以用下面形式给出：0)(1 0)(1 21243211121243211nkknnnnkknnnuuuuuuuuuuuuuuuu）（）（定理定理1 1(莱布尼兹定理)1(11满足条件：nnnulim0

11、nnu则级数收敛，且其和 ，并且其余项 的绝对值:1us.|1nnur(1)级数前项大于后项，即(2)级数的通项趋于零，即 );,3,2,1(1nuunnnr如果交错级数(1)()()(21243212nnnuuuuuus证明证明:先证明前2n项的和s2n的极限存在，为此将s2n写成两种形式:,1nnuu由定理的第一个条件：由(1)式可知s2n是单调增加的；由(2)式可知s2n0和R20，则nnnnnnnnnnxbaxbxa)(000收敛半径R等于R1和R2中较小的一个.性质性质1 1 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上连续.0nnnxaIxxnaxxaxxaxxsnnnnxnnxnn

12、nx 1 d d)()d(0100000性质2 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式0nnnxa即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质性质3 3 幂级数 的和函数s(x)在其收敛区间(R,+R)内可导，且有逐项求导公式0nnnxa)()()()(0100Rx-R xnaxaxaxsnnnnnnnnn即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.1116 .2nnnnnxn例求幂级数的收敛区间及和函数，并求级数的和11lim|lim1nnaalnnnn解：11lR收敛半径为11

13、nxn当时，级数为1limlim nnnnunn 级数发散,)1(111也发散时，级数为当nnnx),1,1(级数的收敛区间为12 321)(nnxxxxs设和函数为：1111 )1()d(:02320-x-xxxxxxxxxxttsxnnx积分，得到两边由20)1(1)111(d)(dd )(xxttsxxsxx求导，即得两边对211)1(1)(xnxxsnn4)211(1)21(,21211nnnx则有取2421)21(1nnn第五节第五节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、泰勒级数一、泰勒级数二、二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数 一、泰勒级数一、泰勒级数定义定义 如果f(x)在点x

14、0的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数(1)(!)()(!2)()()(00)(200000nnxxnxfxxxfxxxfxf为f(x)在x0的泰勒级数.当x0=0时，泰勒级数为:(2)(!)0()(!2)0()(0()0()(2nnxnfxfxff称之为f(x)的麦克劳林级数.定理定理1 1(泰勒中值定理)如果函数f(x)在含点x0的区间(a,b)内，有一阶直到n 阶的连续导数，则当x取区间(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(xx0)的方幂展开为：(3)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn其中：(4)()()1()()(0

15、10)1(之间与在！xxxxnfxRnnn公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格朗日余项.定理定理2 2 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式余项Rn(x)当 时的极限为零，即：(5)0)(limxRnnn 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的基本法，其一般步骤为：成幂级数；不能展开的某阶导数不存在，则若函数的各阶导数求出 )()(;),(),(),(:)(a)(xfxfxfxfxfxfn;),0(,),0(),0(),0(:0(b)

16、(nffffx处的值求出函数及各阶导数在.)(c)(0)()(d)的幂级数展开式就是函数步骤写出的幂级数，则内，余项如能证明在收敛区间xfnxRR-R,nnnxnfxfxff!2)0()0()0()(2;)3(c)R并求出收敛半径写出麦克劳林级数，利用公式的幂级数展开成将函数例xxfxe)(1 1)0(,e)()()(nxnfxf解：00)()0(nnnnnnxxnf！0!1)!1(1lim|lim1nnaalnnnn)(,1，收敛区间为收敛半径lR1|1|)!1(elim|)!1(e|lim)(lim)10(nxnnxnnnxnxn|x|Rx、对于任何有限数,)!1(|)!1(|e011|的

17、一般项是收敛级数而是有限数，nnnxnxnx0lim0|)!1(elim1|nnnxnRxn，即：(6)(!21e2xnxxxnx得到展开式：间接展开法 利用一些已知的函数展开式、幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.(8)11(11112 q-qqqqn分别令q=x、x2有：(10)11()1(111(9)11()1(111221422112 x-xxxx x-xxxxnnnn将(9)、(10)式分别从0到x逐项积分，得：(12)11 12)1(5131arctan(11)11()1(3121)1ln(12153132,-nxxxxxxnxxxxxnnnn收敛区间为收敛；时，它成交错级数当11121)1(1nnnx.121)1(11收敛时，它成交错级数当nnn-x.e 43的幂级数展开成将函数例xx有：换成，将的展开式解：利用例3)6(1 xx)()3(!1)1()3(!2131 )3(!1)1(20 xxnxxxn-nnnnn