第十三章-动能定理课件.ppt

1、1理论力学第十三章 动 能 定 理2第十三章 动能定理13-1 力的功13-2 质点和质点系的动能13-3 动能定理13-4 功率 功率方程 机械效率 13-5 势力场 势能 机械能守恒定律13-6 普遍定理的综合应用举例313-1 力的功 一、常力的功一、常力的功 sFWcos功是代数量，在国际单位制中，功的单位为功是代数量，在国际单位制中，功的单位为 J J（焦耳）。（焦耳）。413-1 力的功 二、变力的功二、变力的功dsFWcosdsFWs0cos 力在全路程上作的功等于元功之和力在全路程上作的功等于元功之和：力在无限小位移力在无限小位移dr中作的功中作的功称为元功：称为元功：（131

2、）（132）5rF dW11MMdWrFkjiFzyxFFFkjirdzdydxd力力F从从M1到到M2的过程所作的功的过程所作的功在直角坐标系中，在直角坐标系中，i，j，k为三坐标轴的单位矢量，则为三坐标轴的单位矢量，则上两式也可写成以下矢量点乘形式上两式也可写成以下矢量点乘形式：21)(12MMzyxdzFdyFdxFW（135）（134）（133）13-1 力的功613-1 力的功gPm0 xF0yFmgFz21)(12MMzyxdzFdyFdxFW三、几种常见力的功三、几种常见力的功1 1重力的功重力的功重力重力重力作功为重力作功为在直角坐标轴上的投影为在直角坐标轴上的投影为21)(2

3、1zzzzmgmgdz（136）7根据质心坐标公式，有根据质心坐标公式，有 )(2112iiizzgmWiiczmmz)(2112cczzmgW对于质点系，设质点对于质点系，设质点 i 的质量为的质量为mi，运动始末的高度差为，运动始末的高度差为（zi1-zi2），则全部重力作功之和为：则全部重力作功之和为：所以所以13-1 力的功（137）重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。813-1 13-1 力力 的的 功功2 2弹性力的功弹性力的功kF 弹性范围内，弹性力大小为弹性范围内，弹性力大小为k弹性刚度系数（或刚性系数）。弹性刚度系数（或刚性系数）。

4、rlrkeF)(0弹性力弹性力913-1 13-1 力力 的的 功功redr21)(012rrdrlrkW)(2222112kW202201)()(2lrlrkdr)(212rdr)(21rrdrrrdr点点A 由由A1 到到 A2时，弹性力作功为时，弹性力作功为21AA12dWrF21AAr0dlrkre)(（138）弹性力的功也与路径无弹性力的功也与路径无关关1013-1 力 的 功 如果刚体上作用一力偶，则力偶所作的功仍可用上式计算，其如果刚体上作用一力偶，则力偶所作的功仍可用上式计算，其中中Mz为力偶对转轴为力偶对转轴z的矩，也等于力偶矩矢的矩，也等于力偶矩矢M在轴上的投影。在轴上的投

5、影。cosFFtRdds rF dWdMWZ21123 3转动刚体上作用力的功转动刚体上作用力的功力力F在切线上的投影为在切线上的投影为刚体转动时刚体转动时力力F的元功为的元功为因为因为Ft R等于等于F F对于转轴对于转轴z的力矩的力矩Mz，于是，于是dsFtRdFt（1310）1113-1 力 的 功iMiF作用在作用在 点的力点的力 的元功为的元功为力系全部力的元功之和为力系全部力的元功之和为d)(diCCiiFMrFww4.平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功iCiCiiiirFrFrFwddd其中其中d)(dcosdiCiCiiCiFMMFrFiCCivvvCiCirrrdd

6、dddCCRMrF（1311）1213-1 力 的 功其中其中:为力系主失，为力系主失，为力系对质心的主矩。为力系对质心的主矩。RFCM当质心由当质心由 ，转角由，转角由 时，力系的功为时，力系的功为21 CC21即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力作功的代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。偶作功之和。2121dd12CCCCRMrFW（1312）1313-2 质点和质点系的动能 221mv一、质点的动能一、质点的动能221iivmT设质点的质量为设质点的质量为m，速度为，速度

7、为v，则质点的动能为，则质点的动能为动能是标量，恒取正值。在国际单位制中动能的单位也为动能是标量，恒取正值。在国际单位制中动能的单位也为J。二、质点系的动能二、质点系的动能质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能，即质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能，即142 2转动刚体的动能转动刚体的动能iirv 221iivmTZiiJrm2221ZJT 13-2 质点和质点系的动能1.1.平移刚体的动能平移刚体的动能 civv 221iivmTimm221cmvT icmv2212221iirm2221iirm（1313）（1314）1513-2 质点和质点系的动能3.3.平面运动刚体的动能平

8、面运动刚体的动能点点C 质心，质心，点点P 某瞬时的瞬心，某瞬时的瞬心，角速度角速度 221PJT 2mdJJCP22)(21mdJTCcvd222121CcJmvT22)(2121dmJC（1315）1613-3 动能定理一、质点的动能定理一、质点的动能定理FvdtdmdrddtdmFrvdtd vrrFvvddmWmvd)21(2 取质点运动微分方程的矢量形式取质点运动微分方程的矢量形式 因因 得得上式称为质点动能定理的微分形式上式称为质点动能定理的微分形式:即质点动能的增量等于即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。作用在质点上力的元功。（1316）1713-3 动能定理1221222

9、121Wmvmv上式称为质点动能定理的积分形式：上式称为质点动能定理的积分形式：在质点运动的某个过在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。21122)21(vvWmvd（1317）1813-3 动能定理iiiWvmd)21(2niniiiiWvmd112)21(iiiWvmd)21(2iWdT二、质点系的动能定理二、质点系的动能定理质点系内任一质点，质量为质点系内任一质点，质量为mi，速度为，速度为vi，有，有式中式中Wi 为作用于这个质点上的力为作用于这个质点上的力Fi作的元功。作的元功。设质点系有设质点系有n个质点，

10、将个质点，将n个方程相加，得：个方程相加，得：上式称为质点系动能定理的微分形式：上式称为质点系动能定理的微分形式：质点系动能的增量质点系动能的增量等于作用于质点系全部力所作的元功的和。等于作用于质点系全部力所作的元功的和。（1318）1913-3 动能定理iWTT12上式积分，得：上式积分，得：（1319）上式称为质点系动能定理的积分形式：上式称为质点系动能定理的积分形式：质点系在某一段运动质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。全部力在这段过程中所作功的和。2013-3 动能定理质

11、点系内力的功质点系内力的功BAddWrFrFBAddrFrF)(BAdrrF只要只要A A、B B 两点间距离保持不变两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。内力的元功和就等于零。不变质点系的内力的功之和等于零。刚体的内力的功之和等于不变质点系的内力的功之和等于零。刚体的内力的功之和等于零。不可伸长的绳索内力的功之和等于零零。不可伸长的绳索内力的功之和等于零。)(BAd rF 三、理想约束及内力作功三、理想约束及内力作功2113-3 动能定理理想约束反力的功理想约束反力的功1 1光滑固定面约束光滑固定面约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称

12、为理想约束。2 2活动铰支座、固定铰支座和向心轴承活动铰支座、固定铰支座和向心轴承0dWrF2213-3 动能定理5 5柔性约束（不可伸长的绳索）柔性约束（不可伸长的绳索）rFrFddW0)(rFFd4 4联接刚体的光滑铰链（中间铰）联接刚体的光滑铰链（中间铰）3 3刚体沿固定面作纯滚动刚体沿固定面作纯滚动2313-3 动能定理 例例13-1 已知：已知：m,h,k,其它质量不计。其它质量不计。max求：求：2413-3 动能定理解：解：,0,021TTmax2max2)(00khmgkmghgmkkmg2122max2513-3 动能定理 例例13-2 已知：轮已知：轮O的的R1、m1,质量

13、分布在轮缘上质量分布在轮缘上;均质轮均质轮C的的R2、m2纯滚动纯滚动,初始静止初始静止;,M为常力偶。为常力偶。求：轮心求：轮心C走过路程走过路程S时的速度和加速度时的速度和加速度2613-3 动能定理SgSinmMW21201T222222221211221212121)()(RmmRmTc轮轮C与轮与轮O共同作为一个质点系共同作为一个质点系解：解：2713-3 动能定理1RS)32()(221112mmRSSingRmMC)32(42122mmSSingmMC)(a2211,RRCC1212TTW2813-3 动能定理CCCCSingmRMmm)32(21212112112)32()(2

14、RmmSinRgmMC式式(a)是函数关系式，是函数关系式，两端对两端对t求导，得求导，得2913-3 动能定理求：冲断试件需用的能量求：冲断试件需用的能量 701 292 例例13-3 冲击试验机冲击试验机m=18kg,l=840mm,杆重不计，杆重不计，在在 时静止释放，冲断试件后摆至时静止释放，冲断试件后摆至3013-3 动能定理JWk92.78得冲断试件需要的能量为得冲断试件需要的能量为)cos1(001mgl0,021TTkWmgl)cos1(2解：解：3113-3 动能定理3213-3 动能定理R001T圆盘速度瞬心为圆盘速度瞬心为C,202220243)2(2121mmRmT 解

15、：解：3313-3 动能定理12TTW20432mmgfsFS)(a)2(320mgfFmsmgfsFSW2TNFPF、均不作功。均不作功。3413-3 动能定理,00rar将式将式(a)两端对两端对t求导，并利用求导，并利用)2(320mgfFma得得3513-3 动能定理()2dddSWFF SF RFSF SR不作功的力可不考虑，因此亦可如下计算：不作功的力可不考虑，因此亦可如下计算：RSRFRFSFFFWTT)()(ddfsmgFSSFFS22d 2、亦可将力系向点、亦可将力系向点O简化，即简化，即注意：注意：,SFWd1、摩擦力、摩擦力Fd 的功的功 S 是力在空间的位移，是力在空间

16、的位移，不是不是 受力作用点的位移。受力作用点的位移。3613-3 动能定理 例例13-5：已知：已知：r1，m1 均质；杆均质；杆m均质，均质，O1O2=l,M=常量，纯滚动，处于水平面内，初始静止。常量，纯滚动，处于水平面内，初始静止。求：求：O1O2转过转过角的角的、3713-3 动能定理,01T221)233(21lmm研究整个系统研究整个系统),(1101101rlrl22112222101122121321)()(rmmmlT解：解：3813-3 动能定理MW WTT12221)233(21lmmM)(a21)92(12lmmM3913-3 动能定理21)92(6lmmM式式(a)

17、对任何对任何均成立，是函数关系，求导得均成立，是函数关系，求导得注意：轮注意：轮、接触点接触点C不是不是理想约束，其摩擦力理想约束，其摩擦力Fs尽管尽管在空间是移动的，但作用于在空间是移动的，但作用于速度瞬心，故不作功。速度瞬心，故不作功。4013-3 动能定理例例1 1图示的均质杆图示的均质杆OA的质量为的质量为3030kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数为状态。设弹簧常数为 k=3k=3kN/m，为使，为使杆能由铅直位置杆能由铅直位置OA转到水平位置转到水平位置OA，在铅直位置时的角速度至少应为多大？在铅直位置时的角速度至少应为多大？解：取解：取OA

18、杆杆研究对象研究对象)(212.12221kmgW)22.14.2(03000212.18.93022 8.284.2303121202021T02T 4.3888.28020rad/s67.30)J(4.388得得由由WTT124113-3 动能定理 【例例2 2】均质圆盘均质圆盘A：m，r；滑块；滑块B：m；杆；杆AB：质量不：质量不计，平计，平行于斜面。斜面倾角行于斜面。斜面倾角，摩擦系数，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。求：滑块的加速度。解：取整体为研究对象解：取整体为研究对象cos sin 2mgSfSmgW)cossin2(f

19、Smg 01Tgfa)cossin2(522222221212121 mrmvmvT运动学关系：运动学关系：rv 2245mvT 由动能定理，得由动能定理，得)cossin2(0452fmgSmv对对求导，得求导，得)cossin2(25fmgvmva42 【例例3 3】图示系统中图示系统中,均质圆盘均质圆盘A、B各重各重P，半径均为，半径均为R,两盘中两盘中心线为水平线心线为水平线,盘盘A上作用矩为上作用矩为M(常量常量)的一力偶；重物的一力偶；重物D重重Q。问。问下落距离下落距离h时重物的速度与加速度。时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始

20、时系统静止作纯滚动，初始时系统静止)13-3 动能定理解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象)(h/R QhMW01T222221 2121BCAOJvgQJT22222232121221BARgPvgQRgP)78(162PQgv4313-3 动能定理WTT12由由 )(0)78(162hQRMPQgvRPQhgQRMv)78()(4 )()(21678dtdhvdtdhQRMdtdvvgPQ上面上面(1)(1)式求导得：式求导得：(1)(1)RPQgQRMa)78()(84413-4 功率功率方程机械效率 一、功率一、功率 单位时间内力所做的功称为功率单位时间内力所做的功称为功率，以，以

21、P表示。表示。dtWP因为因为 rF dW所以所以 vFdtdPvFrF功率等于切向力与力作用点速度的乘积。功率等于切向力与力作用点速度的乘积。作用在转动刚体上的力的功率为作用在转动刚体上的力的功率为zzMdtdMdtWP式中式中Mz是力对转轴是力对转轴z的矩，的矩，是角速度。即是角速度。即作用于转动刚体上的作用于转动刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积。力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积。（1320）（1321）4513-4 功率功率方程机械效率 二、功率方程二、功率方程 取质点系动能定理的微分形式，两端除以取质点系动能定理的微分形式，两端除以dt，得，得 niniiiPd

22、tWdtdT11上式称为上式称为功率方程功率方程，即，即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。质点系的所有力的功率的代数和。每部机器的功率可分为三部分：输入功率、无用功率（或耗损每部机器的功率可分为三部分：输入功率、无用功率（或耗损功率）、有用功率（或输出功率）。在一般情况下，功率方程可写功率）、有用功率（或输出功率）。在一般情况下，功率方程可写成：成：无用有用输入PPPdtdTdtdTPPP无用有用输入或或（1322）（1323）4613-4 功率功率方程机械效率 三、机械效率三、机械效率有效功率有效功率 =dtdTP有有用

23、用输输入入功功率率有有效效功功率率 机械效率机械效率表示机器对输入功率的有效利用程度，它是评定机表示机器对输入功率的有效利用程度，它是评定机器质量好坏的指标之一。器质量好坏的指标之一。显然，显然，1 如一部机器如一部机器有有n级传动，设各级的效率分别为级传动，设各级的效率分别为1 1、2 2 、n,则总效率为则总效率为n21，机械效率用，机械效率用表示，即表示，即（1324）4713-4 功率功率方程机械效率 【例例4 4】车床的电动机功率为车床的电动机功率为5.45.4 kW。由于传动零件之间的摩擦。由于传动零件之间的摩擦耗损功率占输入功率的耗损功率占输入功率的30%30%。如工件的直径。如

24、工件的直径d=100 mmd=100 mm，转速，转速n =42 42 r/min，问允许切削力的最大值为多少？若工件的转速改为，问允许切削力的最大值为多少？若工件的转速改为n =112=112 r/min，问允许切削力的最大值为多少？，问允许切削力的最大值为多少？解：解：由题意知：由题意知：kWP4.5输入kWPP62.1%30输入无用当工件匀速转动时，动能不变，有用功率为当工件匀速转动时，动能不变，有用功率为 kWPPP78.3无用输入有用设切削力为设切削力为F，切削速度为，切削速度为v，则，则 302ndFFvP有用即即 有用PdnF6048当当n=112=112 r/min 时，允许的

25、最大切削力为时，允许的最大切削力为kWF45.678.31121.06013-4 功率功率方程机械效率 当当n=42=42 r/min 时，允许的最大切削力为时，允许的最大切削力为 kWF19.1778.3421.060有用PdnF604913-3 动能定理例例13-8:已知已知 m.l0 .k .R .J求：系统的运动微分方程。求：系统的运动微分方程。5013-3 动能定理RS 解：解：2dd21tsmT22dd21tsRJmtsksptsmgpdd,dd弹性力重力2dd21tJ5113-3 动能定理弹性力重力pptTddtskstsmgtstsRJmdddddddd222ksmgtsRJm

26、222dd5213-3 动能定理,0 xSkxkxkmgtxRJm0222dd0dd222kxtxRJm令令 为弹簧静伸长，即为弹簧静伸长，即mg=k ,以平衡位置为以平衡位置为原点原点005313-4 功率功率方程机械效率 【例例5 5】电动机车质量为电动机车质量为m，由静止以匀加速度，由静止以匀加速度a 沿水平轨道沿水平轨道行驶，如电动机车所受的运动阻力等于行驶，如电动机车所受的运动阻力等于kmg(其中其中k是常数是常数)。求电。求电动机车的功率。动机车的功率。解：设电动机车行驶距离解：设电动机车行驶距离s时的速度为时的速度为v，发动机所做的功为，发动机所做的功为W，由动能定理得：由动能定

27、理得：kmgsWmv0212)2(2gvksmgW将上式对时间求导，并注意将上式对时间求导，并注意及及得电机车的功率得电机车的功率dtdsv dtdva)(gakmgvdtWP将将atgakmgP)(atv 代入上式，得：代入上式，得：5413-4 功率功率方程机械效率 【例例6 6】均质圆轮半径均质圆轮半径r，质量为，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心无滑动。求质心C的运动规律。的运动规律。解：取轮为研究对象，解：取轮为研究对象，均质圆

28、均质圆轮作平面运动，其动能为轮作平面运动，其动能为222432121cccmvJmvT只有重力作功只有重力作功,重力的功率为重力的功率为 )(gvgdtdsmmPdtdsmggdtdsmdtdsmsin)sin(g5513-4 功率功率方程机械效率 应用功率方程：应用功率方程：PdtdT得得stdsmgdtdvvmccsin243，因rRsvdtdsdtsddtdvcc22当当很小时很小时sin0,于是得质心于是得质心C的运动微分方程为的运动微分方程为0)(3222srRgdtsd5613-5 势力场势能机械能守恒定律 一、势力场一、势力场 如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由

29、如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为所在位置确定的力作用，则这部分空间称为力场力场。例：重力场，。例：重力场，太阳引力场等等。太阳引力场等等。如果物体在力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作如果物体在力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为种力场称为势力场势力场（或（或保守力场保守力场）。）。在势力场中，物体受到的力称为在势力场中，物体受到的力称为有势力有势力（或（或保守力保守力）。例：）。例：重力场、弹性力场都是

30、势力场，重力、弹性力、万有引力都是有重力场、弹性力场都是势力场，重力、弹性力、万有引力都是有势力。势力。5713-5 势力场势能机械能守恒定律 二二、势能势能 在势力场中，质点在势力场中，质点M 运动到任选的点运动到任选的点M0，有势力所作的功称，有势力所作的功称为质点在点为质点在点M 相对于点相对于点M0的的势能势能。以。以V 表示为表示为0MMdVrF 点点M0 称为称为零势能点零势能点。在势力场中，势能的大小是相对零势能。在势力场中，势能的大小是相对零势能点而言的。零势能点点而言的。零势能点M0可以任意选取，对于不同的零势能点，在可以任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同一位置的势能

31、可有不同的数值。势力场中同一位置的势能可有不同的数值。几种常见势能的计算几种常见势能的计算0)(MMzyxdzFdyFdxF（1325）581 1重力场中的势能重力场中的势能13-5 势力场势能机械能守恒定律 质点重力质点重力mg在各轴上的投影为在各轴上的投影为 0 xF0yFmgFz取取Mo为零势能点，则质点在点为零势能点，则质点在点M的势能为的势能为)(00zzmgmgdzVzz质点系重力势能质点系重力势能 )(0cczzmgV其中其中m为质点系全部质量，为质点系全部质量，zc为质心的为质心的z坐标，坐标，zc0为零势能位置质为零势能位置质心心z坐标。坐标。（1326）592 2弹性力场中

32、的势能弹性力场中的势能13-5 势力场势能机械能守恒定律 设弹簧的一端固定，另一端与物设弹簧的一端固定，另一端与物体连接。弹簧的刚度系数为体连接。弹簧的刚度系数为k。取取Mo为零势能点，则物体在点为零势能点，则物体在点M的势能为的势能为 )(2202kV 如取弹簧的自然位置为零势能点，则有如取弹簧的自然位置为零势能点，则有0=0=0，则，则22kV（1327）6013-5 势力场势能机械能守恒定律 3 3万有引力场中的势能万有引力场中的势能 设质量为设质量为m1 的质点受质量为的质点受质量为m2的物体的万有引力的物体的万有引力F 作用。作用。取点取点M0为零势能点，则质点在点为零势能点，则质点

33、在点M 的的势能为势能为rF dVMM0式中式中 f 为引力常数。为引力常数。drdr re因为因为 所以所以 1221rrdrrmfmV如选取点如选取点M0 在无穷远处，即在无穷远处，即r1=，则，则 rmfmV21rrmfmeF221redrmfmrMM0221)11(2121rrmfm（1328）6113-5 势力场势能机械能守恒定律 一质量为一质量为m、长为、长为 l 的均质杆的均质杆AB。A端铰支，端铰支，B端由无重弹簧端由无重弹簧拉住，并于水平位置平衡。此时弹簧已拉长拉住，并于水平位置平衡。此时弹簧已拉长0。如弹簧刚度系数。如弹簧刚度系数为为k，如质点系受到多个有势力的作用，各有势

34、力可有各自的零势如质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各自的零势能点。质点系中的各质点都处于其零势能点的一组位置，称为质能点。质点系中的各质点都处于其零势能点的一组位置，称为质点系的点系的“零势能位置零势能位置”。质点系从某位置到其质点系从某位置到其“零势能位置零势能位置”的运动过程中，各有势的运动过程中，各有势力作功的代数和称为此质点系在该位置的势能。力作功的代数和称为此质点系在该位置的势能。0)(FAM020lmglkkmg206213-5 势力场势能机械能守恒定律(2)如取杆的平衡位置为系统的零势能位置，杆于微小摆角如取杆的平衡位置为系统的零势能位置，杆于微小摆角 处，势处，势能为能

35、为2)(21201lmglkV2)2(212)(212202020lmgllklmglkV (1)如重力以杆的水平位置为零如重力以杆的水平位置为零势能位置，弹簧以自然位置为零势势能位置，弹簧以自然位置为零势能点，则杆于微小摆角能点，则杆于微小摆角 处势能为处势能为kgmlk8212222注意注意 kmg20可得可得 2221lkV6313-5 势力场势能机械能守恒定律 质点系在势能场中运动，有势力的功可通过势能计算。质点系在势能场中运动，有势力的功可通过势能计算。设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从点设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从点M1 到点到点M2，该力所作的功为，该力

36、所作的功为W12。取点取点M0 为零势能点，则为零势能点，则01MM 110VW02MM220VW 因有势力的功与轨迹形状无关，从因有势力的功与轨迹形状无关，从M1经经M2到到M0201210WWW21201012VVWWW2112VVW 即即有势力所作的功等于质点系在运动过有势力所作的功等于质点系在运动过程中的初始和终了位置的势能的差。程中的初始和终了位置的势能的差。（1330）64三、机械能守恒定律三、机械能守恒定律13-5 势力场势能机械能守恒定律 质点系在某瞬间的动能与势能的代数和称为质点系在某瞬间的动能与势能的代数和称为机械能机械能。质点系质点系1212WTT如只有有势力作功，则如只

37、有有势力作功，则211212VVWTT 移项后移项后 2211VTVT 即即质点系在运动的过程中，只有有势力作功，其机械能保持不质点系在运动的过程中，只有有势力作功，其机械能保持不变变。这种质点系称为。这种质点系称为保守系统保守系统。（1331）6513-5 势力场势能机械能守恒定律 如质点系还受到非保守力的作用，称为如质点系还受到非保守力的作用，称为非保守系统非保守系统，非保守系，非保守系统的机械能是不守恒的。设保守力所作的功为统的机械能是不守恒的。设保守力所作的功为W12，非保守力所作非保守力所作的功为的功为W 12，由动能定理有，由动能定理有121212WWTT2112VVW因因 则则

38、122112WVVTT121122)()(WVTVT 如如W 12为负功，质点系在运动过程中机械能减小，称为为负功，质点系在运动过程中机械能减小，称为机械能机械能耗散耗散；如如W 12为正功，质点系在运动过程中机械能增加，这时外界为正功，质点系在运动过程中机械能增加，这时外界对系统输入了能量。对系统输入了能量。（1332）66 例：已知：重物例：已知：重物m=250kg,以以v=0.5m/s匀速匀速下降，钢索下降，钢索 k=3.35 N/m 610求求:轮轮D突然卡住时，钢索的最大张力突然卡住时，钢索的最大张力13-5 势力场势能机械能守恒定律 67,kmgst01Vst2st22mg2kma

39、xmax V卡住前卡住前 卡住时：卡住时：0,21221TmTkN45.2mgkFst解：解：13-5 势力场势能机械能守恒定律 68得得ststg2max1kN9.16112maxmkgmggkkFststst0222max2maxstststg即即由由 有有2211VTVTstmgmax22mxa220021stkm13-5 势力场势能机械能守恒定律 6920022021221JbkJ取水平位置为零势能位置取水平位置为零势能位置02220/Jkb例：已知：例：已知：m,k水平位置平衡水平位置平衡 OD=CD=bO OJ求：初速求：初速 时，时，=?0解：解：13-5 势力场势能机械能守恒定

40、律 704.势力场的其他性质：势力场的其他性质：zVFyVFxVFzyx,(1)（2）势能相等的点构成等势面）势能相等的点构成等势面 （3）有势力方向垂直于等势能面，指向势）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向能减小的方向13-5 势力场势能机械能守恒定律 7113-5 势力场势能机械能守恒定律 【例例9 9】均质圆轮半径均质圆轮半径r，质量为，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心无滑动。求质心C的运动规律。的运动规律。解：取轮为研

41、究对象，此系统解：取轮为研究对象，此系统的机械能守恒，取质心的最低位置的机械能守恒，取质心的最低位置O 为重力场零势能点，圆轮在任一为重力场零势能点，圆轮在任一位置的势能为位置的势能为同一瞬时的动能为同一瞬时的动能为)cos1)(rRmgV243cmvT 由机械能守恒，有由机械能守恒，有0)(TVdtd7213-5 势力场势能机械能守恒定律 把把V和和T的表达式代入，取导数后得的表达式代入，取导数后得023sin)(dtdvmvdtdrRmgcc，rRvdtdc，于是得，于是得 0sin3222gdtsd当当很小时，很小时，rRssin，于是得，于是得 0)(3222srRgdtsd22dts

42、ddtdvc因因73 它们从不同方面建立了质点或质点系运动量（动量、动量它们从不同方面建立了质点或质点系运动量（动量、动量矩、动能）的变化与力的作用量（冲量、力矩、力的功）之间的矩、动能）的变化与力的作用量（冲量、力矩、力的功）之间的关系。关系。13-普遍定理的综合应用举例质点和质点系的普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能质点和质点系的普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都用于研究机械运动，而动能定理还可用于研究机械运动与他们都用于研究机械运动，而动能定理还可用于研究机械

43、运动与其它运动形式有能量转化的问题。其它运动形式有能量转化的问题。应用动量定理或动量矩定理时，质点系的内力不能改变系统应用动量定理或动量矩定理时，质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩，只需考虑质点系所受的外力。的动量和动量矩，只需考虑质点系所受的外力。应用动能定理时，要考虑约束力和内力作不作功。应用动能定理时，要考虑约束力和内力作不作功。74 工程中有的问题只能用某一定理求解，有的则可用不同的工程中有的问题只能用某一定理求解，有的则可用不同的定理求解，还有些较复杂的问题，需要几个定理的联合应用才定理求解，还有些较复杂的问题，需要几个定理的联合应用才能求解。因此，在解题时就牵涉到选哪个或哪几个

44、的问题。但能求解。因此，在解题时就牵涉到选哪个或哪几个的问题。但普遍定理的选用具有很大的灵活性，不可能定出几条处处适用普遍定理的选用具有很大的灵活性，不可能定出几条处处适用的现成规则。的现成规则。13-普遍定理的综合应用举例 动力学普遍定理选用的动力学普遍定理选用的一般方法和步骤一般方法和步骤（仅供参考）（仅供参考）首先必须明确各个定理的内容、特点以及各定理所能解首先必须明确各个定理的内容、特点以及各定理所能解决的问题。决的问题。分析问题的已知条件与所求未知量之间的关系，分析质分析问题的已知条件与所求未知量之间的关系，分析质点系的运动状态与所受力的特点，根据这两方面分析的结果再点系的运动状态与

45、所受力的特点，根据这两方面分析的结果再来决定选用哪一定理。来决定选用哪一定理。7513-普遍定理的综合应用举例 具体来讲：具体来讲：如果问题是要求速度和角速度，如果问题是要求速度和角速度，则可根据则可根据质点系所受力的特点而定。若质点系所受外力的主矢为零或质点系所受力的特点而定。若质点系所受外力的主矢为零或在某轴上投影的代数和为零，则可用动量守恒定理求解；若在某轴上投影的代数和为零，则可用动量守恒定理求解；若质点系所受外力对某固定轴的力矩之代数和为零，则用对该轴质点系所受外力对某固定轴的力矩之代数和为零，则用对该轴的动量矩守恒定理求解；的动量矩守恒定理求解；若质点系仅受有势力作用或非有若质点系

46、仅受有势力作用或非有势力不作功，则用机械能守恒定律求解；若作用在质点系上势力不作功，则用机械能守恒定律求解；若作用在质点系上的非有势力作功，则用动能定理求解；的非有势力作功，则用动能定理求解；如果问题是要求加速度和角加速度，如果问题是要求加速度和角加速度，则可考虑用动能定则可考虑用动能定理求出速度和角速度，然后再对时间求导，求出加速度或角加理求出速度和角速度，然后再对时间求导，求出加速度或角加速度；也可用功率方程或动量定理、动量矩定理求解。在用动速度；也可用功率方程或动量定理、动量矩定理求解。在用动能定理或功率方程求解时，不作功的力在方程中不出现，给问能定理或功率方程求解时，不作功的力在方程中

47、不出现，给问76 问题的求解带来很大的方便。问题的求解带来很大的方便。13-普遍定理的综合应用举例 若已知质点系或质心的运动，如果在若已知质点系或质心的运动，如果在x、y、z方向仅有一方向仅有一个外力（通常是约束反力）是未知的，则可用动量定理或质心个外力（通常是约束反力）是未知的，则可用动量定理或质心运动定理求出未的外力，运动定理求出未的外力，有时用动量矩定理求解也极为简单。有时用动量矩定理求解也极为简单。对于定轴转动问题，可用定轴转动微分方程求解；对于对于定轴转动问题，可用定轴转动微分方程求解；对于刚体的平面运动问题，可用平面运动微分方程求解。通常情况刚体的平面运动问题，可用平面运动微分方程

48、求解。通常情况下，先用动能定理或动量矩定理求出运动量，然后再用质心运下，先用动能定理或动量矩定理求出运动量，然后再用质心运动定理求出未知的动定理求出未知的约束反力。对于复杂的动力学问题，不外乎约束反力。对于复杂的动力学问题，不外乎是上述几种情况的组合，可根据各定理的特点联合应用。是上述几种情况的组合，可根据各定理的特点联合应用。77例：已知例：已知 均质园轮均质园轮m,r,R，纯滚动，纯滚动求：轮心求：轮心的运动微分方程的运动微分方程13-普遍定理的综合应用举例78sPmgmgtddsmgtddtsmgddsin,432121222CCCmJmT解解:重力的功率重力的功率sinddgtsm13

49、-普遍定理的综合应用举例79（很小）很小）sin,22rRstststCCdddddd032dd22rRgststsmgtmCCddddsin243ptTdd13-普遍定理的综合应用举例80本题也可用机械能守恒定律求解。本题也可用机械能守恒定律求解。243,cos1CmTrRmgV0sin32dd22gts得得0ddTVt13-普遍定理的综合应用举例81 例：已知两均质轮例：已知两均质轮m,R;物块物块m,，纯滚动，于纯滚动，于弹簧原长处无初速释放。弹簧原长处无初速释放。求：重物下降求：重物下降h时时 ，v、a及滚轮与地面的摩擦力。及滚轮与地面的摩擦力。13-普遍定理的综合应用举例8201T解

50、：解：22222222m23mR21m21mR2121m21T222221khmghhkmghW13-普遍定理的综合应用举例83将式（将式（a）对）对t 求导求导thkhmgtmdd4dd312TTW（a）22232mkhmghmhkhmg32213-普遍定理的综合应用举例84得得mkhga343khmgmaFFS34621RFFRmRts221ddkhF2其中其中13-普遍定理的综合应用举例85例：已知例：已知 l,m求：杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速度和地面约束力求：杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速度和地面约束力13-普遍定理的综合应用举例86cos2lCPCC解：解：成成 角时角时,0