版工程数学课件第二章-场论.ppt

1、第二章 场论第一节 场第二节 数量场的方向导数和梯度第三节 矢量场的通量和散度第四节 矢量场的环量和旋度第五节 几种重要的矢量场-1-第一节 场-2-一一 场的概念场的概念如果在全部空间或部分空间里的每个点，如果在全部空间或部分空间里的每个点，都对应着都对应着某个物理量的一个确定的值，某个物理量的一个确定的值，就说在这空间上确定了就说在这空间上确定了该物理量的一个该物理量的一个场场。如果这物理量为数量，如果这物理量为数量，就称这个就称这个场为场为数量场数量场；如果这个物理量为矢量，如果这个物理量为矢量，就称这个场为就称这个场为矢矢量场量场。例如例如温度场、密度场、电位场为数量场。温度场、密度场

2、、电位场为数量场。力场、速度场、电场强度为矢量场。力场、速度场、电场强度为矢量场。-3-下，下，如果场中的物理量在各点处的对应量不随时间而变如果场中的物理量在各点处的对应量不随时间而变化，化，则称该场为则称该场为稳定场稳定场。否则，称为否则，称为不稳定场不稳定场。二二 数量场的等值面数量场的等值面根据数量场的定义，根据数量场的定义，对于场中的每个点对于场中的每个点,M对应着对应着一个确定的物理量（数量）一个确定的物理量（数量）,u因此因此u可以看成点可以看成点M的函数的函数),(Muu 在直角坐标系在直角坐标系u可以看成点可以看成点Oxyz),(zyxM坐标的函数坐标的函数),(zyxuu 因

3、此，一个数量场可以用一个数性函数来表示，因此，一个数量场可以用一个数性函数来表示，即研究即研究一个数量场就等价于研究一个数性函数。一个数量场就等价于研究一个数性函数。在今后的研究在今后的研究中如不特别强调的话，中如不特别强调的话，总假定数量场对应的数性函数总假定数量场对应的数性函数-4-单值且一阶偏导数连续。单值且一阶偏导数连续。在数量场在数量场),(zyxuu 中，中，使函数使函数u取相同的数值取相同的数值的点所组成的曲面称为数量场的的点所组成的曲面称为数量场的等值面等值面。例如例如 温度场中的等温面，温度场中的等温面，电位场中的等位面。电位场中的等位面。数量场数量场),(zyxuu 的等值

4、面方程为的等值面方程为czyxu),(（其中（其中c为常数），为常数），显然如果显然如果,0222 zyxuuu这种等值这种等值面一定存在。面一定存在。此时给定此时给定c不同的数值，不同的数值，得到一族互得到一族互不相交的，不相交的，且充满数量场且充满数量场所在的空间的等值面。所在的空间的等值面。1uc 2uc 3uc-5-在数量场在数量场),(zyxuu 中任意一定点中任意一定点),(0000zyxM过点过点0M的等值面方程为的等值面方程为),(),(000zyxuzyxu 例例1 求数量场求数量场22arctanyxzu 所在的空间区域，所在的空间区域，并求其等值面及其过点并求其等值面及其

5、过点)1,1,0(的等值面，的等值面，解解此数量场所在的空间区域为此数量场所在的空间区域为0),(22 yxzyx等值面方程为等值面方程为122arctanCyxz 或或)0(2222 yxyxCz-6-400m450m500m550m600m)1,1,0(的等值面方程为的等值面方程为过点过点)0(2222 yxyxz北北南南同理，在平面数量场同理，在平面数量场),(yxuu 中，中，具有相同数值具有相同数值c的点，的点，就组成了此数量场的就组成了此数量场的等值线等值线。例如，地面气象图例如，地面气象图的等温线，的等温线，地形图的等高线。地形图的等高线。数量场的等值面或数量场的等值面或等值线，

6、等值线，可以直观地可以直观地帮助了解场中物理量帮助了解场中物理量的分布状况。的分布状况。-7-三三 矢量场的矢量线矢量场的矢量线根据矢量场的定义，根据矢量场的定义，对于场中的每个点对于场中的每个点,M对应着对应着一个确定的物理量（矢量）一个确定的物理量（矢量）,A因此因此A可以看成点可以看成点M的矢性函数的矢性函数),(MAA 在直角坐标系在直角坐标系A可以可以Oxyz下，下，),(zyxM坐标的函数坐标的函数),(zyxAA 或或kzyxAjzyxAizyxAAzyx),(),(),(其中函数其中函数zyxAAA、为矢量为矢量A的三个坐标。的三个坐标。如果不特如果不特别强调，别强调，总假定总

7、假定单值、一阶偏导数连续，且单值、一阶偏导数连续，且zyxAAA、看成点看成点.0222 zyxAAA-8-因此对一个矢量场的研究等价于对一个矢性函数的因此对一个矢量场的研究等价于对一个矢性函数的的研究。的研究。矢量场矢量场kzyxAjzyxAizyxAAzyx),(),(),(中的这样一条曲线，中的这样一条曲线，其上任意一点对应的矢量在该点其上任意一点对应的矢量在该点处与该曲线相切。处与该曲线相切。则称该曲线为矢量场的则称该曲线为矢量场的矢量线矢量线。流速场中的流线、流速场中的流线、中的电力线、中的电力线、静电场静电场磁场中的磁力磁场中的磁力线都是矢量线的例子。线都是矢量线的例子。矢量线直观

8、地反映了矢量矢量线直观地反映了矢量场中的矢量的分布情况。场中的矢量的分布情况。-9-设点设点),(zyxM为矢量场为矢量场),(zyxA的矢量线上任意一的矢量线上任意一点，点，其矢径为其矢径为kzjyixr kdzjdyidxrd O M r d r 由微分的几何意义知由微分的几何意义知rd平行于点平行于点),(zyxM对应的对应的场矢量场矢量),(zyxA因此因此zyxAdzAdyAdx 这就是矢量线所满足的常微分方程组。这就是矢量线所满足的常微分方程组。解之可得一族解之可得一族互不相交的且充满矢量场所在的区域的矢量线。互不相交的且充满矢量场所在的区域的矢量线。-10-C如果如果的一条曲线的

9、一条曲线(非矢量线非矢量线),C是矢量场内是矢量场内则对则对C上任意一点上任意一点,MM 有有 且且 仅仅 有一条矢量线有一条矢量线通过，通过，这些矢量线的全这些矢量线的全体，体，就构成了一张通过就构成了一张通过C的曲面，的曲面，称其为通过称其为通过C的的矢量面矢量面，显然在矢量面上显然在矢量面上任一点处对应的场矢量都位于此矢量面在该点的切平任一点处对应的场矢量都位于此矢量面在该点的切平面上。面上。C特别，如果特别，如果C是一条封闭曲线，是一条封闭曲线，通过通过C的矢量面就构成一管状曲面，的矢量面就构成一管状曲面，-11-称其为称其为矢量管矢量管。例例2设点电荷设点电荷q位于在坐标原点，位于在

10、坐标原点，则在周围空间则在周围空间的任意一点的任意一点),(zyxM处产生的电场强度为处产生的电场强度为,43rrqE 其中其中 为介电常数，为介电常数，,kzjyixr|,|rr 求求E的的矢量线。矢量线。解解)(43kzjyixrqE 矢量线满足的微分方程为矢量线满足的微分方程为zdzydyxdxrqrqrq333444 -12-即即 xdxzdzdxdxydy解之得解之得 xczxcy21xOyz这是一族从原点出发的射线，这是一族从原点出发的射线，在电学上称为电力线。在电学上称为电力线。当当q为正时，为正时，如图所示；如图所示；当当q为负时，方向相反。为负时，方向相反。-13-例例3求矢

11、量场求矢量场kyjziyzA 2)(过点过点)1,2,1(的矢量线方程。的矢量线方程。解解矢量线方程满足的微分方程为矢量线方程满足的微分方程为ydzzdyyzdx 2)(由由,ydzzdy 即即,zdzydy 得得,122czy 利用等比性质利用等比性质ydzzdy yzdzdy -14-即即)()()(2zyzydyzdx 或或,0)()(zydzydx得得222(),xyzc因此矢量线方程为因此矢量线方程为 22122)(2czyxczy将点将点)1,2,1(代人得代人得123,3cc所以过点所以过点)1,2,1(的矢量线方程为的矢量线方程为22232()3yzxyz -15-例例4 求矢

12、量场求矢量场,kxjiA 14222zxy通过曲线通过曲线的矢量面方程。的矢量面方程。xdzdydx 2212,CxzxCy 解解因此所求矢量线方程为因此所求矢量线方程为矢量线应满足微分方程矢量线应满足微分方程设设),(zyxM为所求矢量面上任一点，为所求矢量面上任一点，),2,(000zxM为过为过M的矢量线与给定曲线的交点，的矢量线与给定曲线的交点，则则220002,22yxxzxzx -16-22002,22(2)xyxzzxyx 2222(2)(2(2)1yxzxyx即即代入方程代入方程1422 zx得矢量面方程得矢量面方程四四 平行平面场平行平面场1)平行平面矢量场平行平面矢量场如果

13、矢量场满足如果矢量场满足1 1 场中的每一个矢量都场中的每一个矢量都;2 在垂直于在垂直于 的任意一的任意一所有点对应的矢量所有点对应的矢量大小、方向都相等。大小、方向都相等。平行于某一平面平行于某一平面条直线上，条直线上，A则称这则称这样的矢量场为样的矢量场为平行平面矢量场平行平面矢量场。-17-的平行平面矢量场，的平行平面矢量场，由定义，研究平行平面矢量场的分布，由定义，研究平行平面矢量场的分布，只需研究矢只需研究矢场在平面场在平面 的分布，的分布，如果取平面如果取平面 作为作为xOy平面，平面，则则矢量场矢量场A就可表示为就可表示为jyxAiyxAAyx),(),(例如，例如，设有一无限

14、长的均匀带电的直线设有一无限长的均匀带电的直线其上电荷其上电荷分布线密度为常数分布线密度为常数则电场强度则电场强度,q,l)(ME所构成的矢量所构成的矢量场，场，便是垂直于便是垂直于l如果取垂直于如果取垂直于l的平面作为的平面作为xOy面，面，垂足作为坐标原点，垂足作为坐标原点，由物理学知由物理学知识可知电场强度识可知电场强度)(ME在其上可以表示为在其上可以表示为rrqME22)(其中其中 为介电常数，为介电常数，,jyixr .|rr-18-的分布情况都相同，的分布情况都相同，2)平行平面数量场平行平面数量场如果某个数量场如果某个数量场)(Muu 满足：满足：在垂直于场内的在垂直于场内的某

15、一直线某一直线数量数量u则称此数量场为则称此数量场为平行平面数量场平行平面数量场。同平行平面矢量场一样，同平行平面矢量场一样，l的所有平面上，的所有平面上，平行平面数量场可以转化平行平面数量场可以转化为在垂直于为在垂直于l的某个平面上的数量场来研究，的某个平面上的数量场来研究，如果取此如果取此平面作为平面作为xoy平面，平面，则数量则数量u可以表示为可以表示为),(yxuu 例如，例如，设有一无限长的均匀带电的直线设有一无限长的均匀带电的直线其上电荷其上电荷分布线密度为常数分布线密度为常数则电位分布则电位分布,q,l)(Mu所构成的数量所构成的数量场，场，便是垂直于便是垂直于l的平行平面数量场

16、，的平行平面数量场，如果取垂直于如果取垂直于l-19-的平面作为的平面作为xOy面，面，垂足作为坐标原点，垂足作为坐标原点，由物理学知由物理学知识可知电位分布识可知电位分布)(Mu在其上可以表示为在其上可以表示为ru1ln21 其中其中 为介电常数，为介电常数，|rr).(jyixr 第二节 数量场的方向导数与梯度-20-一一 方向导数方向导数定义定义1 设设0M为数量场为数量场)(Muu 中的一点，中的一点，为为l从从0M出发的一条射线，出发的一条射线，为为Ml上的上的0M邻近的一动点邻近的一动点记记,0 MM如果当如果当0MM 时，时，比式比式MMMuMu00)()(的极限存在，的极限存在

17、，则称此极限为则称此极限为)(Muu 在点在点函数函数0M处处沿沿l方向的方向导数方向的方向导数，记作记作,0Mlu 即即 0MlM -21-MMMuMuluMMM00)()(lim00 由定义可知：由定义可知：lu 为在点为在点M处，处，u沿沿l方向对距离的方向对距离的变化率，变化率，当当0 lu时，时，沿沿ul方向是增加的，方向是增加的，当当0 lu时，时，沿沿ul方向是减少的方向是减少的.定理定理1设函数设函数),(zyxuu 在点在点),(0000zyxM处可处可 coscoscos、为方向为方向l的方向余弦，的方向余弦，则则微，微，u在在0M处沿处沿l方向的方向导数一定存在，方向的方

18、向导数一定存在，且且 coscoscos0000MMMMzuyuxulu -22-例例1求函数求函数yeyzxu 32在点在点)1,1,1(M处沿处沿kjil22 的方向的方向l的方向导数。的方向导数。解解,23xyzux,32yyezxu 在点在点223yzxuz),1,1,1(M处处,2 xu,1euy 的方向余弦为的方向余弦为3 zul,32cos ,31cos 32cos 所以所以 coscoscoszyxuuulu )32(331)1(32)2(e33 e-23-定理定理2 如果在有向曲线如果在有向曲线C 0M CMl上取一定点上取一定点0M作为计算作为计算s的起点，的起点，的正向作

19、为弧长增加的方向，的正向作为弧长增加的方向，C为为MC上的一点，上的一点，在点在点M处沿处沿C之正向之正向作与作与C相切的射线相切的射线,l则当则当u可微、可微、C光滑时，光滑时，有有dsdulu 弧长弧长其中其中dsdu为函数为函数u对对C之弧长之弧长s的全导数。的全导数。证证 选择选择C之弧长作为参数，之弧长作为参数，的参数方程为的参数方程为)(),(),(szzsyysxx 则则C-24-则沿曲线则沿曲线,C函数函数)(),(),(szsysxuu 因为函数因为函数u可微、可微、曲线曲线C光滑，光滑，由复合函数求导法则由复合函数求导法则可得可得dsdzzudsdyyudsdxxudsdu

20、 由于由于kdsdzjdsdyidsdxdsrd 为为C在在M处的单位切矢量，处的单位切矢量，且指向且指向s增加的方向，增加的方向，因此因此dsdzdsdydsdx、为为l的方向余弦的方向余弦,coscoscos 、所以所以dsdulu -25-0M CM 1M定义定义2s 设设M为有向曲线为有向曲线C上一点，上一点，从点从点M出发沿出发沿C之正向取一动点之正向取一动点,1M记弧长记弧长,1sMM 当当1M沿沿C趋向趋向M时，时，比式比式11)()(MMMuMusu 的极限存在，的极限存在，则称此极限为函数则称此极限为函数u在点在点M处处沿曲线沿曲线C之正向的方向导数之正向的方向导数，记作记作

21、.su 即即11)()(lim1MMMuMusuMM -26-定理定理3设在点设在点M处函数处函数u可微，可微，曲线曲线C光滑，光滑，则则dsdusu 证证由于在点由于在点M处函数处函数u可微，可微，曲线曲线C光滑，光滑，所以所以在点在点M处全导数处全导数dsdu存在，存在，且且而根据而根据sudsdus 0limsu 的定义，的定义，其实际上是一个右极限其实际上是一个右极限susus 0lim所以所以dsdusu -27-例例2求函数求函数xzyyxu2322 在点在点处沿处沿)1,3,2(曲线曲线ktjti tr232 朝朝t增大一方的方向导数。增大一方的方向导数。解解点点)1,3,2(对

22、应参数对应参数,1 t因此曲线在因此曲线在切向为切向为1 t处处11)232(ttktjirkji232 其方向余弦为其方向余弦为222)2(322cos ,172,173cos 172cos coscoscosMMMMzuyuxusu -28-cos)23(cos)26(2MMyxzxy cos2Mx 17238 1736 1724 17102 二二 梯度梯度由方向导由方向导 coscoscoszuyuxulu 令矢量令矢量,zuyuxuG cos,cos,cos0 l1)1)梯度的定义梯度的定义设数量场设数量场),(zyxuu 一阶偏导数连续，一阶偏导数连续，数公式数公式-29-),cos

23、(0lGG)1(0 l0lGlu ,0方向一致时方向一致时与与当当Gl Glu max这说明这说明方向：方向：u 变化率最大的方向变化率最大的方向模模:u 的最大变化率之值的最大变化率之值:G定义定义3如果在数量场如果在数量场)(Muu 中一点中一点M处，处，存在存在这样一个向量这样一个向量,G其方向为数量场其方向为数量场)(Mu在点在点M处变处变化率最大的方向，化率最大的方向，其模恰为这个最大变化率的数值，其模恰为这个最大变化率的数值，则则称向量称向量G为数量场为数量场)(Mu在点在点M处的处的梯度梯度(gradient),记作记作.gradu-30-梯度的定义与坐标系无关，梯度的定义与坐标

24、系无关，它是由数量场它是由数量场)(Muu 的分布所确定的，的分布所确定的，在直角坐标系下，在直角坐标系下，利用方向导数的利用方向导数的的计算公式可得梯度的表示式：的计算公式可得梯度的表示式：uadrgkzujyuixu 如果引入矢性微分算子如果引入矢性微分算子zkyjxi 称为称为哈密顿哈密顿(Hamihon)算子算子，则梯度表示式为则梯度表示式为uu grad2)梯度的性质梯度的性质-31-梯度矢量具有下面两个重要性质梯度矢量具有下面两个重要性质1 数量场数量场)(Muu 沿沿l方向的方向导数等于梯度方向的方向导数等于梯度在在l的投影，的投影，写作写作ululgrad M lgraduul

25、 2数量场数量场)(Muu 中每一点中每一点M的梯度的梯度,gradu垂直于过该点的垂直于过该点的等值面，等值面，且指向且指向u的函数值增大的的函数值增大的一方。一方。事实上，事实上，由于由于kzujyuixuu grad正好为数量正好为数量场场)(Muu 过点过点M的等值面的等值面Cu 的法向量，的法向量，因此因此ugrad垂直于此等值面。垂直于此等值面。-32-又由于函数又由于函数)(Mu沿梯度方向的方向导数沿梯度方向的方向导数0|grad|ulu这说明函数这说明函数沿梯度方向沿梯度方向u即梯度指向即梯度指向是增加的，是增加的，)(Mu增加一方。增加一方。Mgradu1()uccuc 如果

26、将数量场中每一点如果将数量场中每一点的梯度与场中的点一一对应起来，的梯度与场中的点一一对应起来，这样就产生一个矢这样就产生一个矢量场，量场，称其为由数量场产生的称其为由数量场产生的梯度场梯度场。-33-例例3设设)(uf为可导函数，为可导函数，,kzjyixr|rr 求求).(gradrf解解),(rfu 令令 xuxrrf )(222)(zyxxrf rxrf)(ryrfyu)(rzrfzu)(kzujyuixurf )(gradrkzjyixrf )(rrfrrrf)()(-34-例例4求数量场求数量场zxyu2 在点在点)1,1,2(M处的梯度处的梯度及沿矢量及沿矢量ki 的方向的方向l

27、的方向导数。的方向导数。解解,2zyux,2xyzuy 2xyuz 在点在点)1,1,2(处处,1 xu,2 yu因此因此1 zukjiuM 2grad矢量矢量ki 的方向余弦的方向余弦,21cos ,0cos 21cos 所以所以211211 lu2-35-例例5求数量场求数量场ru1 在过点在过点)1,0,1(的等值面上的等值面上沿外法线方向沿外法线方向n的方向导数。的方向导数。解解数量场的等值面方程数量场的等值面方程,1cr 或或21222czyx 过点过点)1,0,1(等值面方程为等值面方程为,2222 zyx由此可知由此可知其外法向为其外法向为r增大的方向，增大的方向，即函数即函数r

28、u1 减少的方向，减少的方向，根据梯度的方向为垂直于等值面且指向函数值增大的根据梯度的方向为垂直于等值面且指向函数值增大的方向，方向，得得unungrad cos|grad|u|grad|u|1|2 rr21 -36-3)梯度的运算基本公式梯度的运算基本公式c(为常数为常数)01 cuccu )(2c(为常数为常数)vuvu )(3uvvuuv )(42)(5vvuuvvu uufuf )()(6特别特别 rrfrf)()(vfufvufvu ),(7-37-例例6 设有温度场设有温度场),(Muu 热的流动是由温度高热的流动是由温度高向温度低的流动，向温度低的流动，根据热转导理论的傅里叶实验

29、定律：根据热转导理论的傅里叶实验定律：“场中之任一点处，沿任一方向的热流强度场中之任一点处，沿任一方向的热流强度(在单位时在单位时间内流过与该方向垂直的单位面积的热量间内流过与该方向垂直的单位面积的热量)与该方向上与该方向上的温度变化率成正比的温度变化率成正比”，因此热流强度为因此热流强度为luk 其中比例系数其中比例系数,0 k称为内导热系数，称为内导热系数，前面的负号表示前面的负号表示热流的方向与温度增大的方向相反。热流的方向与温度增大的方向相反。由于由于,grad ulul 记记,gradukq ),cos(|lqqlu 这表明矢量这表明矢量q的方向是使热流强度取最大值的方向，的方向是使

30、热流强度取最大值的方向，-38-其模恰为最大热流强度，其模恰为最大热流强度，因此称因此称q为热流矢量。为热流矢量。例例7设有位于坐标原点的点电荷设有位于坐标原点的点电荷,q在周围空间任在周围空间任一点一点),(zyxM处产生的电位为处产生的电位为rqv 4 由于由于rrqvgrad4grad2 rrq34 而电强强度而电强强度,43rrqE 因此因此vEgrad 这表明，电场中的电强强度等于电位的负梯度，这表明，电场中的电强强度等于电位的负梯度，从而可从而可知，电强强度垂直于电场的等位面，知，电强强度垂直于电场的等位面，且指向电位减少的且指向电位减少的一方。一方。第三节 矢量场的通量及散度-3

31、9-设一条连续曲线，设一条连续曲线，其参数方程为其参数方程为)(),(),(tzztyytxx 若其上每一点若其上每一点(闭合曲线闭合点除外闭合曲线闭合点除外)都只对应唯一的都只对应唯一的,t参数值参数值则称其为则称其为简单曲线简单曲线。简单曲线是一条无重点的曲线。简单曲线是一条无重点的曲线。如果一条连续曲面，如果一条连续曲面，其参数方程为其参数方程为),(),(),(vuzzvuyyvuxx 若其上每一点若其上每一点(闭合曲面闭合点除外闭合曲面闭合点除外)都只对应唯一的都只对应唯一的),(vu参数值参数值则称其为则称其为简单曲面简单曲面。简单曲面是一条无重点的曲面。简单曲面是一条无重点的曲面

32、。-40-恒为指向曲面的正侧。恒为指向曲面的正侧。总假定曲线是分段光滑的简单曲线，总假定曲线是分段光滑的简单曲线，曲面是分块光曲面是分块光滑的简单曲面。滑的简单曲面。有向曲面：有向曲面：取定曲面其中一侧作为正侧，取定曲面其中一侧作为正侧，另一侧作另一侧作为负侧的曲面。为负侧的曲面。对于封闭曲面规定外侧为其正侧。对于封闭曲面规定外侧为其正侧。对于对于有向曲面来说，有向曲面来说，规定其法矢量规定其法矢量n有向曲线：取定了正向的曲线，有向曲线：取定了正向的曲线，规定其切矢量规定其切矢量指向曲线的正向。指向曲线的正向。恒恒t一一 通量通量1)通量的定义通量的定义设有一个不可压缩、密度为设有一个不可压缩

33、、密度为1的流速场的流速场),(Mv为场为场S内的一条有向曲面，内的一条有向曲面，在单位时间内流体流向正侧穿过在单位时间内流体流向正侧穿过S的流量的流量.Q-41-v nvn MdSS在在S上取一面积元素上取一面积元素,dS同时又用同时又用dS表示其面积，表示其面积，由由于于dS很小，很小，可以将其上每一可以将其上每一点速度矢量点速度矢量,v法矢量法矢量n近似近似地看成常矢量，地看成常矢量，这样单位时间这样单位时间dS就近似地等于以就近似地等于以dS为底。为底。高为高为nv柱体柱体的体积，的体积，穿过穿过的流量的流量为为nv(v在在n方向的投影方向的投影)，因此因此dSvdQn dSnv 记记

34、,dSnSd 则则,SdvdQ 因此因此 SndSvQ SSdv-42-电位移矢量为电位移矢量为D的电场中，的电场中，穿过有向曲面穿过有向曲面S的电的电通量可表示为通量可表示为 SnedSD SSdD磁感应强度矢量为磁感应强度矢量为B的磁场中，的磁场中，穿过有向曲面穿过有向曲面S的磁通量可表示为的磁通量可表示为 SnmdSB SSdB定义定义 设有矢量场设有矢量场),(MAS是场内一条有向曲面，是场内一条有向曲面，称曲面积分称曲面积分 SndSA SSdA-43-为矢量场为矢量场)(MA穿过穿过S正侧的正侧的通量通量。若若,21nAAAA 则则 nkSkSSdASdA1若若kzyxRjzyxQ

35、izyxPA),(),(),(则则dSnASdA dSRQP)coscoscos(RdxdyQdzdxPdydz 通量可以表示为通量可以表示为 SSRdxdyQdzdxPdydzSdA-44-例例1 设由矢径设由矢径kzjyixr 构成的矢量场中，构成的矢量场中，有有一由半球面一由半球面224yxz 及平面及平面0 z所围成的封所围成的封闭曲面闭曲面,S求矢量场求矢量场r从从S内穿出内穿出S的通量。的通量。解法一解法一以以1S表示表示S球面部分，球面部分，2S表示表示S的平面部的平面部分，分，则则 SSdr 21SSSdrSdrxzyO1S2S 在在1S上，上，r n,/nrdSnrSdr d

36、SdSr2|112SSdSSdr 16 在在1S上，上，r n,nr dSnrSdr ,0dS-45-0022 SSdSSdr所以所以 16 SSdrxzyO解法二解法二 SSdr Szdxdyydzdxxdydz设设S所围的区域为所围的区域为,dxdydz3 16-46-n A A dS视视A为流速场，为流速场，dS为为 上面元素，上面元素，则则dSnAd A dS dSnAA),cos(|,0),cos(nA,0 d流向流向dS正侧，正侧，,0),cos(nA,0 d流向流向dS负侧，负侧，dSnA为为 d在在 上的叠加（代数和）上的叠加（代数和）0 流向流向 正侧的正侧的 流向流向 负侧

37、的负侧的2)通量为正、负、零的物理意义通量为正、负、零的物理意义-47-0 流向流向 正侧的正侧的 流向流向 负侧的负侧的0 流向流向 正侧的正侧的 流向流向 负侧的负侧的特别特别 为封闭曲面的外侧为封闭曲面的外侧0 流出的流出的 流入的，流入的，内有内有“泉泉”0 流出的流出的 流入的，流入的，内有内有“汇汇”0 流出的流出的 流入的。流入的。“正源正源”“负源负源”例例2 在点电荷在点电荷q所产生的电场中，所产生的电场中，任何一点任何一点M处的处的电位移矢量为电位移矢量为 rrqD24-48-rr 其中其中r为点电荷为点电荷q到点到点M的距离，的距离，r为由点电荷为由点电荷q指向指向M的单

38、位矢量，的单位矢量，q M设设S为以点电荷为以点电荷q为中心，为中心，R为半径的球面，为半径的球面，求从求从S内穿出内穿出S的电通量。的电通量。解解 在球面在球面S上，上，,Rr n法矢量法矢量与与 r同向，同向，所以所以 SSdD SSdrRq24 SdSRq24 q 由此可见，由此可见，在球面在球面内产生的电通量内产生的电通量S 的源，的源，就是电就是电场中的电量场中的电量.qR n-49-二二 散度散度定义定义),(MAM,V M的闭曲面的闭曲面包围的区域为包围的区域为记体积为记体积为若当区若当区收缩成点收缩成点时时,设有向量场设有向量场在场内作包围点在场内作包围点域域极限极限VSdAM

39、 limAMAdiv则称此极限值为则称此极限值为在点在点处的处的散度散度,记为记为0divA表明该点处有正源表明该点处有正源,0div A表明该点处有负源表明该点处有负源,说明说明:由引例可知由引例可知,散度是通量对体积的变化率散度是通量对体积的变化率,且且1 散度的定义散度的定义-50-0div A表明该点处无源表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度散度绝对值的大小反映了源的强度.,0div A如果如果称向量场称向量场A为为无源场无源场。称数量场称数量场Adiv为向量场为向量场2 散度的在直角坐标下的计算公式散度的在直角坐标下的计算公式定理定理设向量场设向量场kzyxRjzyxQiz

40、yxPA),(),(),(（其中（其中RQP,一阶偏导数连续）一阶偏导数连续）则在点则在点),(zyxM处处的散度为的散度为 Adiv zRyQxPA 的的散度场散度场。A-51-证证由高斯公式由高斯公式A dS RdxdyQdzdxPdydz dxdydzRQPzyx)(由中值定理知，存在由中值定理知，存在 *MVRQPMzyx*)(divlimMA dSAV *)(limMzyxMRQP MzRyQxP)(-52-高斯公式的向量表示式为高斯公式的向量表示式为推论推论1其中其中 是由是由S所围的闭区域。所围的闭区域。推论推论2如果在封闭曲面如果在封闭曲面S内，内，恒有恒有,0div A则则0

41、 SSdA推论推论3如果矢量场如果矢量场A在某个点集上有在某个点集上有或或0div AAdiv不存在，不存在，而在其他点都有而在其他点都有,0div A则对包围这个则对包围这个点集的任意封闭曲面的通量都相等。点集的任意封闭曲面的通量都相等。证证设设AAdiv0div或或 不存在的点集为不存在的点集为,D为场内的包围为场内的包围21SS、D的正向闭曲面。的正向闭曲面。dvA dvASdASdiv-53-S2n D1S2S1n D1S2S1)设设在在2S1S的内部，的内部，的内的内1S2S的外部所形的外部所形成的区域为成的区域为,则则 的正向边界为的正向边界为且在且在,21 SS 上恒有上恒有,0

42、div A由推论由推论1可知可知021 SSnSdA即即 21SSSdASdA部、部、2)如果如果21SS 与与相交，相交，在场内在场内作包围作包围21SS 与与正向闭曲面正向闭曲面,S由由)1可得，可得，1SSdA SSdA 2SSdA-54-例例3 3置于原点置于原点,电量为电量为 q 的点电荷产生的电位移的点电荷产生的电位移rrqD34 .divE求求解解:3ryy 3rzz 3522rxrq5223ryr 5223rzr 0 3rxx,3zyxrq)0(r计算结果与仅原点有点电荷的事实相符计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.)0(r qDdiv矢量为矢量为利用推论利用推论3和例和例2的

43、结果可得：的结果可得：对任意的包围原点的对任意的包围原点的正向闭曲面正向闭曲面,S都有都有.qSdDS -55-个点的任意正向闭个点的任意正向闭由于通量满足叠加的，由于通量满足叠加的，故如果有故如果有n个点电荷个点电荷,kq分别分别位于在位于在n不同的点上，不同的点上，则对包围这则对包围这n曲面曲面,S有穿出有穿出S的电通量的电通量 nkkq1Q 这就是电学中的高斯定理。这就是电学中的高斯定理。根据高斯定理，根据高斯定理，在电荷连续分布的电场中，电位移在电荷连续分布的电场中，电位移矢量矢量D穿出封闭曲面穿出封闭曲面S的通量等于的通量等于S内的电荷的总和，内的电荷的总和，因此因此VSdDDM S

44、limdiv VQMlim-56-即电位移矢量的散度为电场中的电荷分布的体密度。即电位移矢量的散度为电场中的电荷分布的体密度。3 散度运算的基本公式散度运算的基本公式AcAc )()1(c为常数为常数)；auau )()2);(为常矢量为常矢量a;)()3BABA ;)()4uAAuAu uu )()5其中其中222222zyx 称为拉普拉斯算子；称为拉普拉斯算子；.3)6 r-57-三三 平面矢量场的通量与散度平面矢量场的通量与散度n t 设设C为平面上一条有向曲线为平面上一条有向曲线(如果为封闭曲线如果为封闭曲线,其正向为逆其正向为逆时针的时针的),),其法矢量其法矢量n 规定为规定为:将

45、其逆时针旋转将其逆时针旋转90,则与其正则与其正向切向重合向切向重合.1 1 通量的定义通量的定义定义定义 设有平面矢量场设有平面矢量场(),AA M 为场内一条有向为场内一条有向l曲线曲线,为其法向为其法向,n 称曲线积分称曲线积分nlA dl 为矢量场为矢量场()A M 沿法矢沿法矢n 的方向穿过的方向穿过l的通量的通量.Cxyo-58-在直角坐标系下在直角坐标系下(,)(,)AP x y iQ x y j则则l的单位法矢量的单位法矢量cos(,)cos(,)nn x in y j cos(,)cos(,)t y it x j则则nlA dl lA n dl (,)cos(,)(,)cos

46、(,)lP x yt yQ x yt x dl(,)(,)lP x y dyQ x y dx n t Cxyo-59-2 2 散度的定义散度的定义定义定义 设有平面矢量场设有平面矢量场(),AA M 为场内一点为场内一点,M在在场内作环绕场内作环绕M正向闭曲线正向闭曲线,l其所围的平面图形的面积其所围的平面图形的面积记为记为,S当当l缩向点缩向点M时时,比式比式nlA dlS 的极限存在的极限存在,则称此极限为矢量场则称此极限为矢量场()A M 在点在点M处的处的散度散度,记为记为div,A 即即divlimnllMA dlAS -60-设封闭曲线设封闭曲线l所围的区域为所围的区域为,D由格林

47、公式得由格林公式得()lDPQPdyQdxdxdyxy因此可得在直角坐标系下散度的计算公式因此可得在直角坐标系下散度的计算公式:divPQAxy 因此格林公式的矢量表示式为因此格林公式的矢量表示式为divnlDA dlAd 第四节 矢量场的环量与旋度-61-F 一一 环量环量设有力场设有力场),(MFF 为场内的一条有向的封闭为场内的一条有向的封闭l曲线，曲线，dll求质点在场力的作用下，求质点在场力的作用下，沿沿l的正向运转一周所做的功。的正向运转一周所做的功。M F 在曲线在曲线 l 取弧元素取弧元素,dl同时用同时用dl表示其弧长，表示其弧长，在在d l 上正向单位切向量记为上正向单位切

48、向量记为,力力F在在方向的投影记为方向的投影记为,F则质点在力作用下沿则质点在力作用下沿d l 所作所作的功为的功为dlFdW dlF l dF 所以所以 ldlFW ll dF-62-流速场流速场),(Mvv 在单位时间内沿场内的有向闭曲在单位时间内沿场内的有向闭曲线线l 环量为环量为 ll dv磁场强度场磁场强度场),(MHH 通过场内以有向闭曲线通过场内以有向闭曲线l 为为边的有向曲面边的有向曲面S（其法向与（其法向与l 的正向成右手法则的正向成右手法则)的总电的总电流强度为流强度为 ll dH1 环量的定义环量的定义定义定义1 设有矢量场设有矢量场),(MAA l 为场内的一条有向为场

49、内的一条有向闭曲线，闭曲线，称曲线积分称曲线积分 lldlAl dA-63-为矢量场为矢量场A沿有向曲线沿有向曲线l 的的环量环量。在直角坐标系下，在直角坐标系下，设设kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),(dll d dlkzjyix),cos(),cos(),(cos(kdzjdyidx 则则 ll dA lRdzQdyPdx例例1计算矢量场计算矢量场,kj xi yA 沿场内有向曲线沿场内有向曲线zyzyx ,1222l:的环量，的环量，其中其中l 的方向从的方向从z 轴正轴正向看去是逆时针的。向看去是逆时针的。-64-解解l 的参数方程为的参数方程为tztytxsin22,s

50、in22,cos t 从从0便到便到.2 lldzxdyydxdlA 20)sin22(t)sin(t tcos)cos22(t1 dtt)cos22(2-65-表示其面积，表示其面积，2 环量面密度环量面密度在磁场强度场在磁场强度场)(MHH 沿场内有向闭曲线沿场内有向闭曲线l中，中，的环量等于通过以的环量等于通过以l 边的有向曲面边的有向曲面S的总电的总电流强度，流强度，有有时需要了解场中一点时需要了解场中一点M 处通过任一方向处通过任一方向n 的电流密度的电流密度（即在点（即在点M 处，沿方向处，沿方向n，通过以，通过以n垂直的单位面积垂直的单位面积的电流强度的电流强度)。定义定义2设有