2019年北京卷文数高考试题精确校正版（含答案）.docx

1、绝密绝密本科目考试本科目考试启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合 A=x|10）的离心率是5，则 a= （A）6 （B）4 （C）2 （D） 1 2 （6）设函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 （A）充分而

2、不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7） 在天文学中， 天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述 两颗星的星等与亮度满足 21 2 1 5 2 lg E mm E ， 其中星等为 k m的星的亮度为 k E（k=1,2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与 天狼星的亮度的比值为 （A）1010.1 （B）10.1 （C）lg10.1 （D） 10.1 10 （8）如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB是锐角，大小为.图中阴影区 域的面积的最大值为 （A）4+4cos （B）4+4sin （C）2

3、+2cos （D）2+2sin 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分。 （9）已知向量a=（4，3），b=（6，m），且ab，则 m=_ （10）若 x，y 满足 2, 1, 4310, x y xy 则y x 的最小值为_，最大值为_ （11）设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为_ （12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长 为 1，那么该几何体的体积为_ （13）已知 l，m 是平面外的两条不同直线给出

4、下列三个论断： lm；m；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_ （14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价 达到 120 元，顾客就少付 x 元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80% 当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付_元； 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为 _ 三三、解答题共解答题共 6 小题，共小

5、题，共 80 分分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题 13 分） 在ABC 中，a=3，2bc ，cosB= 1 2 （）求 b，c 的值； （）求 sin（B+C）的值 （16）（本小题 13 分） 设an是等差数列，a1=10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列 （）求an的通项公式； （）记an的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值 （17）（本小题 12 分） 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了 解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所

6、有的 1000 名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金 额分布情况如下： 支付金额 支付方式 不大于 2 000 元 大于 2 000 元 仅使用 A 27 人 3 人 仅使用 B 24 人 1 人 （）估计该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数； （）从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2 000 元的概率； （）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 B 的学生中随机抽查 1 人， 发现他本月的支付金额大于 2 000 元结合（）的

7、结果，能否认为样本仅使用 B 的学生中本月支付金 额大于 2 000 元的人数有变化？说明理由 （18）（本小题 14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面 ABCD，底部 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点 （）求证：BD平面 PAC； （）若ABC=60，求证：平面 PAB平面 PAE； （）棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？说明理由 （19）（本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab 的右焦点为(1,0)，且经过点 (0,1)A （）求椭圆 C 的方程； （）设 O 为原点，直线:(1)l ykxt t 与椭圆 C 交于两个不同点 P，

8、Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|ON|=2，求证：直线 l 经过定点 （20）（本小题 14 分） 已知函数 32 1 ( ) 4 f xxxx （）求曲线( )yf x的斜率为 1 的切线方程； （）当 2,4x 时，求证：6( )xf xx； （）设( ) |( )()|()F xf xxaaR，记( )F x在区间 2,4上的最大值为 M（a），当 M（a） 最小时，求 a 的值 （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 绝密启用前绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试

9、年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）参考答案数学（文）（北京卷）参考答案 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1.【答案】C 【解析】根据并集的求法直接求出结果. 【详解】 | 12, | 1AxxBx ， (1,)AB ， 故选 C. 【点睛】考查并集求法，属于基础题. 2.【答案】D 【解析】题先求得z，然后根据复数的乘法运算法则即得. 【详解】z2i,z z(2i)(2i)5 故选 D. 【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 3.【答案】A 【解析】根据函数图像性质可得出结果. 【详解】函数 1 2 2 ,log x yyx ， 1

10、 y x 在区间(0,) 上单调递减， 函数 1 2 yx 在区间(0, )上单调递增，故选 A. 【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴 含数形结合思想，属于容易题. 4.【答案】B 【解析】根据程序框图中的条件逐次运算即可. 【详解】运行第一次， =1k ， 2 2 1 2 3 1 2 s ， 运行第二次，2k ， 2 2 2 2 3 22 s ， 运行第三次，3k ， 2 2 2 2 3 22 s ， 结束循环，输出=2s ，故选 B. 【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查. 5.【答案】D 【解析】

11、本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于 A的方程求解. 【详解】分析：详解： 双曲线的离心率5 c e a ， 2 1ca ， 2 1 5 a a ， 解得 1 2 a ， 故选 D. 【点睛】对双曲线基础知识和基本计算能力的考查. 6.【答案】C 【解析】根据定义域为 R的函数 ( )f x为偶函数等价于()= ( )fxf x 进行判断. 【详解】0b 时，( )cossincosf xxbxx, ( )f x为偶函数； ( )f x为偶函数时，()= ( )fxf x 对任意的x恒成立， ()cos()sin()cossinfxxbxxbx cossincossinxbxxbx ，得0

12、bsinx 对任意的x恒成立，从而0b.从而“0b”是“ ( )f x为偶函 数”的充分必要条件，故选 C. 【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 7.【答案】D 【解析】先求出 1 2 lg E E ，然后将对数式换指数式求 1 2 E E ， 再求 1 2 E E . 【详解】两颗星的星等与亮度满足 1 21 2 5 lg 2 E mm E , 令 2 1.45m ， 1 26.7m ， 1 21 2 22 1g( 1.4526.7)10.1 55 E mm E ， 10.110.1 12 21 1010 EE EE ， 故选 D. 【点睛】考查考生的数学应用意识

13、、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算. 8.【答案】B 【解析】阴影部分的面积 S=SPAB+ S1- SOAB.其中 S1、 SOAB的值为定值.当且仅当 SPAB取最大值时阴影部分 的面积 S取最大值. 【详解】观察图象可知，当 P 为弧 AB的中点时，阴影部分的面积 S取最大值， 此时BOP=AOP=-, 面积 S最大值为 r2+SPOB+ SPOA=4+ 1 2 |OP|OB|sin （-） + 1 2 |OP|OA|Sin （-） =4+2Sin+2Sin=4+4 Sin，故选 B. 【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有

14、 一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示. 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9.【答案】8. 【解析】利用ab转化得到 0a b 加以计算，得到m. 【详解】向量4,36,abmab （）， （）， 则 04 6 308a bmm ， . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用. 属于容易题. 10.【答案】 (1). 3. (2). 1. 【解析】作出可行域，移动目标函数表示的直线，利用图解法求解. 【详解】作出可行域如图阴影部分所示. 设 z=y-x,则 y=x+z.当直线 l0：y

15、=x+z经过点 A（2,-1）时,z 取最小值-3，经过点 B（2,3）时,z 取最大值 1. 【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了 基础知识、基本技能的考查. 11.【答案】(x-1)2+y2=4. 【解析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果. 【详解】抛物线 y2=4x中，2P=4，P=2， 焦点 F（1,0） ，准线 l的方程为 x=-1， 以 F 为圆心， 且与 l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4. 【点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求

16、出结果. 12.【答案】40. 【解析】画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积. 【详解】在正方体中还原该几何体，如图所示 几何体的体积 V=43- 1 2 （2+4） 2 4=40 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 13.【答案】如果 l，m，则 lm. 【解析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果 l，m，则 lm. 正确； （2）如果 l，lm，则 m.不正确，有可能 m在平面 内； （3）如果 lm，m，则 l.不正确，有可能 l与 斜交

17、、l. 【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 14.【答案】 (1). 130. (2). 15. 【解析】 （1）将购买的草莓和西瓜加钱与 120 进行比较，再根据促销规则可的结果； （2）根据120y、120y 分别探究. 【详解】 （1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒， 需要支付（60+80）-10=130 元. （2）设顾客一次购买水果的促销前总价为 y元， 120y 元时，李明得到的金额为 y 80%，符合要求. 120y 元时，有（y-x）80%y 70%成立， 即 8（y-x）7y，x 8 y ，即 x（ 8 y ）min=15元.

18、所以 x 的最大值为 15. 【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力，有一定难 度. 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） 15.【答案】 （） 7 5 b c ； （） 3 3 14 . 【解析】()由题意列出关于 a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定 b,c的值； ()由题意结合余弦定理、同角三角函数基本关系和诱导公式可得sin BC的值. 【详解】 （）由余弦定理可得 222 1 cos 22 acb B ac ， 因为3a ，所以 22 390cbc；因为2b c ，所以解得 7 5 b c . （）由（）知3,7,5abc，所以 2

19、22 13 cos 214 bca A bc ； 因为A为ABC的内角，所以 2 co 3 3 sin 1 s1 4 AA . 因为 3 3 sin()sin()sin 14 BCAA . 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，同角三角函数基本关系、诱导公式的应用等知识，意在考查学生 的转化能力和计算求解能力. 16.【答案】 （）212 n an； （）当5n或者6n时， n S取到最小值30. 【解析】()由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得 n a的通项公式； ()首先求得 n S的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值. 【详解】 （）设等差数列 n a的公差为d，

20、 因为 234 +10+8+6aaa，成等比数列，所以 2 324 (+8)(+10)(+6)aaa， 即 2 (22)(34)ddd，解得2d ，所以102(1)212 n ann . （）由（）知212 n an, 所以 22 1021211121 11() 224 n n Snnnn ； 当5n或者6n时， n S取到最小值30. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数 列的有关公式并能灵活运用. 17.【答案】 （）400 人； （） 1 25 ； （）见解析. 【解析】()由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数； ()利用古典概

21、型计算公式可得上个月支付金额大于 2000元的概率； ()结合概率统计相关定义给出结论即可. 【详解】 （）由图表可知仅使用 A 的人数有 30 人，仅使用 B 的人数有 25 人， 由题意知 A,B 两种支付方式都不使用的有 5人， 所以样本中两种支付方式都使用的有100 30 25 540 ， 所以全校学生中两种支付方式都使用的有 40 1000400 100 （人）. （）因为样本中仅使用 B 的学生共有 25 人，只有 1 人支付金额大于 2000 元， 所以该学生上个月支付金额大于 2000元的概率为 1 25 . （）由（）知支付金额大于 2000元的概率为 1 25 ， 因为从仅

22、使用 B的学生中随机调查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2000 元， 依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用 B 的学生中本月支付金额大于 2000元的人数有变化，且比上个月多. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力 和计算求解能力. 18.【答案】 （）见解析； （）见解析； （）见解析. 【解析】()由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； ()由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直； ()由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意

23、的点. 【详解】 （）证明：因为PA 平面ABCD,所以PABD； 因为底面ABCD是菱形，所以ACBD; 因为PAACA,PA AC 平面PAC, 所以BD 平面PAC. （）证明：因为底面ABCD是菱形且60ABC，所以ACD为正三角形，所以AECD, 因为/ABCD,所以AEAB； 因为PA 平面ABCD，AE 平面ABCD, 所以AEPA； 因为PAABA 所以AE 平面PAB， AE 平面PAE,所以平面PAB平面PAE. （）存在点F为PB中点时，满足/CF平面PAE；理由如下: 分别取,PB PA的中点,F G，连接,CF FG EG, 在三角形PAB中，/FGAB且 1 2 F

24、GAB； 在菱形ABCD中，E为CD中点，所以/CEAB且 1 2 CEAB，所以 /CEFG且CEFG，即四边形 CEGF为平行四边形，所以/CFEG; 又CF 平面PAE，EG 平面PAE，所以/CF平面PAE 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在 考查学生的转化能力和计算求解能力. 19.【答案】 （） 2 2 1 2 x y； （）见解析. 【解析】()由题意确定 a,b 的值即可确定椭圆方程； ()设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定 OM,ON的表达式，结合韦达定理确定 t的值即可证明直 线恒过定点. 【详解】 （）因为椭

25、圆的右焦点为(1,0)，所以 12 25 ； 因为椭圆经过点(0,1)A,所以1b ，所以 222 2abc，故椭圆的方程为 2 2 1 2 x y. （）设 1122 ( ,),(,)P x yQ xy 联立 2 2 1 2 (1) x y ykxt t 得 222 (1 2k )4220xktxt， 2 1212 22 422 0, 1 21 2 ktt xxx x kk ， 1212 2 2 ()2 12 t yyk xxt k ， 22 22 121212 2 2 () 1 2 tk y yk x xkt xxt k . 直线 1 1 1 :1 y AP yx x ，令0y 得 1 1

26、 1 x x y ，即 1 1 1 x OM y ； 同理可得 2 2 1 x ON y . 因为2OM ON ,所以 1212 121212 2 11() 1 xxx x yyy yyy ； 2 2 1 1 21 t tt ，解之得0t ，所以直线方程为ykx，所以直线l恒过定点(0,0). 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三 角形的面积等问题 20.【答案】 （）0xy和27 27640xy. （）见解析； （）3a

27、. 【解析】()首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程； ()由题意分别证得 60f xx和 0f xx即可证得题中的结论； ()由题意结合()中的结论分类讨论即可求得 a的值. 【详解】 （） 2 3 ( )21 4 fxxx，令 2 3 ( )211 4 fxxx 得0x或者 8 3 x . 当0x时，(0)0f，此时切线方程为y x ，即0xy； 当 8 3 x 时， 88 ( ) 327 f，此时切线方程为 64 27 yx，即2727640xy； 综上可得所求切线方程为0xy和2727640xy. （）设 32 1 ( )( ) 4 g xf

28、 xxxx， 2 3 ( )2 4 g xxx，令 2 3 ( )20 4 g xxx得0x或者 8 3 x ， 所以当 2,0x 时，( )0g x ，( )g x为增函数； 当 8 (0, ) 3 x时，( )0g x ，( )g x为减函数； 当 8 ,4 3 x 时，( )0g x ，( )g x为增函数； 而(0)(4)0gg，所以( )0g x ，即( )f xx； 同理令 32 1 ( )( )66 4 h xf xxxx，可求其最小值为( 2)0h ，所以( )0h x ，即( )6f xx， 综上可得6( )xf xx. （）由（）知6( )0f xx ， 所以( )M a是,6a a中的较大者， 若6aa，即3a时，( )3M aaa ； 若6aa，即3a时，( )663M aaa； 所以当( )M a最小时，( )3M a ，此时3. 【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学 思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.