2019年全国卷Ⅲ理数高考试题精确校正版（含答案）.doc

1、绝密绝密启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。要求的。 1.已知集合 1,0,1,2

2、A ， 2 |1Bx x，则AB （） A. 1,0,1 B.0,1C. 1,1 D.0,1,2 2.若(1 )2zii ，则z （） A.1 i B.1 i C.1 i D.1 i 3.西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某 中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 名学生，其中阅读过西游记或红楼梦 的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共 有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8 4. 24 (12)(1)

3、xx的展开式中 3 x的系数为（） A.12B.16C.20D.24 5.已知各项均为正数的等比数列 n a的前 4 项和为 15，且 531 34aaa，则 3 a （） A.16B.8C.4D.2 6.已知曲线ln x yaexx在(1, )ae处的切线方程为2yxb，则（） A.,1ae b B.,1ae bC. 1, 1aeb D. 1, 1aeb 7.函数 3 2 22 xx x y 在 6,6 的图像大致为（） 8.如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD 为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的 中点，则（） A.BMEN，且直线BM，EN是相交直线 B.BMEN，且直

4、线BM，EN是相交直线 C.BMEN，且直线BM，EN是异面直线 D.BMEN，且直线BM，EN是异面直线 9.执行右边的程序框图，如果输入的为 0.01，则输出s的值等于（） A. 4 1 2 2 B. 5 1 2 2 C. 6 1 2 2 D. 7 1 2 2 10.双曲线 22 1 42 xy C：的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点.若PO PF，则 PFO的面积为（） A. 3 2 4 B. 3 2 2 C.2 2D.3 2 11.设 ( )f x是定义域为R的偶函数，且在0,（）单调递减，则（） A. 23 32 3 1 (log)(2)(2) 4 fff B. 23

5、 32 3 1 (log)(2)(2) 4 fff C. 23 32 3 1 (2)(2)(log) 4 fff D. 23 32 3 1 (2)(2)(log) 4 fff 12.设函数( )sin()( 0) 5 f xx ，已知( )f x在0,2有且仅有 5 个零点，下述四个结论： ( )f x在(0,2 )有且仅有 3 个极大值点； ( )f x在(0,2 )有且仅有 2 个极小值点； ( )f x在(0,) 10 单调递增； 的取值范围是 12 29 ,) 5 10 . 其中所有正确结论的编号是（） A.B.C.D. 二二、填空题填空题：本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小

6、题 5 5 分分，共共 2 20 0 分分. . 13.已知, a b为单位向量，且0a b ，若25cab，则cos, a c_. 14.记 n S为等差数列 n a的前n项和，若 1 0a ， 21 3aa，则 10 5 S S _. 15.设 12 F F,为椭圆 22 :1 3620 xy C的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若 12 MFF为等腰三角形， 则M的坐标为_. 16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模 型为长方体 1111 ABCDABC D挖去四棱锥OEFGH后所得的几 何体，其中O为长方体的中心，E F G H, , ,分别为所在棱的中点，

7、6ABBCcm， 1 4AAcm.3D打 印 所 用 的 材 料 密 度 为 3 0.9 /g cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 _g. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.（12 分） 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成A

8、B,两组，每组 100 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度 相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如下直 方图： 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到P C（ ）的估计值为 0.70. （1）求乙离子残留百分比直方图中a b,的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. 18.（12 分） ABC的内角A B C, ,的对边分别是a b c, ,，已知sin= sin 2 AC abA . （1）求B； （

9、2）若ABC为锐角三角形，且1c，求ABC面积的取值范围. 19.（12 分） 图 1 是由矩形ABED，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中1AB ，2BEBF， 60FBC.将其沿AB BC,折起使得BE与BF重合.连结DG，如图 2. （1）证明：图 2 中的A C G D, , ,四点共面，且平面ABC 平面BCGE； （2）求图 2 中的二面角B CGA的大小. 20.（12 分） 已知函数 32 ( )2f xxaxb. （1）讨论( )f x的单调性； （2）是否存在a b,，使得( )f x在区间0,1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a b,的所有值；若 不存

10、在，说明理由. 21.（12 分） 已知曲线 2 : 2 x C y ，D为直线 1 2 y 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A B,. （1）证明：直线AB过定点； （2）若以 5 (0, ) 2 E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分，请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 如图，在极坐标系Ox中，(2,0)A，( 2,) 4 B ， 3 ( 2,) 4 C ，(2

11、, )D ，弧AB，BC，CD所在的圆的 圆心分别是(1,0)，(1,) 2 ，(1, ) ，曲线 1 M是弧AB，曲线 2 M是弧BC，曲线 3 M是弧CD. （1）分别写出 123 MMM,的极坐标方程； （2）曲线M由 123 MMM,构成，若点P在M上，且3OP ，求P的极坐标. 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 设x y zR, ,，且1xyz. （1）求 222 (1)(1)(1)xyz的最小值； （2）若 222 1 (2)(1)() 3 xyza成立，证明：3a 或1a . 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题：一、选择题： 1.【答

12、案】A 【分析】先求出集合 B 再求出交集. 【详解】 2 1,x 11x ， 11Bxx ，则1,0,1AB ，故选 A 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 2.【答案】D 【分析】根据复数运算法则求解即可. 【详解】 () ( 2i2i1 i 1 i 1 i1 i 1 i)() z 故选 D 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养采取运算法则法，利用方程思想解题 3.【答案】C 【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】 由题意得， 阅读过 西游记 的学生人数为 90-80+60=70， 则其与该校学生人数之比为 70 100=0.7 故 选 C 【

13、点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养采取去重法，利用转化与化归思想 解题 4.【答案】A 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数 【详解】由题意得 x3的系数为 31 44 24812CC，故选 A 【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 5.【答案】C 【分析】利用方程思想列出关于 1, aq的方程组，求出 1, aq，再利用通项公式即可求得 3 a的值 【详解】设正数的等比数列an的公比为q，则 23 1111 42 111 15, 34 aa qa qa q a qa qa ， 解得 1 1, 2 a q ， 2 31

14、 4aa q，故选 C 【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。 6.【答案】D 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a，将点的坐标代入直线方程，求得b 【 详 解 】 详 解 ：ln1, x yaex 1 |12 x kyae ， 1 ae， 将(1,1)代 入 2yxb 得 21,1bb ，故选 D 【点睛】本题关键等到含有 a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系。 7.【答案】B 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f的近似值即可得出结果 【详解】设 3 2 ( ) 22 xx x yf x ，则 33 2

15、()2 ()( ) 2222 xxxx xx fxf x ，所以 ( )f x是奇函数，图象 关于原点成中心对称，排除选项 C又 3 44 2 4 (4)0, 22 f 排除选项 D； 3 66 2 6 (6)7 22 f ，排除选项 A，故选 B 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择本题较易， 注重了基础知识、基本计算能力的考查 8.【答案】B 【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题 【详解】如图所示， 作EOCD于O，连接ON，过M作MFOD于F 连BF，平面CDE 平面ABCD ,EOCD EO平面CDE， EO平面ABCD，MF 平

16、面ABCE， MFB与EON均为直角三角形设正方形边长为 2，易知3,012EONEN， 35 ,7 22 MFBFBMBMEN，故选 B 【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性。 9.【答案】D 【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果. 【详解】输入的为0.01，1.0,0.50.01?xSx不满足条件； 11 0 1,0.01? 24 Sx 不满足条件；， 6 111 0 1,0.00781250.01? 22128 Sx 满足条件， 输出 67 111 12 1 222 S ，故选 D 【点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定

17、数据分析 10.【答案】A 【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采 取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题 【详解】由 22 2,2 ,6 ,abcab 6 , 2 P POPFx，又 P在 C的一条渐近线上， 不妨设为在 b yx a 上， 1133 2 6 2224 PFOP SOFy ，故选 A 【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的 高，便可求三角形面积 11.【答案】C 【分析】由已知函数为偶函数，把 23 32 3 1 log,2,2 4 fff ，转化为同一个单调区

18、间上，再比较大 小 【详解】 f x是 R 的偶函数， 33 1 loglog 4 4 ff 233 0 322 333 log 4log 31,122,log 422 ，又 f x在(0，+)单调递减， 23 32 3 log 422fff ， 23 32 3 1 22log 4 fff ，故选 C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值 12.【答案】D 【分析】本题三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求大，理解深度高， 考查数形结合思想 【 详 解 】( )sin(0) 5 f xwxw ， 在 0 , 2有 且 仅

19、 有5 个 零 点 02x ， 1 2 555 wxw ，12 29 510 w，正确如图 2 13 ,x xx为极大值点为 3个，正确；极小值点为 2 个或 3 个不正确 当0 10 x 时， 5105 w wx f ，当 29 10 w 时， 292049 1051001001002 w 正确，故选 D 【点睛】极小值点个数动态，易错，正确性考查需认真计算，易出错 二、填空题二、填空题 13.【答案】 2 3 . 【分析】根据 2 | |c结合向量夹角公式求出| | c，进一步求出结果. 【详解】因为25cab，0a b，所以 2 25a caa b2 ， 222 | |4| |4 55|

20、9caa bb，所以| 3c ，所以cos ,a c 22 1 33 a c a c 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想 得出答案 14.【答案】4. 分析】根据已知求出 1 a和d的关系，再结合等差数列前 n 项和公式求得结果. 【详解】因 21 3aa，所以 11 3ada，即 1 2ad，所以 10 5 S S 1 1 1 1 10 9 10 100 2 4 5 4 25 5 2 ad a a ad 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算渗透了数学运算素养使用转化思想得出答案 15.【答案】3, 15 【分析】根据椭圆的定义

21、分别求出 12 MFMF、，设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标. 【详解】由已知可得 22222 36,36,16,4abcabc ， 112 28MFFFc 2 4MF 设点M的坐标为 0000 ,0,0xyxy，则 1 2 1200 1 4 2 MF F SFFyy ， 又 1 2 22 0 1 4824 15 ,44 15 2 MF F Sy ，解得 0 15y ， 2 2 0 15 1 3620 x ，解得 0 3x （ 0 3x 舍去） ，M的坐标为 3, 15 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直 观想象、逻辑推理等数

22、学素养 16.【答案】1188 【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质 量. 【详解】由题意得， 2 1 4 642 312 2 EFGH Scm ， 四棱锥 OEFG的高 3cm， 2 1 12 312 3 O EFGH Vcm 又长方体 1111 ABCDABC D的体积为 2 2 4 6 6144Vcm ， 所以该模型体积为 2 21 144 12132VVVcm，其质量为0.9 132118.8g 【点睛】本题考查几何体体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解 三、解答题三、解答题 17.【分析】(1)由

23、( )0.70P C 可解得a和b的值；(2)根据公式求平均数. 【详解】(1)由题得0.20 0.150.70a，解得0.35a，由0.050.151( )1 0.70bP C ，解得 0.10b. (2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为 0.15 2 0.20 3 0.30 4 0.20 5 0.10 6 0.05 74.05 ， 乙离子残留百分比的平均值为0.05 3 0.10 4 0.15 5 0.35 6 0.20 7 0.15 86 【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题. 18.【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于 B 的三角方程，最后根据

24、 A,B,C 均为三角形内角解得 3 B .(2)根据三角形面积公式 1 sin 2 ABC SacB， 又根据正弦定理和 12 25 得到 ABC S关于C的函数， 由于 VABC是锐角三角形，所以利用三个内角都小于 2 来计算C的定义域，最后求解( ) ABC SC的值域. 【详解】(1)根据题意sinsin 2 AC abA 由正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA ，因为0A， 故sin0A，消去sin A得sinsin 2 AC B 。 0B，0 2 AC 因为故 2 AC B 或者 2 AC B ，而根据题意ABC，故 2 AC B 不成立，所以 2 AC B ，又因

25、为ABC，代入得3B，所以 3 B . (2)因为VABC是锐角三角形，又由前问 3 B ，, 62 A C ，ABC得到 2 3 AC，故 62 C 又应用正弦定理 sinsin ac AC ， 12 25 ，由三角形面积公式有 22 2 sin() 111sin3 3 sinsinsin 222sin4sin ABC C aA SacBcBcB cCC 22 sincoscossin 332233 33 (sincotcos)cot 4sin43388 CC CC C .又因 62 C ,故 333333 cotcot 88288682 ABC S ，故 33 82 ABC S . 故 A

26、BC S的取值范围是 33 (,) 82 【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求 解） ，最后考查VABC是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题. 19.【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED，Rt ABC和菱形BFGC内部的夹角，所以/ADBE， /BFCG依然成立，又因E和F粘在一起，所以得证.因为AB是平面BCGE垂线，所以易证.(2)在图中 找到B CGA对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑B关于GC的垂线，发现此垂足与A的连线 也垂直于CG.按照此思路即证. 【详解】(1)证：/ADBE，/BFCG

27、，又因为E和F粘在一起. /ADCG，A，C，G，D四点共面. 又,ABBE ABBC. AB平面 BCGE，AB 平面 ABC，平面 ABC平面 BCGE，得证. (2)过 B 作BHGC延长线于 H，连结 AH，因为 AB平面 BCGE，所以AB GC 而又BHGC，故GC 平面HAB，所以AHGC.又因为BHGC所以BHA是二面角 B CGA的平面角，而在BHC中90BHC，又因为60FBC故60BCH，所以 sin603BHBC . 而在ABH中90ABH, 1 arctanarctan30 3 AB BHA BH ， 即二面角B CGA的度数为30. 【点睛】很新颖的立体几何考题。首

28、先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的。再者 粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法。最后将求二面角转 化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力。 20.【分析】(1)先求 ( )f x的导数，再根据a的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据a的各种范围，利用函 数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出a,b的值. 【详解】(1)对 32 ( )2f xxaxb求导得 2 ( )626 () 3 a fxxaxx x.所以有 当0a 时，(,) 3 a 区间上单调递增，(,0) 3 a 区间上单调递减，(0,)区间上单调递增； 当0a

29、 时，(,) 区间上单调递增； 当0a时，(,0)区间上单调递增，(0,) 3 a 区间上单调递减，(,) 3 a 区间上单调递增. (2)若 ( )f x在区间0,1有最大值 1 和最小值-1，所以 若0a ，(,) 3 a 区间上单调递增，(,0) 3 a 区间上单调递减，(0,)区间上单调递增； 此时在区间0,1上单调递增，所以(0)1f ，(1)1f代入解得1b，0a ，与0a 矛盾，所以0a 不成立. 若0a ，(,) 区间上单调递增；在区间0,1.所以(0)1f ，(1)1f代入解得 0 1 a b . 若02a，(,0)区间上单调递增，(0,) 3 a 区间上单调递减，(,) 3

30、 a 区间上单调递增. 即 ( )f x在区间(0,) 3 a 单调递减，在区间(,1) 3 a 单调递增，所以区间0,1上最小值为( ) 3 a f 而(0),(1)2(0)fb fabf，故所以区间0,1上最大值为(1)f. 即 )3)2 33 2(1 21 aa ab ab 相减得 3 22 27 a a，即(3 3)(3 3)0a aa，又因为02a，所以无 解. 若23a，(,0)区间上单调递增，(0,) 3 a 区间上单调递减，(,) 3 a 区间上单调递增. 即 ( )f x在区间(0,) 3 a 单调递减，在区间(,1) 3 a 单调递增，所以区间0,1上最小值为( ) 3 a

31、 f 而(0),(1)2(0)fb fabf，故所以区间0,1上最大值为(0)f. 即 )3)2 33 2(1 1 aa ab b 相减得 3 2 27 a ，解得 3 3 2x ，又因为23a，所以无解. 若3a ，(,0)区间上单调递增，(0,) 3 a 区间上单调递减，(,) 3 a 区间上单调递增. 所以有 ( )f x区间0,1上单调递减，所以区间0,1上最大值为(0)f ，最小值为(1)f 即 1 21 b ab 解得 4 1 a b . 综上得 0 1 a b 或 4 1 a b . 【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少。考查的函数单调性，最 大

32、值最小值这种基本概念的计算。思考量不大，由计算量补充。 21.【分析】可用解析法和几何法证明。解析法可设 A，B 两点的坐标分别为 11 ( ,)x y， 22 (,)xy，然后求出 A，B两点处的切线，两条切线交于直线 1 2 y 之上，所以交点的纵坐标为 1 2 联立方程可解 1 x和 2 x的关系。 之后用两点式求出直线AB方程， 最后根据直线AB方程求出它所过的定点.(2) 应用四边形面积公式，代入化简出关于 1 x和 2 x的对称式。然后分情况讨论求解。如果不知道四面下面积公 式则可以将四边形分成两个三角形求面积之后做和，但会稍微麻烦一些。 （此题若用向量积的概念则更为容 易） 【详

33、解】(1)证明：设 A，B两点的坐标分别为 11 ( ,)x y， 22 (,)xy，因为 2 1 2 yx，所以yx， 则切线 DA为： 111 ()yyx xx-，切线 DB为： 222 ()yyxxx-， 代入 2 1 2 yx得 22 111 22 222 1 2 1 2 yxx xx yxx xx ， 21 xx得 211212 1 ()()0 2 xx yx x xx，因为 12 0xx故消去得交点的纵坐标 12 1 2 yx x， 因为 DA和 DB 的交点 D为直线 1 2 y 上的动点，所以有 12 11 22 yx x ， 12 1x x ， 直线 AB为 11 2121

34、yyxx yyxx ，点 A，B 在曲线 2 2 x y 上，则有 2 1 1 22 2121 2 22 x y xx xxxx ，整理得 2 1 121121212 111 ()()()() 2222 x yxxxxx xxx xxx x ，即 12 1 ()()0 2 xxxy.当0x， 1 2 y 时无论 1 x, 2 x取何值时，此等式均成立。因此直线 AB 过定点 1 (0,) 2 ，得证。 (2)设 AB的中点为 G，由题得 G点坐标为 1212 (,) 22 xxyy ，则 1212 5 (0,) 222 xxyy EG ，又 1212 (,)BAxx yy.由题意知EGBA，即

35、0EG BA即 1212 1212 5 ()()()()0 222 xxyy xxyy .代入 2 1 2 yx得 22 2222 12 1212 151 ()()()0 2422 xx xxxx 整理得 22 121212 ()()(6)0xxxxxx. 因 12 0xx，故 22 1212 ()(6)0xxxx.所以 12 0xx或 22 12 60xx. 由第一问中 22 111 22 222 1 2 1 2 yxx xx yxx xx ，为这里的( , )x y为 D点坐标,然而 1 2 y ,故 22 111 11 22 xx xx，所以 1 1 11 () 2 xx x ，又因为

36、12 1x x .所以 12 1112 11 1111 ()()() 222 x x xxxxx xx 。即 D坐标为 12 11 ( (),) 22 xx. 那么 1212 (,)BAxx yy, 12 1 (),3) 2 EDxx. 设为BA与ED的夹角，那么有 22 2222 22222 121212121212 111 sin(1 cos)() 222 111 ()() ()9()()3() 242 ADBE SBA EDBAEDBAEDBA ED xxyyxxxxxxyy 四边形 代入 2 1 2 yx进行化简有 4 22 12 1212 ()1 ()93() 216 ADBE xx

37、 Sxxxx 四边形 若 12 0xx，则 22 121212 13 ()9()43 22 ADBE Sxxxxx x 四边形 . 若 22 12 60xx，则 222 121212 ()24xxxxx x, 222 121212 ()28xxxxx x 代入有 2 134 8 (94)4 2 2216 ADBE S 四边形 . 所以四边形 ADBE的面积为 3或4 2. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就 可以。思路较为清晰，但计算量不小。 22.【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范围

38、. (2)根据条件3逐个方程代入求解，最后解出P点的极坐标. 【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是 2，并且都过原点. 1: 2cos (0,) 4 M ， 2 3 :2cos()2sin (,) 244 M , 3 3 :2cos()2cos (, ) 4 M . (2)解方程2cos3(0, ) 4 得 6 ，此时 P 的极坐标为( 3,) 6 解方程 3 2sin3(,) 44 得 3 或 2 3 ，此时 P 的极坐标为( 3,) 3 或 2 ( 3,) 3 解方程 3 2cos3(, ) 4 得 5 6 ，此时 P 的极坐标为 5 ( 3,) 6 故 P 的极坐标为( 3,) 6

39、 ,( 3,) 3 , 2 ( 3,) 3 , 5 ( 3,) 6 . 【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题. 23.【分析】(1)根据条件 1xyz，和柯西不等式得到 222 4 (1)(1)(1) 3 xyz，再讨论 , ,x y z是 否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的 , ,x y z代入原不等式，便可得到 参数a的取值范围. 【详解】(1) 22222222 (1)(1)(1) (111 )(1)(1)(1)(1)4xyzxyzxyz 故 222 4 (1)(1)(1) 3 xyz等号成立当且仅当111xy

40、z 而又因1xyz，解得 5 3 1 3 1 3 x y z 时等号成立，所以 222 (1)(1)(1)xyz的最小值为 4 3 . (2)因为 222 1 (2)(1)() 3 xyza，所以 222222 (2)(1)() (111 )1xyza. 根据柯西不等式等号成立条件，当21xyza ，即 2 2 3 2 1 3 2 3 a x a y a za 时有 22222222 (2)(1)() (111 )(21)(2)xyzaxyzaa 成立. 所以 2 (2)1a成立，所以有3a或1a. 另解：用反证法. 若3a或1a不成立，那么13a成立，则 2 (2)1a， 而 2222222 (2)(1)() (111 )(21)xyzaxyza ， 左面等号成立当且仅当21xyza ，又因为1xyz， 所以 2 21 3 a xyza . 故此时 22222222 (2)(1)() (111 )(21)(2)1xyzaxyzaa , 即 222 1 (2)(1)() 3 xyza，与原命题矛盾. 【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.