二次函数背景下的线段和差及最值问题(1).pdf

1、学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题 二次函数背景下的线段和差及最值问题 【典例选讲】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C， 点 D 是抛物线的顶点 （1）设点 P 是对称轴上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （2）在直线BC上是否存在一点Q，使QAO的周长最小？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 M 是抛物线对称轴上的一动点，当|AMCM|的值最大时，求出点 M 的坐标； （4）若点 N 是抛物线对称轴上的一动点，点|BNCN|的值最大时，

2、求点 N 的坐标； （5）若点 T 是 x 轴上的一个动点，当|BTDT|的值最小时，求点 T 的坐标； （6）若点 E 在 x 轴上，且使得 CE+ 3 1 BE 最小，求点 E 的坐标； （7） 已知点K(4， 0)， 将OK绕点O逆时针旋转得到OK， 旋转角为(090 )， 连接BK、 CK， 求BK+ 3 4 CK 的最小值 【解析】 （1）解：当 y=0 时，-x2+2x+3=0，x1= -1，x2=3 当 x=0 时，y=3，A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3) 抛物线的对称轴为：x=1 点 A、B 关于对称轴对称 连接 BC 交对称轴于点 P，则 P 为满足条件的点 BC

3、的解析式为：y= -x+3，当 x=1 时，y=2 P(1，2) （2）作点 O 关于直线 BC 的对称点O 连接AO交 BC 于点 Q，则 Q 为满足条件的点 BC 的解析式为 y=-x+3，B(3，0) ABC=45，ABO=90，OB=OB=3，O(3，3) 设AO的解析式为 y=k1x+b1 学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题 11 11 0 33 kb kb ， 11 33 44 kb，AO的解析式为 33 44 yx 33 44 3 yx yx ， 912 77 xy， 9 12 () 77 Q， （3）设 AC 与对称轴的交点为 M，则

4、M 为满足条件的点 |AMCM|=CM 最大 A(-1，0)，C(0，3) 直线 AC 的解析式为：y=3x+3 当 x=1 时，y=6，M(1，6) （4）点 A、B 关于对称轴 x=1 对称 |BNCN|=|AN-CN|=CN 最大 由(3)知 N(1，6) （5）取 BD 的中点 R，过点 R 作 BD 的垂线交 x 轴于 T， |BTDT|=0，T 为满足条件的点 D(1，4)，B(3，0）R(2，2) DB 的解析式为：y=-2x+6 RT 的解析式为： 1 1 2 yx 当 y=0 时， 1 012 2 xx ， T(-2，0) （6）在 y 轴上取点 G，使 OG:BG=1:3，

5、 作 CEBG 交 x 轴于 E，交 BG 于 F 设 OG=a，BG=3a，则 22 2 2OBBGOGa 2 tantan 42 2 a OCEOBG a 23 2 344 OE OE， 3 2 (0) 4 E， （7）在 y 轴上取点 N，使 2 k OOCON，连接 BN OC=3，4K OOK， 16 3 ON ， 4 3 OKON OCOK COKK ON ， 学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题 COKK ON 4 3 4 3 NKOK CKOC NKCK， 4 3 BKCKBKNKBN B、K，N 三点共线时， 4 = 3 BKCKBKN

6、KBN最小 22 20 3 BNOBON 4 3 BKCK的最小值为 20 3 【精讲精练】 1 （2014绵阳）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点( 23)M ，顶点坐标为 4 3 ( 1) 3 N ，且与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点 （1）求抛物线的解析式； （2）在直线 AC 上是否存在一点 Q，使QBM 的周长最小？若存在，求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理 由 【解析】 （1）抛物线顶点坐标为 4 3 ( 1) 3 N ，设解析式为 2 4 3 (1) 3 ya x 2 4 33 3( 21), 33 aa 抛物线的解析式为 2 34 3 (

7、1) 33 yx 或 2 32 3 3 33 yxx （2）延长 BC 至B，使CBCB，连接MB交 AC 于点 Q 当 y=0 时， 2 34 3 0(1) 33 x ，x1=1，x2=-3 (1 0)( 3 0)(03)ABC， ， ，OA=1，OB=3，3OC 2222222 3( 3)121( 3)4,16BCACAB， BC2+AC2=AB2，90BCA 学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题 点 B、B关于直线 AC 对称，点 Q 为满足条件的点 由中点坐标公式得(3 2 3)B， M（2，3） B M的解析式为： 37 3 55 yx，AC

8、的解析式为：33yx 37 3 55 33 yx yx ， 14 3 33 xy ， 1 4 3 () 33 Q ， 2 （2014成都）如图，已知抛物线)4)(2( 8 xx k y（k为常数，且0k）与x轴从左至右依次交于 A，B 两点，与y轴交于点 C，经过点 B 的直线bxy 3 3 与抛物线的另一交点为 D （1）若点 D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点） ，连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止当点 F

9、 的坐标是 多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？ 【解析】 （1）作 DEx 轴于 E，设 BD 交 y 轴于 G， 当 y=0 时，(2)(4)0 8 k xx x1=-2，x2=4，A(-2，0)，B(4，0)， OE=5，OB=4，BE=9，OG=b 27 ( 52)( 54) 88 k yk OGDE，BOGBED， 4 , 27 3 9 8 2 OGBOb DEBE k k b， 275 338 3 8329 kkk， 抛物线的解析式为 3 (2)(4) 9 yxx 学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题 （2）由（1）知， 278 3 3

10、 3 89 DE 3 33 tan 93 DE DBE BE ，30DBE 作 DQx 轴交 y 轴于 Q，AF 交 DQ 于 P QDB=DBE=30 当 APDQ 时， 1 2 PFDF， 1 2 AFDFAFPFAP最短，运动时间最少 3 2 3( 3 2 2 3)FAFAB， 3 （2016济南）如图 1，抛物线 yax2(a3)x3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m，0） （0m4） ，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PMAB 于点 M （1）求 a 的值和直线 AB 的函数表

11、达式； （2）设PMN 的周长为 C1，AEN 的周长为 C2，若 1 2 C C 6 5 ，求 m 的値； （3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE，旋转角为(090)，连接 EA、 EB，求 EA2 3EB 的最小值 【解析】 （1）把点 A（4，0）代入 yax2(a3)x3，得 16a4(a3)30解得 3 4 a 抛物线的函数表达式为： 2 39 3 44 yxx 把 x=0 代入上式，得 y=3 点 B 的坐标为（0，3） AB 的函数表达式为： 3 3 4 yx （2）由已知得，OE=m，AE=4-m， 2 39 3 44 PEmm ， 3

12、3 4 ENm ， 2 35 3 ,(4) 44 PNPEENmm ANm 学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题 ,PEOA PMABANEPNM ，PMNAEN 1 2 6 5 CPN CAN ， 1 2 2 3 3 6 4 ,4 5 5 (4) 2 4 m m m m m （不合题意，舍去） ， m 的值为 2 （3）在 y 轴上取点 F，使 2 E OOFOB，连接 AF OE=OE=2，OB=3， 42 , 33 OFOE OF OEOB ， 1=1EOFBOE 2 , 3 2 3 E FOF E B E FE B OE ， 2 3 E AE BE AE FAF 22 4 10 3 AFOFOA 当 A，E，F 三点共线时， 2 = 3 E AE BE AE F AF最小，其值为 4 10 3