第四章-平面任意力系-工程力学-教学课件.ppt

1、工工 程程 力力 学学B1CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 4-2 4-2 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化一、力线平移定理一、力线平移定理定理的表述定理的表述：作用于刚体的力作用于刚体的力 F F 可等效地平移到刚体可等效地平移到刚体上的任一点上的任一点O，但须但须附加一力偶附加一力偶，此附加，此附加力偶矩力偶矩 M 等于原力对平移点等于原力对平移点O 的矩。的矩。FFF)(FOMFdMOPdFMPFodPFodFF CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY二、平面任意力系

2、的简化二、平面任意力系的简化简化过程：简化过程：将力系向已知点将力系向已知点 O 简化简化 O 点称为点称为简化中心。简化中心。OoFM力线平移力线平移合成汇交力系合成汇交力系合成力偶系合成力偶系结论：结论：平面一般力系平面一般力系向向一点一点O简化简化一个力偶一个力偶M一个力一个力oF作用于简化中心作用于简化中心O作用于原力系平面内作用于原力系平面内P1P2PnO1FM1M22FnFMnoP11FPnnFP22FCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYnoFFFF21nFFF21iFnMMMM21)()()(21nOOOMMMFFF)(iOMFOM主

3、矢与主矢与简化点简化点O位置无关位置无关主主矩与简化点矩与简化点O位置有关位置有关 （包括大小和转向）（包括大小和转向）原力系的主矢原力系的主矢RF原力系对原力系对O点的主矩点的主矩oMOoFM力线平移力线平移合成汇交力系合成汇交力系合成力偶系合成力偶系P1P2PnO1FM1M22FnFMnoP11FPnnFP22FRFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYyiRyxiRxFFFF,主矢的投影：主矢的投影：主矢的大小：主矢的大小：22)()(yixiRFFF主矢的方向：主矢的方向：RyiRRxiRFFyFFFx),cos(,),cos(F 主矩的计算

4、：主矩的计算：)(iOOMMF主矢的计算：主矢的计算：ORFMxyRxFRyFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY固定端约束固定端约束：特点：特点：既能限制物体移动，既能限制物体移动，又能限制物体转动。又能限制物体转动。RAFAxFAyF固定端约束除了约束力固定端约束除了约束力 和和 外，还有矩为外，还有矩为 的约束力的约束力偶。而固定铰链支座没有约束力偶，因为它不限制物偶。而固定铰链支座没有约束力偶，因为它不限制物体在平面内转动体在平面内转动 AxFAMAyFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY三、平

5、面任意力系的合成结果三、平面任意力系的合成结果（1 1）主矢和主矩都等于零，即：0,0ORMF原力系与零力系原力系与零力系等效，即等效，即原力系为平衡力系。原力系为平衡力系。（2 2）主矢为零，主矩不等于零，即：0,0ORMF原力系与原力系与一力偶等效，即一力偶等效，即原力系合成为一力偶。原力系合成为一力偶。（3 3）主矢不为零，主矩等于零，即：0,0ORMF原力系与原力系与一力等效，即一力等效，即原力系合成为一合力，此力原力系合成为一合力，此力的作用线恰好通过简化中心的作用线恰好通过简化中心O。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY（4 4）主矢不

6、为零，主矩也不等于零，即：0,0ORMF原力系仍合成为一合力，此力的作用线偏离简原力系仍合成为一合力，此力的作用线偏离简化中心距离化中心距离d。ROFMdRoFMd若若M0，则顺则顺 的方向右偏距离的方向右偏距离d;RF若若M0，则顺则顺 的方向左偏距离的方向左偏距离d。RFPFodoRFdFF pFFF ROPdRFoMCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY四、合力矩定理四、合力矩定理 平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩，等于力系中平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩，等于力系中各分力对同一点力矩的代数和。各分力对同一点力矩的代数和。证明：证

7、明：O FROFROO dFRFRdROFMd FROMoO MO(FR)=FRd=MO MO=MO(Fi)MO(FR)=MO(Fi)CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例3-1重力坝受力图形如图所示。已知：重力坝受力图形如图所示。已知：1450,P kN2200,P kN1300,F kN270;F kN求：力系向点求：力系向点O简化的结果，合力与基线简化的结果，合力与基线OA的交点到点的交点到点O的距离的距离x，以及合力作用线方程。以及合力作用线方程。解：解：（1）向）向O点简化，点简化，求主矢求主矢 和主矩。和主矩。0arctan16.7A

8、BACBAC12cos232.9RxixFFFFkN12sin670.1RyiyFFPPF kN22709.4RixiyFFFkNOxyCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYRF的方向余弦的方向余弦cos,0.3283ixRRFF iFcos,0.9446iyRRFFjF 11231.53.92355ooMMFFPP kN m（2）求合力及其作用线位置。）求合力及其作用线位置。2 3 5 53.3 1 9 77 0 9.4oRMdFm003.514cos 9070.84dx mCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNO

9、LOGY（3）求合力作用线方程）求合力作用线方程即即2355670.1232.9xy607.1232.923550 xyooRRyRxRyRxMMFx Fy Fx Fy FCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY1 1、力线平移定理、力线平移定理:内容内容:作用于刚体的力作用于刚体的力 F F 可等效地平移到刚体上的任一点可等效地平移到刚体上的任一点O，但但须须附加一力偶，附加一力偶，此附加力偶矩此附加力偶矩 M 等于原力对平移点等于原力对平移点O 的矩。的矩。平面一般力系平面一般力系2、平面一般力系的简化、平面一般力系的简化3、平面一般力系合成结果、

10、平面一般力系合成结果向向一点一点O 简化简化作用于简化中心作用于简化中心O力线力线平移定理平移定理与简与简中心中心O点位置无关点位置无关与简与简中心中心O点位置有关点位置有关（包括：大小、转向）包括：大小、转向）（主矢）作用于原力系平面内作用于原力系平面内oF一个力RiFF一个力偶MoiOMM)(F(主矩)CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程0)(00111niiOniyinixiMFFF平面任意力系平衡的解析条件：平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴所有各力

11、在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。数和也等于零。几点说明：几点说明：（1 1）三个方程只能求解三个未知量；）三个方程只能求解三个未知量；（2 2）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；（3 3）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。平衡方程平衡方程CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 已知：已知：M=Pa 求：求：A、B处约束反力。处约束反力。PABCD

12、FBxy02,0)(0,00,0MaPaFFMFFFPFFBABAyyAxx.,PFPFPFBAyAx解解上述方程，得上述方程，得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例3-2已知：已知：110,P kN240,P kN尺寸如图；尺寸如图；求：求：轴承轴承A、B处的约束力。处的约束力。解：解：取起重机，画受力图。取起重机，画受力图。0 xF 0yF0AM0AxBFF120AyFPP125 1.53.50BFPP 解得解得50AyFkN31BF kN31AxFkNxyAxFAyFBFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TEC

13、HNOLOGY例例3-3已知：已知：,;P q a Mpa求：求：支座支座A、B处的约束力。处的约束力。解：取解：取AB梁，画受力图。梁，画受力图。0 xF0AM 0yF0AxF0AmF4220BFaMPaqa a解得解得3142BFPqa20AyBFqaPF解得解得342AyPFqaAyFAxFBFxyCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY分布载荷的合力分布载荷的合力ldxxqdPP0)(lxdxxqxdPPh0)(q(x)AB由合力之矩定理：由合力之矩定理：lldxxqxdxxqh00)()(hxdxlxCHINA UNIVERSITY OF M

14、INING AND TECHNOLOGY 两个特例两个特例(a)均布均布载荷载荷Ph(b)三角形分布载荷三角形分布载荷Phlq0qllqldxxqP0)(2)()(00ldxxqxdxxqhllxlqxq0)(xxlqxdxlqdxxqPll000021)(32)()(00ldxxqxdxxqhllCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例3-43-4已知：已知：20,M kN m100,P kN400,F kN20,q kNm1;l m求：求：固定端固定端A A处约束力。处约束力。解：解：取取T T型刚架，画受力图。型刚架，画受力图。113302F

15、qlkN 0 xF0AM 0yF01sin600AxFFF316.4AxFkN解得解得060cosFPFAy0360sin60cos1lFlFlFMMAkN300AyFmkN1188AMCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY0)(,0)(,0)(FFFCBAMMM（A、B、C 三点不得共线）三点不得共线）（x 轴不得垂直于轴不得垂直于A、B 两点的连线）两点的连线）0)(,0,0F FAyxMFF0)(,0)(,0F FF FBAxMMF 平面任意力系平衡方程的形式平面任意力系平衡方程的形式FRBAx是否存在三投影式？是否存在三投影式？000321x

16、xxFFFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY0223,0)(0223,0)(023,0)(aPMFaMaPMFaMMFaMBCABCAF FF FF FaMFPaMFPaMFCBA33233323332解解上述方程，得上述方程，得解：取三角形板解：取三角形板ABC为研究对象为研究对象FDECBAaaaP求：求：三杆对三角三杆对三角平板平板ABC的约束力。的约束力。PACaaaBCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYyxo0)(0F FoMY（A、B两点的连线两点的连线不得与各力平行）不得与各力平行）0)

17、(0)(F FF FBAMMF2F1Fn0 xF二个方程只能求解二个未知量二个方程只能求解二个未知量平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解：解：取梁取梁ABCD为研究对象为研究对象3210,00121,0)(qPPFFFFFFPMNBNAyNAB其其中中F F解得：解得：N3750,N250NBNAFF已知：已知：F=2N，q=1N/m求：求：A、B支座反力。支座反力。D1m2m1mABCFFFPCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY3-5 物体系的平衡物体系的

18、平衡 静定和静不定问题静定和静不定问题静静定定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目体系：未知量数目等于独立平衡方程数目超静超静定定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目体系：未知量数目多于独立平衡方程数目PABCFAFBFCPABFBFACHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例3-53-5已知：已知：OA=ROA=R，AB=AB=l,F不计物体自重与摩擦不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡系统在图示位置平衡;求求:(1)(1)连杆连杆ABAB受力受力;(2);(2)冲头给导轨冲头给导轨的侧压力的侧压力;(3);(3)力偶矩力偶矩M M 的大的大小小

19、;(4);(4)轴承轴承O O处的约束力处的约束力 。解解:0iyF0cosBFF取冲头取冲头B B,画受力图画受力图.解解:22cosRlFlFFB 0ixF0sinBNFF22tanRlFRFFNCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY取轮取轮,画受力图画受力图.0ixF0sinAoxFF22RlFRFox 0iyF0cosAoyFFcosAoyFF 0oM0cosMRFAFRM CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解解:取取CDCD梁梁,画受力图画受力图.0cM0230cos260sin00lFlql

20、lFB F FB B=45.77kN=45.77kN例例3-6 3-6 已知已知:F F=20kN,=20kN,20mkNM求求:A,BA,B处的约束力处的约束力.q q=10kN/m,=10kN/m,取整体取整体,画受力图画受力图.0ixF030sin60cos00FFFBAxkN89.32AxFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 0iyF030cos260sin00FqlFFBAykN32.2AyF 0AM0430cos360sin2200lFlFlqlMMBAkN37.10AMCHINA UNIVERSITY OF MINING AND T

21、ECHNOLOGY例例3-73-7已知已知:P P1 1,P P2 2,P P=20=20P P1 1,r r,R R=2=2r r,;200求求:(1)(1)轴承轴承A A，B B处的约束力处的约束力；(2)(2)物物C C 匀速上升时，作用于轮匀速上升时，作用于轮IIII上的力偶矩上的力偶矩M M 。解解:取塔轮及重物取塔轮及重物C C,画受力图画受力图.0BM0PrRF110PrPRF020tanFFr1064.320tanPFFrCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 0ixF0rBxFF164,3PFBx 0iyF02FPPFBy132PF

22、By取轮取轮IIII，画受力图。画受力图。0ixF 0iyF 0AM0rFMrPM1100 rAxFF1643P.FAx 01 PFFAy19 PFAy CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例3-83-8已知已知:P P=60kN,=60kN,P P2 2=10kN,=10kN,P P1 1=20kN,=20kN,风载风载F F=10kN,=10kN,尺寸如图尺寸如图;求求:A,BA,B处的约束力。处的约束力。解解:取整体取整体,画受力图。画受力图。0AM05246101221FPPPPFBykN5.77ByF 0iyF0221PPPFFByAy

23、kN5.72AyF 0ixF0BxAxFFFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY取吊车梁取吊车梁,画受力图画受力图.0DM024821PPFEkN5.12EF取右边刚架取右边刚架,画受力图画受力图.0CM04106EBxByFPFFkN5.17BxFkN5.7AxFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY3-4 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算 桁架的杆件都是直的；桁架的杆件都是直的；杆件用光滑的铰链连接；杆件用光滑的铰链连接；载荷均作用在节点上；载荷均作用在节点上；重量平均分配在节点上。重量平

24、均分配在节点上。理想桁架理想桁架 桁架是一种由杆件彼此在两端用桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。桁架中杆件的铰链几何形状不变。桁架中杆件的铰链接头称为接头称为节点节点。节点法节点法 截面法截面法 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解：解：(1)取整体为研究对象取整体为研究对象01205,0)(040,0020,0ByAByAyyAxxFMFFFFFF FkN24kN16kN20ByAyAxFFFFAyF4FAx1F AF320kNF1F2CB10kN10kN10kN10kNA12

25、345678910111412131516171819212020kNC(2)取节点取节点C为研究对象为研究对象0,0020,012FFFFyx(3)取节点取节点 A为研究对象为研究对象045sin,0045cos,03134FFFFFFFFAyyAxxkN36kN21643FF解解得：得：依此类推，可求依此类推，可求得其余各杆内力得其余各杆内力。求：图示桁架各杆的力。求：图示桁架各杆的力。解解得：得：kN20021FFFAxFAyFByCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYB10kN10kN10kN10kNA12345678910111412131

26、516171819212020kNCFAxFAyFBymn解：解：(1)取整体为研究对象取整体为研究对象 计算支座反力。计算支座反力。kN24kN16kN20ByAyAxFFF解解得：得：(2)根据解题的需要，假根据解题的需要，假想用一截面截断体系。想用一截面截断体系。10kNA1234520kNCF6F7F8FAxFAyD0110121,0)(,012011,0)(01045sin,07867AxCAyDAyyFFFMFFMFFFF FF FkN.42kN,26kN,36876FFF求：桁架求：桁架6、7、8各杆的力。各杆的力。(3)取某一部分为研究对取某一部分为研究对象，计算所求杆件内力。

27、象，计算所求杆件内力。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY结论与讨论结论与讨论1.力的平移定理：力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶，附加平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的力偶的矩等于原来的力对新作用点的矩。矩等于原来的力对新作用点的矩。2.平面任意力系向平面内任选一点平面任意力系向平面内任选一点O简化，一般情况下，可得一简化，一般情况下，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即nininiiRFF111jiFFyx作用线通过简化中心作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系对于点这个

28、力偶的矩等于该力系对于点O的主的主矩，即矩，即nixiiyiiniiOOFyFxMM11)()(FCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY3.平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。主主 矢矢主主 矩矩合成结果合成结果说说 明明合合 力力合合 力力力力 偶偶平平 衡衡此力为原力系的合力，合力的作用线此力为原力系的合力，合力的作用线通过简化中心通过简化中心合力作用线离简化中心的距离合力作用线离简化中心的距离ROFMd此力偶为原力系的合力偶，在这种情此力偶为原力系的合力偶，在这种情况下主矩与简化中心的位置无关

29、况下主矩与简化中心的位置无关4.平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：一点的主矩都等于零，即：0)(0FFFOOiRMMCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY0)(,0)(,0)(FFFCBAMMM（A、B、C 三点不得共线）三点不得共线）（x 轴不得垂直于轴不得垂直于A、B 两点的连线）两点的连线）0)(,0,0FAyxMFF0)(,0)(,0FFBAxMMF 平面任意力系平衡方程的形式平面任意力系平衡方程的形式CHINA UNIVERSITY OF MINI

30、NG AND TECHNOLOGY5.其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程如下：如下：力力 系系 名名 称称独立方程的数目独立方程的数目平平 衡衡 方方 程程0iF0iM00yixiFF0)(0iOiMF FF1122CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY6.桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法：桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法：节点法节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力系的平衡

31、方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力的数目不宜多于的数目不宜多于2个。个。截面法截面法：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多于于3。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYkN3.0AxF解得解得:kN2.1CxF

32、已知：已知：P=0.4kN，Q=1.5kN，sin=4/5求：支座求：支座A、C的约束力。的约束力。AQCBPPABFAxFAyFCxFCyFBxFByFAxFAy)3(0,0)2(0,0)1(0sin2cos2cos2,0)(QFFFPFFFlQlPlFMCxAxxCyAyyCyAF F解：解：(1)取整体为研究对象取整体为研究对象解解上述方程，得上述方程，得kN6.0,kN2.0CyAyFF(2)取取AB为研究对象为研究对象0coscos2sin,0)(AyAxBFlPlFMF F代入（代入（3）式得）式得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYE

33、qaaaaaABCDFAyFAxFE求：求：A、E的约束的约束力和力和BC杆内力。杆内力。CDqFDxFDy解：解：(1)取整体为研究对象取整体为研究对象05.1,0)(0,00,0aqaaFMqaFFFFFAyAEAyyAxxF FqaFqaFFEAyAx5.25.10解解得：得：045sin5.0,0)(aFaqaFMCD(2)取曲杆取曲杆CD为研究对象为研究对象解解得：得：qaFC22FCCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYBDAFDyFDxFBxFByFAxFAy解：解：(1)取整体为研究对象取整体为研究对象002,0)(ByByCFaFM

34、得F F(2)取取DEF杆为研究对象杆为研究对象02,0)(0,0)(aPaFMaPaFMDxBDyEF FF F解得：解得：PFPFDxDy2,(3)取取ADB杆为研究对象杆为研究对象0,00,002,0)(ByDyAyyBxDxAxxDxBxAFFFFFFFFaFaFMF F解得：解得：PFPFPFAyAxBx,aBCDAFEPaaaFCxFCyFBxFByPDFEDxF DyF B求：求：A、D、B的约束力。的约束力。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYaBCDAFEPaaa(a)aBCDAFEPaaa(b)aBCDAFEaaaM(c)aBC

35、DAFEaaaM(d)CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYBCDqMEDqMABCDEH2m2m2m2m1m1mFNBFAxFAyFCxFCyFNBDxF DyF FDxFDyFNEH解：解：(1)取取DE杆为研究对象杆为研究对象kN1100322,0)(DXDxHFqFMMF F(2)取取BDC杆为研究对象杆为研究对象kN3110031,0)(DXNBDxCFFFMF F(3)取整体为研究对象取整体为研究对象0326,0)(02,00,0qFMMMqFFFFFNBAAAyyNBAxxF F0,100kNkN,3110AAyAxMFF解解得：得：求：求：A、B的约束力。的约束力。已知：已知：q=50kN/m,M=80kNmCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY