第十一章-曲线积分与曲面积分例题课件.ppt

1、第十一章 曲线积分与曲面积分11-1 对弧长的曲线积分定义：设 L 为 面内的一条光滑曲线弧，函数 上有界，在 上任意插入一点列 把 L分成 n 个小段，设第 个小段的长度为 为第 个小段上任意取定的一点，xOy,f x yL在L121,nM MMi,iiiS ,又i作乘积 并作和 如果当各小弧段的长度的最大值 时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 在曲线弧上 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，其中 叫做被积函数，L 叫做积分弧段。,1,2,iiifS in 1,niiiifs 0,f x y,Lf x y ds记作即01,=lim,niiiLif x y dsfs,f x y例1计算

2、 ，其中L为圆周 ，直线 及轴在第二象限内所围成的扇形整个边界。22xyLeds 222xyayx x例2计算 ，其中 为折线 ，这里依次为点2x yzdsABCD,A B C D 0,0,0,0,0,2,1,0,2,1,3,2例计算 ，其中L为曲线 。22Lxy ds220 xyax a例4计算 ，其中L为折线 所围成的区域的整个边界 323Lxx y ds 1xy例5计算半径为R，中心角为 的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量（设线密度 ）。2111-2 对坐标的曲线积分定义：设 L 为 面内从点 A 到点 B的一条有向光滑曲线弧，函数 上有界，在 L 上沿 L的方向任意插入一点列把 L

3、分成 n 个有向小弧线段xOy,P x yQ x yL、在111222111,nnnMx yMxyMxy101,2,;,iinMMin MA MB设 为 上任意取定点，如果当各小弧段长度的最大值 时，的极限总存在，则称此极限为函数 在有向曲线弧 L 上对坐标 的曲线积分，记作 ，类似地，如果 总存在，则称此极限为函数 在有向曲线弧L 上对坐标 的曲线积分，11,iiiiiiiixxxyyy 点1iiMM01,niiiiPx,P x yx,LP x y dx01lim,niiiiQy,Q x yy记作其中 叫做被积函数，L 叫做积分弧段。以上两个积分也称为第二类曲线积分。,LQ x y dy即0

4、101,lim,lim,niiiLiniiiLiP x y dxPxQ x y dyQy ,P x yQ x y、(一)定理：设 在有向曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为 ，当参数 单调地由变到 时，点 从 L 的起点 A沿L运动到终点 B，,P x yQ x y xtytt,M x y 在以 为端点的闭区间上具有一阶连续导数且 则曲线积分 存在，且,LP x y dxQ x y dy ,PtttQtttdt 220tt tt、及,LP x y dxQ x y dy例1计算 ，其中 L 为抛物线 上从点 到点 的一段弧。Lxydx2yx1,1A1,1B例2计算 ，其中L为（1）半径为

5、 ，圆心为原点，按逆时针方向绕行的上半圆周。（2）从点 沿 轴到点 的直线段。a,0A ax,0Ba2Ly dx例3计算 ，其中 L为（1）抛物线 上从 的一段弧。（2）抛物线 上从 的一段弧。（3）有向折线 ,这里O,A,B依次是 点（0，0），（1，0），（1，1）.22Lxydxx dy2yx0,01,1oB到2xy0,01,1oB到OAB例4计算 其中 为椭圆若从 轴正向看去，的方向是顺时针的。Iyz dxzx dyxy dz221,1xyxzx例5设一个质点在 处受到力F的作用，F的大小与M到原点O的距离成正比，F的方向恒指向原点，此质点由点 沿椭圆 按逆时针方向移动到点 ，求力F所

6、做的功W。,M x y,0A a22221xyab0,Bb例6将对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中L为沿抛物线 从点 到点 。,LP x y dxQ x y dy2yx0,01,111-3 格林公式及其应用例1求椭圆所围成图形的面积。cos,sinxayb例2设 L 是任意一条分段光滑的闭曲线，证明：220Lxydxx dy 例3计算 ，其中D是为顶点三角形闭区域。2yDedxdy0,0,1,1,0,1OAB以例4计算 ，其中 L为一条无重点分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L 的方向为逆时针方向。22Lxdyydxxy 例5计算其中 L 是曲线及 所围成的区域的边界，按逆时针方向。2

7、221cossincosLyyyyyIdxxdyxxxxx 22222,4,30 xyy xyy xy30yx例6计算 ，其中L是以为顶点的三角形正向边界曲线。Lydxx dy 1,0,0,1,1,0ABC 例7计算 ，其中 L 为（1）圆周 的正向。（2）正方形边界 的正向。22Lydxxdyxy 22111xy1xy例8计算其中L为曲线 按 增大的方向。2222lnLxy dxy xyxxydysin2yxxx定理2 设区域G是一个单连通域，函数 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是 在G内恒成立。,P x yQ x yL

8、PdxQdy 5PQyx例9计算曲线积分 其中L是以点 为中心，R为半径的圆周 取逆时针方向。224LxdyydxIxy 1,01R 定理3 设区域G是一个单连通域，函数 在G内具有一阶连续偏导数，则在G内为某一函数 的全微分的充分必要条件是 在G内恒成立。,P x yQ x y,P x y dxQ x y dy,u x y 5PQyx推论 设区域G是一个单连通域，函数 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在G内与路径无关的充分必要条件是：在G 内存在函数 ，使,P x yQ x yLPdxQdy,u x yduPdxQdy例10验证 在右半平面 内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。2

9、2xdyydxxy0 x 例11验证：在整个 面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。xoy22xy dxx ydy例12验证：在整个 面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。xoy2322663xyydxx yxydy例13求解方程42353xxyydx222330 x yxyydy11-4 对面积的曲面积分定义 设曲面 是光滑的，函数 在 上有界，把 任意分成 小块 （同时也代表第 小块曲面的面积），设 是 上任意取定的一点，作乘积,f x y zniSiSi,iii iS,1,2,3,iiiifS in 并作和 ，如果当各小块曲面的直径的最大值 时，这和的极限总存在，则称

10、此极限为函数 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作 即其中 叫做被积函数，叫做积分曲面。1,niiiiifS 0,f x y z,f x y z dS01,lim,niiiiif x y z dSfS ,f x y z例1计算曲面积分 ，其中 是球面 被平面 截出的顶部。dsz2222xyza0zhha例2计算曲面积分 其中 是介于之间的圆柱面 。2221dsxyz00ZZH H及222xyR例3计算 ，其中 是由平面 及 所围成的四面体的整个边界曲面。xyzds 0,0,0 xyz1xyz例4计算 ，其中 是圆锥面 被柱面 所截的部分。xyyzzx ds22+Zxy22+=2xy

11、ax例5设 为椭球面 的上半部分,点 （为 在点P处的切平面）为点 到平面的距离，求222122xyz,P x y z,x y z0,0,0,zdsx y z11-5 对坐标的曲面积分定义 设 为光滑的有向曲面，函数 在 上有界，把 任意分成 块小曲面 （同时又表示第 块小曲面的面积），在 面上的投影为 上任意取定的一点，如果当个小块曲面的直径的最大值 时，,R x y zniSiSiiSxOy,iiiiixySS 是00i=1lim,niiiixyRS 总存在，则称此极限为函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面积分，记作 即其中 叫做被积函数，叫做积分曲面。,R x y z,x y01,lim,

12、niiiixyiR x y z dxdyRS ,R x y z,R x y z dxdy 类似地可以定义函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面积分 及函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面积分 分别为,P x y z,y z,P x y z dydz,Q x y zzx、,Q x y z dzdx以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分。01,lim,niiiiyziP x y z dydzPS 01,lim,niiiizxiQ x y z dzdxQS 例1计算曲面积分 其中 是长方体 的整个表面的外侧，222x dydzy dzdxz dxdy,0,0,0 x y zxaybzc 例2计算曲面积分其中

13、 是球面 外侧在 的部分。xyzdxdy2221xyz0,0 xy例3计算 ，其中 为锥面 及平面 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。22zedxdyxy 22Zxy1,2ZZ例4计算曲面积分其中 是旋转抛物面介于平面 之间的部分的下侧。2zx dydzzdxdy2212Zxy02Zz及例5计算其中 是平面在第一卦限部分的上侧。xdydzydzdxxz dxdy222xyz11-6 高斯公式 通量与散度一、高斯公式（一）定理1 设空间闭区域 是由分布光滑的闭曲面 所围成，函数 在 上具有一阶连续偏导数，则有,P x y zQ x y zR x y z 这里 的整个边界曲面的外侧，处的法向量

14、的方向余弦，上面公式叫做高斯公式。PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyz coscoscosPQRds 是coscoscos,x y z，是在点例1利用高斯公式计算曲面积分其中 为柱面 及平面 所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。xy dxdyyz xdydz 221xy0,3ZZ例2利用高斯公式计算曲面积分 其中 为锥面 介于平面 之间的部分的下侧，在点 处的法向量的方向余弦。222coscoscosxyzr ds 222xyz00ZZh h及cos,cos,cosr是,x y z例3计算曲面积分其中 为上半球面的上侧。323232Ixazdydzyaxdzdxzaydxdy22

15、2zaxy例4设函数 在闭区域 上具有一阶及二阶连续偏导数，证明：其中 是闭区域 的整个边界曲面 为函数 沿 的外法线方向的方向导数，符号 称为拉普拉斯算子，这个公式叫做格林第一公式。,u x y zv x y z和uvuvuvdxdydzxxyyzz vu vdxdydzudsnvn,v x y z222222xyz二、通量与散度（一）通量定义 设某向量场由给出，其中 具有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，处的单位法向量，则,A x y zP x y z iQ x y z jR x y z k,P Q R,nx y z是在点叫做向量场 A 通过曲面 向着指定侧的通量（或流量）,Pdydz

16、QdzdxRdxdyA x y z ndscoscoscosPQRds 例5求向量场 穿过曲面 流向上侧的通量，其中 为柱面 ，被平面 截下的有限部分。2Ayz jz k2210yzz01xx及11-7 斯托克斯公式 环流量与旋度一、斯托克斯公式（一）定理：设 为分段光滑的空间有向闭曲线，是以 为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与 的侧符合右手规则，函数 在曲面 （连同边界 ）上具有一阶连续偏导数，则有,P x y z,Q x y zR x y z上面公式叫做斯托克斯公式。RQPRQPdydzdzdxdxdyyzzxxyPdxQdyRdz 例1利用斯托克斯公式计算曲线积分 其中 为平面 被三个

17、坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则。zdxxdyydz 1xyz例2利用斯托克斯公式计算曲线积分其中 是用平面 截立方体 的表面所得的截痕，若从 轴的正向看去取逆时针方向。222222Iyz dxzxdyxydz 32xyz,01,01,01x y zxyzox二、环流量与旋度（一）环流量设有向量场 其中函数 均连续，的定义域内的一条分段光滑的有向闭曲线,处的单位切向量，,A x y zP x y z iQ x y z jR x y z k,P Q RA是,x y z是 在点则积分称为向量场 A 沿有向闭曲线 的环流量，其中 是有向曲线 处的切向量

18、的方向余弦。coscoscosA dsPQRdsPdxQdyRdz cos,cos,cos,x y z在点例3求向量场沿闭曲线 的环流量，其中 为锥面 和平面 的交线，从 轴正向看 为逆时针方向。224Axy iz jx k22Zxy2Z Z例4计算曲面积分其中 是锥面 在 面上方的部分，单位法向量 指向锥外。.rotF nds 32,3Fxz xyzxy222Zxyxoyn例5设函数（1）求梯度 。（2）求向量场 的散度 （3）计算向量场 穿过曲面 流向外侧的通量，其中 是由曲 面 所围立体 的表面。2231123ux zy zzgraduAgradu divA Agradu 22222ZxyZxy与