第三章-刚体的定轴转动课件.ppt

1、本章题头内容介绍第一节刚体运动分类rotation of rigid-body with a fixed axis4-2第二节定轴转动参量转动方程求导例题积分求转动方程线量与角量的关系公式对比 刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。）平 动 刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的 相同，可当作质点处理。定轴转动 刚体每点绕同一轴线作圆周运动，且转轴空间位置及方向不变。平面滚动 刚体质心限制在一平面内，转轴可平动，但始终垂直于该平面且通过质心定点转动 刚体上各质点都在以定点为球心的不同球面上运动。一般运动 复杂的质心转动与质心平动的合成。刚体的平动刚体的平动刚体绕定轴转动刚体绕定

2、轴转动定轴转动参量刚体转轴1.角位置转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)(t+t)参考方向刚体中任一点刚体定轴转动的运动方程2.角位移3.角速度常量静止匀角速变角速4.角加速度变角加速常量 匀角加速匀角速用矢量表示 或 时，它们与 刚体的转动方向采用右螺旋定则 转动方程求导例题单位：rad-1rad s-2rad srad 50p 51p 52p 53p1rad stsrad100p150pst 50p p 2rad stsp-1rad s-2rad s匀 变 角 速 定 轴 转 动积分求转动方程任意时刻的恒量且 t=0 时 得得或匀变角速定轴转动的角位移方程匀变角速定轴转动的运动方程线量与角

3、量的关系定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ，瞬时角加速度为 ，刚体中一质点P至转轴的距离为r质点P 的大小 瞬时线速度瞬时切向加速度瞬时法向加速度这是定轴转动中线量线量与角量角量的基本关系公式对比质点直线运动或刚体平动刚 体 的 定 轴 转 动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度位移位移角位移角位移匀速直线运动匀速直线运动匀角速定轴转动匀角速定轴转动匀变速直线运动匀变速直线运动匀变角速定轴转动匀变角速定轴转动第二节合外力矩外力作用于刚体上，产生的作用效果是使刚体转动状态发生改变。力矩是反映这种作用效果的物理量。M =r F力矩的定义：M drFPOM =r F sin 大小：

4、d=F方向：满足右手螺旋法则即伸展开右手让四指指向位矢r 的方向，由r转向F时，大姆指的指向为力矩矢量方向。合外力矩力矩的坐标分量表达形式是：M =r F=特殊情况下，当r与F都位于XOY平面上时有：zyxFFFzyxkjiM =r F=00yxFFyxkjikyFxFxy)(FxPzyMOFxFyrxiyj合外力矩 合外力矩的计算方法：M =r F111力矩切向1Ft tFrM叉乘右螺旋1M2MM =r F222M =r F sin j j222大小2r2=2Ft td2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ft tr11Ft tr1=1Ft tM =r F sin j

5、 j111大小1d1=1Fj j1d1r1F1P1OF2r22Ft tP2j j2d2切向方向力矩的功力力 的元功的元功力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，作的总功为作的总功为力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率P=Fv转动动能4-3relation of work with energy in rotation of rigid-body刚体中任一质元 的速率该质元的动能对所有质元的动能求和转动惯量 II得得刚体的动能定理我们知道单质点的动能定理：刚体定轴转动的动能定理是什么样的呢？由由外力矩的元功外力矩的元功知道外力矩总功

6、为知道外力矩总功为则则合外力矩的功合外力矩的功转动动能的增量转动动能的增量称为因刚体无形变，其内因刚体无形变，其内力不做功力不做功动能定理例题二外力矩作的总功从水平摆至垂直由得代入得本题利用的关系还可算出此时杆上各点的线速度水平位置静止释放摆至垂直位置时杆的匀直细杆一端为轴动能定理例题二由于系统仅受重力作用，机械由于系统仅受重力作用，机械能守恒，即重力势能的减少应能守恒，即重力势能的减少应等于系统动能的增加，因而有等于系统动能的增加，因而有用机械能守恒解用机械能守恒解可解出可解出代入得本题水平位置静止释放摆至垂直位置时杆的匀直细杆一端为轴第三节刚体转动定律引言质 点的运动定律或刚体平动F =m

7、 a惯性质量惯性质量合合 外外 力力合加速度合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动规律？若刚体作定轴转动，服从怎样的运动规律？主要概念主要概念刚体所受的刚体所受的合外力矩合外力矩刚体刚体转动角加速度转动角加速度刚体的刚体的转动惯量转动惯量转动定律某质元fi受内力受外力FiFi+f=aii其法向n 分量均通过转轴不产生转动力矩。t t其切向投影式为ij jFisin+if sin it t=ai=rib bt tnFiOrifiij j i瞬时角速度角加速度瞬时等式两边乘以 ri 并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifsin iiFij jsinri合外力矩 Mb bri得

8、Mb bri=转动惯量某质元fi受内力受外力FiFi+f=aii其法向n 分量均通过转轴，不产生转动力矩。t t其切向投影式为ij jFisin+if sin it t=ai=rib bt tnFiOrifiij j i瞬时角速度角加速度瞬时等式两边乘以 ri 并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifsin iiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=Mb bri=与刚体形状及质量分布有关的物理量，用 表示称为 转动惯量转动惯量I刚体的转动定律即刚体所获得的角加速度 的大小与刚体受到的 合外力矩 的大小成正比，与刚体的转动惯量 成反比。转动惯量的计算Mb b

9、=I将刚体转动定律与质点运动定律F=am对比转动惯量 是刚体转动惯性的量度II 与刚体的质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关质量连续分布的刚体用积分求I 为体积元 处的密度II的单位为分立质点的算例可视为分立质点结构的刚体转轴 若连接两小球的轻细硬杆的质量可以忽略，则转轴0.75直棒算例质量连续分布的刚体匀直细杆对中垂轴的匀直细杆对端垂轴的质心新轴质心轴平行移轴定理平行移轴定理对对新轴新轴的转动惯量的转动惯量对质心轴的转动惯量对质心轴的转动惯量新轴新轴对心轴的平移量对心轴的平移量例如：例如：时时代入可得代入可得端xx圆盘算例匀质薄圆盘对心垂轴的 取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元球体

10、算例匀质实心球对心轴的可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量 的迭加距 为 、半径为 、微厚为的薄圆盘的转动惯量为其中常用结果LRmm匀质薄圆盘匀质薄圆盘匀质细直棒匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面22I=m R123I=m L1转轴通过端点与棒垂直其它典型匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面I=(a +b )22m12匀质细圆环转轴通过中心垂直环面I=m R 2匀质细圆环转轴沿着环的直径2I=2m R匀质厚圆筒转轴沿几何轴I=(R1 +R2 )22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mI=R +22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2I=2m R3转动定律例题一合外力矩 应由各分力矩进行合成。合

11、外力矩 与合角加速度 方向一致。在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为负。与时刻对应，则 则恒定恒定 匀直细杆一端为轴水平静止释放转动定律例题二T1T2aRm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑T2T1G1G2T2T1a ab b T1 m1 g=m1am2 g T2=m2a(T2 T1)R=Ib b a=Rb bI=m R 22转动平动线-角联立解得a=m1m1+m2+gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g a)m1 gm2 g如果考虑有转动摩擦力矩 Mr,则 转动式为(T2 T1)R Mr=Ib b再联立求解。转动定律例题三Rm1m细绳缠绕轮

12、缘Rm（A）（B）恒力F滑轮角加速度 b b细绳线加速度 a（A）（B）转动定律例题四Rm1m2mm=5kgm2=1kg m1=3kgR=0.1mT2T1T1T2G1G2b baa对对m1m2m分别应用分别应用和和质点运动和刚体转动定律质点运动和刚体转动定律m1 g T1=m1aT2 m2 g=m2a(T1 T2)R=Ib b及 a=Rb bI=mR221得b b =(m1-m2)gR(m1+m2+m 2)常量(m1-m2)gR(m1+m2+m 2)故由(m1-m2)gR(m1+m2+m 2)2 (rad)gt物体从静止开始运动时，滑轮的 转动方程转动定律例题五 从等倾角 处静止释放两匀直细杆

13、地面两者瞬时角加速度之比两者瞬时角加速度之比213 1 1321根据短杆的角加速度大短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关且与匀质直杆的质量无关第四节law of conservation of angular momentum of rigid-body第四节4-4law of conservation of angular momentum of rigid-body定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加 所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动任一质元（视为质点）的质量其角动量大小全部质元的总角动量对质量连续分布的刚体刚体的角动量定理合外力矩合外力矩角动量的时间变化率角动量

14、的时间变化率（微分形式）（积分形式）冲量矩冲量矩角动量的增量角动量的增量刚体系统的角动量定理若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体系统的总合外力矩系统的总合外力矩 系统的总角动量的变化率系统的总角动量的变化率系统的总冲量矩系统的总冲量矩系统的总角动量增量系统的总角动量增量系统：轻绳（忽略质量）总合外力矩对O的角动量对O的角动量由得同向而解得例如例如静止释放求角加速度主要公式归纳（微分形式）（积分形式）是矢量式与质点平动对比刚体的角动量守恒定律由刚体所受合外力矩若则即 当刚体所受的合外力矩 等于零时，刚体的角动量 保持不变。回转仪定向原理万向支架受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布轴摩擦及空气阻力

15、很小角动量守恒恒矢量恒矢量回转仪定向原理回转仪定向原理其中转动惯量为常量若将回转体转轴指向任一方向使其以角速度 高速旋转则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响基 座回转体（转动惯量 ）角动量守恒演示实验角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘积保持不变变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小花 样 滑 冰收臂大小张臂大小先使自己转动起来收臂大小共轴系统的角动量守恒共轴系统若

16、外则恒矢量轮、转台与人系统轮人台初态全静初人沿某一转向拨动轮子轮末态人台轮轮末人台人台初得人台人台轮轮导致人台导致人台反向转动反向转动直升飞机防止机身旋动的措施用两个对转的顶浆（支奴干 CH47)用 尾 浆（美洲豹 SA300）（海豚 ）守恒例题一A、B两轮共轴A以w wA A作惯性转动 以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，角动量守恒。初态角动量末态角动量得两轮啮合后一起作惯性转动的角速度w wABAB守恒例题二以弹、棒为系统击入阶段子弹击入木棒瞬间，系统在铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。该瞬间之始该瞬间之末弹棒弹棒弹嵌于棒子弹上摆最大转角木棒上摆阶段弹嵌定于棒内与棒一起上摆，非保守内力的功为零，由系统动能定理外力（重力）的功外上摆末动能上摆初动能其中联立解得第四节参考资料参考资料习题及讲解物理学选读材料第四节