2020版 5·3中考全国数学 §4.2　三角形及其全等(2) 知识清单及题型方法讲解.pptx

1、栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 中考数学 4.2 三角形及其全等 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 三角形的相关概念 A组 2019年全国中考题组 1.(2019四川成都,25,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已 知点A的坐标为(5,0),点B在x轴的上方,OAB的面积为 ,则OAB内部(不含边界)的整点的个数为 . 15 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 4或5或6 解析解析 A(5,0),SOAB= ,点B在x轴的上方,点B的纵坐标为3.设边OB,AB分别与直线y=1交于点E,F,与直 线y=2交于点C,D,则BC=CE=E

2、O,CDEFOA,CD= OA= ,EF= OA= ,线段CD可以覆盖1个或2个 整点,线段EF可覆盖3个或4个整点,OAB内部(不含边界)的整点的个数为4或5或6. 15 2 1 3 5 3 2 3 10 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019浙江杭州,19,8分)如图,在ABC中,ACABBC. (1)如图1,已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:APC=2B; (2)如图2,以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若AQC=3B,求B的度数. 图1 图2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:因为点P在AB的垂直平

3、分线上, 所以PA=PB,所以PAB=B, 所以APC=PAB+B=2B. (2)根据题意,得BQ=BA,所以BAQ=BQA. 设B=x,所以AQC=B+BAQ=3x, 所以BAQ=BQA=2x. 在ABQ中,x+2x+2x=180, 解得x=36,即B=36. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019吉林长春,20,7分)图、图、图均是66的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方 形的边长为1,点A、B、C、D、E、F均在格点上,在图、图、图中,只用无刻度的直尺,在给定的网 格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法. (1)在图中以线段AB为边画一个ABM,使其

4、面积为6; (2)在图中以线段CD为边画一个CDN,使其面积为6; (3)在图中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且EFG=90. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 本题答案不唯一. (1)如图所示,ABM即为所求. (2)如图所示,CDN即为所求. (3)如图所示,四边形EFGH即为所求. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 全等三角形的判定与性质 1.(2019云南,16,6分)如图,AB=AD,CB=CD. 求证:B=D. 证明证明 在ABC和ADC中, ABCADC. (4分) B=D. (6分) , , , ABAD CBCD ACAC 思路分析思路分析

5、利用全等三角形的判定和性质来证明. 方法总结方法总结 证明一般三角形全等的方法有4种:边边边,角角边,角边角,边角边. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019山西,17,7分)已知:如图,点B,D在线段AE上,AD=BE,ACEF,C=F.求证:BC=DF. 证明证明 AD=BE,AD-BD=BE-BD. AB=DE. (2分) ACEF,A=E. (4分) 在ABC和EDF中, (5分) ABCEDF. (6分) BC=DF. (7分) , , , CF AE ABED 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019陕西,18,5分)如图,点A、E、F、B在直线l上,AE=BF,AC

6、BD,且AC=BD. 求证:CF=DE. 证明证明 AE=BF, AF=BE. (2分) ACBD, CAF=DBE. 又AC=BD, ACFBDE. (4分) CF=DE. (5分) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 三角形的相关概念 B组 20152018年全国中考题组 1.(2018福建,3,4分)下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是 ( ) A.1,1,2 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,3,5 答案答案 C 三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,选 项A、B、D均不符合,故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018内

7、蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD= AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为 ( ) A.17.5 B.12.5 C.12 D.10 答案答案 D AB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE, AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2017四川成都,12,4分)在ABC中,ABC=234,则A的度数为 . 答案答案 40 解析解析 设A=2x,则B=3x,C=4x, 所以2x+3x+4x=180,解得

8、x=20, 所以A=40. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2018湖北武汉,16,3分)如图,在ABC中,ACB=60,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分 ABC的周长,则DE的长是 . 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 3 2 解析解析 延长BC至点F,使CF=AC,连接AF,D是AB的中点,AD=DB.DE平分ABC的周长,AC+CE+AD =DB+BE,AC+CE=BE,BE=CF+CE=EF,DE是ABF的中位线,DEAF,ACB=60,ACF=120,又 AC=CF=1,FAC=AFC=30,作CHAF于点H,则AH= AC, 所以AF= AC=

9、 ,DE= AF= . 3 2 33 1 2 3 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 全等三角形的判定与性质 1.(2018四川成都,6,3分)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB的是 ( ) A.A=D B.ACB=DBC C.AC=DB D.AB=DC 答案答案 C 根据题中已有条件,分别添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS, ASA,SAS定理,能推出ABCDCB,故选项A,B,D不符合题意;添加AC=BD,不符合全等三角形的判定定 理,不能推出ABCDCB,选项C符合题意.故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(20

10、17陕西,6,3分)如图,将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起,其中点A与点A重合,点C 落在边AB上,连接BC.若ACB=ACB=90,AC=BC=3,则BC的长为( ) A.3 B.6 C.3 D. 3221 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 A 由题意得ABC与ABC全等且均为等腰直角三角形,AC=BC=3,AB=3 ,AB=3 , 在ABC中,易知CAB=90, ABC是直角三角形, BC= =3 . 22 22 3(3 2)3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2017云南,15,6分)如图,点E、C在线段BF上,BE=CF,AB=DE,AC=DF. 求证:A

11、BC=DEF. 证明证明 BE=CF,BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 在ABC与DEF中, ABCDEF,ABC=DEF. , , , ABDE BCEF ACDF 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2018辽宁沈阳,24,12分)已知:ABC是等腰三角形,CA=CB,0C). ABC的内角和为180, A+B+C=180, B-C+B+C=180,B=90.故选D. 思路分析思路分析 解题时根据三角形内角和为180及一个内角等于另两个内角的差列出方程,解方程可得一个角 为90. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019河北,10,3分)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三

12、角形外心的是 ( ) 答案答案 C 由作图痕迹可以判断选项A作了一个角平分线和一边的垂直平分线,选项B作了两个角的角平分 线,选项C作了两条边的垂直平分线,选项D作了一边的高线和一边的垂直平分线,而三角形的外心是三边垂 直平分线的交点,所以在选项C中可以用直尺成功找到三角形的外心,故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2018河北,1,3分)下列图形具有稳定性的是 ( ) 答案答案 A 三角形具有稳定性.故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2016河南,6,3分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=8,AB=10.DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为 ( ) A.

13、6 B.5 C.4 D.3 答案答案 D 在ABC中,ACB=90, DE垂直平分AC,AD=DC,DEBC, E为AB的中点,DE= BC, BC= =6, DE= BC=3.故选D. 1 2 22 ABAC 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2015贵州遵义,11,3分)如图,四边形ABCD中,C=50,B=D=90,E、F分别是BC、DC上的点,当AEF的周 长最小时,EAF的度数为 ( ) A.50 B.60 C.70 D.80 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 D 如图,作点A关于BC所在直线的对称点M,及关于CD所在直线的对称点N,连接MN,分别交BC、 DC于

14、点E、F,此时AEF的周长最小.易知M=BAE,N=DAF.在四边形ABCD中,BAD=360-90-90-50 =130,在AMN中,M+N=180-MAN=180-130=50,所以BAE+DAF=50,所以EAF= 130-50=80.故选D. 评析评析 本题考查了轴对称、四边形内角和、三角形内角和定理等知识,属中档题. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2019北京,10,2分)如图,已知ABC,通过测量、计算得ABC的面积约为 cm2.(结果保留一位小 数) 答案答案 2.6 解析解析 过点C作CD垂直AB于D,经过测量可知AB2.6 cm,CD2 cm,所以可求得ABC的面积约

15、为2.6 cm2. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 7.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周 长为 . 答案答案 16 解析解析 x2-10x+21=(x-3)(x-7)=0, x1=3,x2=7, 3+3=6,3不能作为该三角形的第三边长, 三角形的第三边长为7, 三角形的周长为3+6+7=16. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 8.(2017河北,17,3分)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边选一点C,连接CA,CB, 分别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=20

16、0 m,则A,B间的距离为 m. 答案答案 100 解析解析 AM=AC,BN=BC, AB是CMN的中位线, AB= MN, MN=200 m,AB=100 m. 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 9.(2017北京,13,3分)如图,在ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若SCMN=1,则S四边形ABNM= . 答案答案 3 解析解析 M,N分别为AC,BC的中点, MNAB,且MN= AB, CMNCAB,且相似比为12, SCMN=1,SCAB=4, S四边形ABNM=SCAB-SCMN=4-1=3. 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 10.(2017天津,18,3分)

17、如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上. (1)AB的长等于 ; (2)在ABC的内部有一点P,满足SPABSPBCSPCA=123,请在如图所示的网格中,用 的直尺,画 出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明) . 无刻度 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 (1) (2)如图,AC与网格线相交,得点D,E;取格点F,连接FB并延长,与网格线相交,得点M,N.连接DN,EM,DN与EM 相交于点P,点P即为所求 17 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)由勾股定理得AB= = . (2)首先取格点F,连接FB,由网格易知AC=FB= =

18、 ,且ACFB,取线段FB与网格线的交点(靠近点B) 为M,取线段AC与网格线的交点(靠近点A)为E,连接ME.AEMB,AE=MB,四边形AEMB为平行四边形. 由同底等高的两个三角形面积相等可知线段EM上的任意一点与AB组成的三角形的面积均等于ABE的 面积.延长FB,取线段FB延长线与网格线(直线EB下面第二条网格线)的交点为N,取线段AC与网格线(点C下 面第二条网格线)的交点为D,连接DN.CDBN,CD=BN,四边形CDNB为平行四边形.由同底等高的两个 三角形面积相等可知线段DN上的任意一点与BC组成的三角形的面积均等于BCD的面积,线段EM与线段 DN的交点即为所求的点P. =

19、 ,SABE= SABC,SABE=SPAB,SPAB= SABC. = ,SBCD= SABC, SBCD=SPBC,SPBC= SABC,SPAC=SABC-SPAB-SPBC= SABC,SPABSPBCSPAC=123. 22 4117 22 6137 AE AC 1 6 1 6 1 6 CD AC 2 6 2 6 2 6 3 6 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 11.(2019河北,23,9分)如图,ABC和ADE中,AB=AD=6,BC=DE,B=D=30.边AD与边BC交于点P(不与 点B,C重合),点B,E在AD异侧.I为APC的内心. (1)求证:BAD=CAE; (2)设A

20、P=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值; (3)当ABAC时,AIC的取值范围为mAICn,分别直接写出m,n的值. 备用图 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:AB=AD,B=D,BC=DE, ABCADE. (3分) BAC=DAE.BAC-DAC=DAE-DAC. BAD=CAE. (4分) (2)PD=6-x. (5分) 如图,当ADBC时,x最小,PD最大. B=30,AB=6,x= AB= 6=3. 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 PD的最大值为3. (7分) (3)m=105,n=150. (9分) 提示:根据I为APC的内心可得IAC

21、= PAC,ACI= ACP,所以AIC=180- PAC- ACP=90 + APC,所以AIC的大小取决于APC的大小.假设点P与点B重合,此时AIC=90+ B=105,随着点 P接近点C,APC的最大值接近于120,假设APC=120,此时AIC=90+ 120=150,即105AIC150,所 以m=105,n=150. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 (1)根据SAS可证明ABCADE,得出BAC=DAE,进而可得BAD=CAE;(2)易得PD=6 -x,根据x的取值判断当AP最短(ADBC)时,PD取得最大值;(3)根据I为APC的内心易

22、知AIC=90+ APC,可 得AIC的大小取决于APC的大小,根据30APC120进而确定105AIC150,所以m=105, n=150. 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 12.(2016广东,19,6分)如图,已知ABC中,D为AB的中点. (1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连接DE(保留作图痕迹,不要求写作法); (2)在(1)的条件下,若DE=4,求BC的长. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)如图. (2分) E点,DE即为所求. (3分) (2)DE是ABC的中位线,且DE=4, BC=2DE=24=8. (6分) 评析评析 本题主要考查平面几何中尺规

23、作图的基本方法(中点的作法),以及三角形中位线的性质. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 全等三角形的判定与性质 1.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;两边及其 中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.其 中正确的命题的序号为 . 答案答案 解析解析 等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等腰 三角形全等,命题正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全等,得两边的夹角对应相等,再由SAS 证得原两三角形全等,命题正确;直角三角形斜

24、边上的中线等于斜边的一半,所以仅有斜边相等不能证得 两个直角三角形全等,命题错误.故正确的命题是. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:AF=DE. 证明证明 BE=CF, BE+EF=CF+EF, BF=CE. 在ABF和DCE中, ABFDCE(SAS), AF=DE. , , , ABDC BC BFCE 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019甘肃兰州,20,6分)如图,AB=DE,BF=EC,B=E.求证:ACDF. 证明证明 BF=EC,BF+CF=EC+CF, BC=EF, 在AB

25、C与DEF中, ABCDEF(SAS), ACB=EFD, ACDF. , , , ABDE BE BCEF 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2019浙江温州,18,8分)如图,在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CFAB交ED的延 长线于点F. (1)求证:BDECDF; (2)当ADBC,AE=1,CF=2时,求AC的长. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:CFAB, B=FCD,BED=F. AD是BC边上的中线, BD=CD, BDECDF. (2)BDECDF,BE=CF=2, AB=AE+BE=1+2=3. ADBC,BD=CD,A

26、C=AB=3. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2019江苏苏州,24,8分)如图,ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得 CAF=BAE.连接EF,EF与AC交于点G. (1)求证:EF=BC; (2)若ABC=65,ACB=28,求FGC的度数. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:线段AC绕点A旋转到AF的位置, AC=AF. CAF=BAE, CAF+CAE=BAE+CAE, 即EAF=BAC. 在ABC和AEF中, ABCAEF(SAS), EF=BC. (2)AE=AB,AEB=ABC=65. ABCAEF,AEF=AB

27、C=65, FEC=180-AEB-AEF=180-65-65=50. , , , ABAE BACEAF ACAF 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 FGC是EGC的外角,GCE=28, FGC=GEC+GCE=50+28=78. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2018云南,16,6分)如图,已知AC平分BAD,AB=AD. 求证:ABCADC. 证明证明 AC平分BAD, BAC=DAC. (2分) 在ABC和ADC中, ABCADC(SAS). (6分) , , , ABAD BACDAC ACAC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 7.(2017湖北黄冈,16,6分)已知:如图,B

28、AC=DAM,AB=AN,AD=AM.求证:B=ANM. 证明证明 BAC=DAM, BAC-DAC=DAM-DAC,即BAD=NAM. (2分) 在ABD和ANM中, ABDANM(SAS). (5分) B=ANM. (6分) , , , ABAN BADNAM ADAM 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 8.(2019北京,27,7分)已知AOB=30,H为射线OA上一定点,OH= +1,P为射线OB上一点,M为线段OH上一 动点,连接PM,满足OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转150,得到线段PN,连接ON. (1)依题意补全图1; (2)求证:OMP=OPN; (3)点M关

29、于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ON=QP,并证明. 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)补全图形,如图. (2)证明:MPN=150, OPN=150-OPM, AOB=30, OMP=180-(AOB+OPM)=150-OPM. OMP=OPN. (3)OP的值为2. 证明:任取满足条件的点M,过点P作PSOA于点S,在OA上取一点T,使得ST=SM,连接TP,如图. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 PT=PM. PTM=PMT,PT=PN. PTQ=PMO. PTQ=NPO. 点M关于点H的对称点为Q, MH=HQ. 当点T在点H的左

30、侧时, QT=HQ+HT=HM+HT=2ST+HT+HT=2(ST+HT)=2HS. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 在RtOPS中,OS=OP cos 30= . OH= +1, HS=OH-OS= +1- =1. QT=2. 当点T在点H的右侧或与点H重合时,同理可求QT=2. QT=OP. OPNQTP.ON=QP. 3 3 33 思路分析思路分析 本题第(3)问需要关注线段OH对QP的影响,同时要构造全等三角形来解决. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 一、选择题一、选择题(每小题3分,共12分) 30分钟 45分 1.(2019辽宁辽阳模拟,9)如图,BD平分ABC,DEBC于点E,A

31、B=7,DE=4,则SABD= ( ) A.28 B.21 C.14 D.7 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 C 如图,作DHBA于H. BD平分ABC,DEBC,DHBA,DH=DE=4, SABD= 74=14,故选C. 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018贵州黔南州一模,5)如图,ABC中,C=80,若沿图中虚线截去C,则1+2= ( ) A.360 B.260 C.180 D.140 答案答案 B 如图,1、2是CDE的外角,且1=4+C,2=3+C,1+2=(4+C)+(3+ C)=C+(C+3+4)=80+180=260.故选B. 栏目引栏目引 栏目索引

32、栏目索引 3.(2018四川广元利州一模,6)如图,在ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DEAB,垂足为点E,则 DE等于 ( ) A. B. C. D. 10 13 15 13 60 13 75 13 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 C 连接AD, AB=AC,D是BC的中点, ADBC,BD=CD= 10=5, 又AB=13, AD= =12. 易知ABC的面积是ABD面积的2倍, 2 AB DE= BC AD, DE= = . 故选C. 1 2 22 135 1 2 1 2 10 12 2 13 60 13 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2017

33、陕西西安三十九中模拟,6)如图,在ABC中,BAC=56,ABC=74,BP、CP分别平分ABC和 ACB,则BPC= ( ) A.102 B.112 C.115 D.118 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 D 在ABC中,BAC=56,ABC=74, ACB=180-BAC-ABC=50. BP、CP分别平分ABC和ACB, PBC=37,PCB=25, BPC=180-PBC-PCB=118. 故选D. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 二、填空题二、填空题(每小题3分,共9分) 5.(2019云南昆明模拟,3)如图,点D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点,连接DE、E

34、F、FD,得 DEF,如果ABC的周长是48 cm,那么DEF的周长是 . 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 24 cm 解析解析 D、E分别是ABC的边AB、BC的中点, DE= AC, 同理,EF= AB,DF= BC, CDEF=DE+DF+EF= AC+ BC+ AB= (AC+BC+AB)= 48=24(cm). 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2018贵州铜仁沿河4月模拟,15)如图,EF为ABC的中位线,AEF的周长为6 cm,则ABC的周长为 cm. 答案答案 12 解析解析 由已知得,BC=2EF,

35、AB=2AE,AC=2AF,AEF的周长为6 cm,EF+AE+AF=6 cm,BC+AB+AC= 2(EF+AE+AF)=12 cm. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 7.(2019黑龙江哈尔滨松北一模,20)如图,AD和BE分别为三角形ABC的中线和角平分线,ADBE,若AD=BE= 4,则AC的长为 . 答案答案 3 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 过D点作DFBE交AC于点F,设AD与BE交于点G,如图所示: AD是ABC的中线,BD=DC.又DFBE, F为EC的中点,ADBE,DFBE,ADDF, AD=BE=4,DF=2,AF= =2 . BE是ABC的角平分线,A

36、DBE, 易证ABGDBG,AG=DG, G为AD的中点,又DFGE,E为AF的中点,E,F为AC的三等分点,AC= AF=3 . 22 ADDF5 3 2 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 三、解答题三、解答题(共24分) 8.(2019云南昆明官渡一模,16)如图,EFBC,EF=BC,DA=EB,求证:F=C. 证明证明 DA=BE,DA+AE=EB+AE,即DE=AB,EFBC,B=DEF. 在ABC和DEF中, ABCDEF(SAS),C=F. , , , BCEF BDEF ABDE 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 9.(2019江西宜春高安一模,16)如图,ABC与ABD中,A

37、D与BC相交于O点,1=2,请你添加一个条件(不 再添加其他线段,不再标注或使用其他字母),使AC=BD,并给出证明. 你添加的条件是: . 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 添加的条件不唯一,可以为AD=BC或OC=OD或C=D或CAO=DBO. (1)添加的条件是AD=BC时,证明如下: 在ABC与BAD中, ABCBAD,AC=BD. (2)添加的条件是OC=OD时,证明如下: 1=2,OA=OB. OC=OD,OA+OD=OB+OD,AD=BC. 在ABC与BAD中, ABCBAD,AC=BD. (3)添加的条件是C=D时,证明如下: , 21, , BCAD ABBA , 2

38、1, , BCAD ABBA 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 在ABC与BAD中, ABCBAD,AC=BD. (4)添加的条件是CAO=DBO时,证明如下: 1=2,CAO=DBO,CAO+1=DBO+2, CAB=DBA. 在ABC与BAD中, ABCBAD,AC=BD. , 21, , CD ABBA , , 21, CABDBA ABBA 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 10.(2018四川南充模拟,19)如图,已知1=2,3=4,点P是BD上任意一点,求证:PA=PC. 证明证明 在ABD和CBD中, ABDCBD(ASA),AD=CD. 在PAD和PCD中, PADPCD(SAS)

39、,PA=PC. 12, , 34, BDBD , 34, , ADCD PDPD 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 11.(2018四川宜宾二模,18)如图,分别过点C、B作ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线,垂足分别 为E、F.求证:BF=CE. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 证明证明 CEAF,BFAF, CED=BFD=90. AD是边BC上的中线, BD=DC. 在BDF和CDE中, BDFCDE(AAS), BF=CE. , , , BDFCDE BFDCED BDCD 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 一、选择题一、选择题(每小题3分,共6分) 40分钟 50分 1.(201

40、9辽宁沈阳沈河一模,9)如图,在ABC中,C=90,E,F分别是AC,BC上的点,AE=16,BF=12,点P,Q,D分 别是AF,BE,AB的中点,则PQ的长为 ( ) A.10 B.8 C.2 D.20 7 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 A C=90, CAB+CBA=90. 点P,D分别是AF,AB的中点,BF=12, PD= BF=6,PDBC, PDA=CBA. 同理,QD= AE=8,QDB=CAB, PDA+QDB=90,PDQ=90, PQ= =10, 故选A. 1 2 1 2 22 PDDQ 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2017湖北天门模拟,5)如图,在

41、ABC中,点D、E、F分别是三条边上的点,EFAC,DFAB,B=45,C =60,则EFD= ( ) A.80 B.75 C.70 D.65 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 B EFAC, EFB=C=60. DFAB, DFC=B=45, EFD=180-60-45=75. 故选B. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 二、填空题二、填空题(每小题3分,共9分) 3.(2019甘肃定西一诊,17)如图,ABCD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3,则EF的长是 . 答案答案 1 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 如图,连接DE并延长交AB于H. CDAB,C=

42、A, E是AC的中点,AE=EC. 在DCE和HAE中, DCEHAE(ASA),DE=HE,DC=AH. 又F是BD的中点,EF是DHB的中位线, EF= BH,而BH=AB-AH=AB-DC=2,EF=1. , , , CA CEAE CEDAEH 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2019辽宁营口一模,15)如图所示,DE为ABC的中位线,点F在DE上,且AFB=90,若AB=5,BC=8,则EF的 长为 . 答案答案 1.5 解析解析 AFB=90,D为AB的中点,AB=5, DF= AB=2.5. DE为ABC的中位线,BC=8, DE= BC=4,EF=DE-DF=1.

43、5. 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2018湖北襄阳南漳二模,15)如图,AB=AC,点D,E分别在AB,AC上,CD,BE交于点F,若只添加一个条件便可 使ABEACD,则添加的条件是 . 答案答案 B=C(答案不唯一) 解析解析 当添加条件B=C时, 在ABE和ACD中, ABEACD(ASA). 答案不唯一,还可添加AE=AD或CE=BD或AEB=ADC. , , , AA ABAC BC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 三、解答题三、解答题(共35分) 6.(2018福建宁德质检,18)如图,在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,ABC的角平分线AG交DE于

44、点F,若 ABC=70,BAC=54,求AFD的度数. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 BAC=54,AG平分BAC, BAG= BAC=27, BGA=180-ABC-BAG=83. 点D,E分别是AB,AC的中点, DE是ABC的中位线,且DEBC, AFD=BGA=83. 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 7.(2018江西宜春高安一模,14)如图,AOB,COD是等腰直角三角形,点D在AB上. (1)求证:AOCBOD; (2)若AD=3,BD=1,求CD的长. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:AOB,COD是等腰直角三角形, OC=OD,OA=OB,AOB=COD=90, AOC=BOD=90