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1、二十章节曲线积分二十章节曲线积分（5）(,y)s(,)LLf xdf x y ds若存在，则也存在，6(,y)sLf xd ()若存在，L的弧长为s,则存在常数c,使得(,y)s=csLf xd定理定理且且上有一阶连续导数上有一阶连续导数在在其中其中参数方程为参数方程为的的上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设,)(),()(),(),(,),(ttttytxLLyxf dtttttfdsyxfL )()()(),(),(22)(证略。证略。).(),(:tytxL 这里这里，.t.)()(22dtttds 曲线积分定积分(1)L：y=y(x),axb假设 y(x)C1(a,b).有

2、xxyxyxfsyxfbaLd)(1)(,(d),(2(a b)xxysd)(1d2 计算：计算：(2)L：x=x(y),cyd假设 x(y)C1(c,d).有yyxyyxfsyxfdcLd)(1),(d),(2(c d)yyxsd)(1d2例例1.1.计算.dsyL其中 L 为y2=2x自点(0,0)到点(2,2)的一段弧.xxxsyLd2112d 20解解1 1：0 x2,2 :xyLxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220)155(31(3)L：x=(t),y=(t),ttttsd)()(d22tttttfsyxfLd)()()(),(d),(22()注意注意:

3、;.1 一一定定要要小小于于上上限限定定积积分分的的下下限限.,),(.2而而是是相相互互有有关关的的不不彼彼此此独独立立中中yxyxf.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc .),(:dycyyyxL .)(12dyyds 特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .).(,:bxaxyxxL .)(12dxxds .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba ).(),(:tytxL 1.曲线曲线.t对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的计算公式dtttttfdsyxfL )()()(),(),(22则则2.曲线曲线.)

4、(:bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL .)(:dycyxL 3.曲线曲线.)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL 则则则则推广推广:)().(),(),(:ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf例例1.1.计算.dsyL其中 L 为y2=2x自点(0,0)到点(2,2)的一段弧.xxxsyLd2112d 20解解1 1：0 x2,2 :xyLxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220)155(31解解2 2：0y2,2 :2yxLyyysyLd1d 202yyxsddd1d2y

5、y d12)155(31022yx22yx 例例2.2.计算Lsyxd)(L:连接O(0,0),A(1,0),B(0,2)的闭折线OABO.解解：L分段光滑BOABOAL ds=dx21d)0(d)(10 xxsyxOAOA:y=0,0 x1O2AByx110d5)22(d)(xxxsyxABAB:y=22x,0 x1xysd1d2xd552320dd)(yysyxBOBO:x=0,0y2 ds=dy=2252321d)(Lsyx)535(21O2AByx1例例3.3.计算Lsyxd)(22其中L:x2+y2=a2.L:x=acos t,y=asin t,0t2Lsyxd)(22ttatata

6、tad)cos()sin()sincos(22222022taad20232 a(4)空间R3中的曲线：x=(t),y=(t),z=(t),tszyxfd),(xyzOtttttttfd)()()()(),(),(222()例例4.4.计算.d)(23szyx其中：从点A(3,2,1)到点O(0,0,0)的直线段.解解：直线段 AO 方程：123zyx化成参数方程：x=3t,y=2t,z=t,0t1.ttttszyxd123)2()3(d)(222210323tt d143110314431例例52,:,(0,0)(1,1).LIydsL yx求其中从到一段解解dxxxI)(12102 .10

7、:2 xxyLdxxx21041 )155(121 例例6)20(.,sin,cos:,)(222 的的一一段段其其中中求求kzayaxdszyxI解解).43(3222222kaka dkaakaa222222222)cos()sin(sincos 20I 2022222)(dkaka例例7 .0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解解 由对称性由对称性,知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa例例8).(,sin,cos:,象象限限第第椭椭圆圆其其中中求求 tbytaxLxydsI

8、L解解dttbtatbta2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin )(sin sin)(22202222tdbtbaab ,cos)(tatx .sin)(tbty xyoab,sin)(tat .cos)(tbt .20 t Lxyds.)(3)(22bababaab sin)(sin)()(2222220222222btbadbtbabaab 2023222222sin)(32)(2 btbabaabdttbtatbta2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin )(sin

9、sin)(22202222tdbtbaab Lxyds例例9其其中中计计算算 .)(Ldsyx解解.0)(x 的的直直线线；到到点点点点)0,2()0,0(:)1(AoL的的直直线线；到到点点点点)3,2()0,2(:)2(BALAxyo23B(1)L：.20 ,0)(xxy Ldsyx)(dxx 20201)0(dxx 20.2.0)(x(2)L：.30 ,2)(yyx Ldsyx)(dyy 30201)2(dyy 30)2(.221 例例10.)2,1()2,1(,4:,2一一段段到到从从其其中中求求 xyLydsIL解解dyyy222)2(1 .0 xy42 xyo12 2.22 ,4)

10、(:2 yyyxL.2)(yy LydsIdyyy41222 例例11解解直直其中曲线其中曲线计算计算 ,.222 22ayxdseLyx 形形边边界界。在在第第一一象象限限中中所所围围的的图图线线 ,0 xyx dseLyx 22xyo2 2 aAB.0 ,0 :ayxoA .0 xdseoAyx 22dyeay 0120022 dyeay 0.1 aedsedsedseoByxAByxoAyx 222222 xyo2 2 aAB.0 ,0 :ayxoA .0 xdseoAyx 22dyeay 0120022 dyeay 0.1 aedttataetata)sin()cos(2224)sin

11、()cos(22 .24 ,sin ,cos :ttaytaxABdseAByx 22.cos ,sintaytax dttataetata)sin()cos(2224)sin()cos(22 dtaea 24 .6aea .24 ,sin ,cos :ttaytaxABdseAByx 22.cos ,sintaytax .2 20 ,:axxyoB .1 ydseoByx 22dxeaxx 11222022 xyo2 2 aAB于是，于是，dseLyx 22dsedsedseoByxAByxoAyx 222222)1(4)1(aaaeeae.2)42(aea.1 aedxeax 2220 2

12、 .2 20 ,:axxyoB .1 ydseoByx 22dxeaxx 11222022 ,),()1(的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx;),(LdsyxM;,1),()2(LdsLyxf弧弧长长时时当当,),(),()3(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表示立于当当yxLyxf.),(LdsyxfS柱柱面面面面积积sL),(yxfz ,)1(曲曲线线弧弧的的转转动动惯惯量量.,22 LyLxdsyIdsxI 曲线弧的质心坐标曲线弧的质心坐标)2(.,LLLLdsdsyydsdsxx ,)(220 LdsyxI 例例9).(,sin,cos:ttRytRxL解解:如图设

13、置坐标系如图设置坐标系dttRtRtR2222cos)sin(sin .1(2,）设设线线密密度度为为它它的的对对称称轴轴的的转转动动惯惯量量对对于于的的圆圆弧弧中中心心角角为为计计算算半半径径为为LR xy LxdsyI2tdtR 23sin).cossin(3 R1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧长曲线积分的概念2 2、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算3 3、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用作业:P201:1,(1)(7),2,3.思考判断题思考判断题（1）对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？的符号可能为负吗？iS（2）对弧长的曲线积分是否与曲线方对弧长的曲线积分是否与曲线方向有关？向有关？思考题思考题对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？iS 思考题解答思考题解答iS 的符号永远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度.44 结束语结束语