转向点152相对极值与导数判别法相对极值课件.ppt

1、15.1 切線與法線切線與法線：切線方程可由下式給出的在點曲線)()(11y,xAxfy)(111xxxfyy)()(1111xxxfyy11 )(0)(xxxAxxf軸垂直，其方程為點的法線將與在，軸平行的水平線即切線為一條與時，當作為特例15.1 圖微分的應用微分的應用1515.1 切線與法線切線與法線 )(：法線方程可由下式給出點的在曲線Axfy 法線切線解：解：例例 15.1的切線方程在點試求曲線 2)(1,3 2xxyxxy3215.1 切線與法線切線與法線)32(321dd2xxxxyxxx32322)1(3)1(23)1(2dd21xxy45的切線方程為曲線在點 2)(1,)(1

2、452yx5584xy0345yx解：解：例例 15.1的切線方程在點試求曲線 2)(1,3 2xxy15.1 切線與法線切線與法線遞增函數與遞減函數遞增函數與遞減函數 15.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數判別法在此區間內是遞減的則，內若在區間在此區間內是遞增的則，內若在區間為可微函數設)(0)(2)(0)(1)(xfxfbxaxfxfbxaxf15.3 圖遞增 x遞增 x遞增函數與遞減函數遞增函數與遞減函數 15.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數判別法相對極值相對極值 15.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數判別法15.4 圖相對極值相對極值 15.2 相對極值與導數判別法

3、相對極值與導數判別法)(,11xfx)(,22xfxa1xb2x15.4 圖相對極值相對極值 15.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數判別法注意：注意：的極大點稱為曲線在這種情況下，處有相對極大值在則函數，值，都有的一個開區間內的所有若對包含 )()()()()(.1xfycfc,cxxfyxfcfxc處有則稱該函數在極小值，處有相對極大值或相對在若函數 )()1(cxcxxfy點處改變了前進方向些，因為曲線在這極大點或極小點也稱為 )2(轉向點轉向點15.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數判別法的極小點稱為曲線在這種情況下，處有相對極小值在則函數，值，都有的一個開區間內的所有若對包含

4、 )()()()()(.2xfycfc,cxxfyxfcfxc相對極值相對極值。一階導數判別法一階導數判別法 15.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數判別法 )(15.5 零處，曲線的切線斜率為斜率為負；而在曲線的切線的右側，率為正；在的左側，曲線的切線斜在我們可以看到，處有相對極大值在中，曲線在圖cxcxcxcxxfyc)(xfy 15.5 圖一階導數判別法一階導數判別法 15.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數判別法15.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數判別法零處，曲線的切線斜率為率為正；而在的右側，曲線的切線斜在曲線的切線斜率為負；的左側，處有相對極小值，則在在說明了，若圖

5、 )(15.6 cxcxc xcxxfc15.6 圖15.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數判別法一階導數判別法為可微函數設)(xfy 處有相對極大值在的值由正變負，則時，遞增經，且當若 )()(0)(1.cxxfxfcxcf15.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數判別法處有相對極小值在則的值由負變正，時，遞增經，且當若 )()(0)(2.cxxfxfcxcfABCD駐點 轉向點 極大點 極小點 15.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數判別法解：解：例例 15.6試求已知曲線126 23xxy )a(曲線的駐點；xxxy123dd (a)2)4(3xx0dd xy為了求駐點，令0)

6、4(3xx4 0或x)20 4()12 0(20 4 12 0 ,y xyx及所以，駐點為，；當時，當 (ii)(i)b(是遞減的；是遞增的；值的範圍，使yyx曲線的極大點及極小點 )c(15.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數判別法:4)(3dd (b)下，因此，我們可列表如由於xxxy444000 x xx xx x 0 0 ddxy 4 0 (i)是遞增的，時或當yxx是遞減的時，當 4 0 (ii)yx 解：解：例例 15.6試求已知曲線126 23xxy曲線的極大點及極小點 )c(15.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數判別法 )a(曲線的駐點；(ii)(i)b(是遞減的；是

7、遞增的；值的範圍，使yyx的符號由正變為負時，遞增經當xyxdd 0 )c(為一極大點所以，)12,0(為一極小點所以，)20,4(的符號由負變為正時，遞增經當 dd 4 xyx解：解：例例 15.6試求已知曲線126 23xxy曲線的極大點及極小點 )c(15.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數判別法 )a(曲線的駐點；(ii)(i)b(是遞減的；是遞增的；值的範圍，使yyx二階導數判別法二階導數判別法 二階導數判別法處有相對極大值在，則及若 )(0)(0)(1.cxxfcfcf 處有相對極小值在，則及若 )(0)(0)(2.cxxfcfcf 15.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數

8、判別法對於相對極值來說，還存在著另一種判別方法，但需要用到函數的二階導數。若二階導數較易求出，這種方法會較一階導數判別法更有效。解：解：0 2sin xxxy中的極大點及極小點，其試求曲線xxy2sinxxy2cos21ddxxy2sin4dd22例例 15.715.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數判別法0dd xy為了求轉向點，令212cosx65 6或x2365 236或y032dd622xxy為一極小點所以，236,6 032dd6522xxy為一極大點所以，2365,65解：解：例例 15.715.2 相對極值與導數判別法相對極值與導數判別法 0 2sin xxxy中的極大點及極

9、小點，其試求曲線值範圍有定義的使 )(1.xxf )(的圖像的項目曲線下列是一些有助於描繪xfy 15.3 曲線的描繪曲線的描繪軸截距軸截距與曲線的 2.yx值範圍遞增或遞減的使 )(3.xxf曲線的極大點與極小點 4.解：解：例例 15.9的圖像描繪 82 24xxy2 2 2 2 0 )2)(2)(2(082 0 8 8 0 224及軸截距為所以，曲線的或時，當軸截距為所以，曲線的時，當有定義的所有實數值，函數都對xxxxxxxyy yxx15.3 曲線的描繪曲線的描繪解：解：)1)(1(4 44 dd3xxxxxxy11 0 0 dd xxy或為了求駐點，令1 1 10 0 01 11

10、x x x x x x xx 0 0 0 ddxy例例 15.915.3 曲線的描繪曲線的描繪、的圖像描繪 82 24xxy具有以下特徵：由此，曲線 82 24xxy處函數有相對極大值在處函數有相對極小值及在時，函數是遞減的或當時，函數是遞增的或當 0 (iv)1 1 (iii)10 1 (ii)1 01 )i(xxxxxxx)9(1,)91(9 1 9 1 及所以，曲線的極小點為時，當時，當,yxyx)80(8 0 ,yx所以，曲線的極大點為時，當根據以上資料，可把曲線的圖像描繪(參考圖 15.9)解：解：例例 15.915.3 曲線的描繪曲線的描繪的圖像描繪 82 24xxy解：解：例例

11、15.9的圖像描繪82 24xxy15.3 曲線的描繪曲線的描繪15.9 圖具有以下特徵：由此，曲線 82 24xxy處函數有相對極大值在處函數有相對極小值及在時，函數是遞減的或當時，函數是遞增的或當 0 (iv)1 1 (iii)10 1 (ii)1 01 )i(xxxxxxx)9(1,)91(9 1 9 1 及所以，曲線的極小點為時，當時，當,yxyx根據以上資料，可把曲線的圖像描繪(參考圖 15.9)80(8 0 ,yx所以，曲線的極大點為時，當15.4 絕對極值與最優化問題絕對極值與最優化問題絕對極值絕對極值 )()(15.15，便是出現在端點處若不是出現在駐點我們由此觀察到，處有一絕

12、對極小值在處有一絕對極大值，而在內，在區間的圖像中可微函數現在來看看圖axcxxfbxaxf15.15 圖絕對極值絕對極值15.4 絕對極值與最優化問題絕對極值與最優化問題絕對極值絕對極值 解：解：例例 15.13小值的絕對極大值及絕對極在區間試求函數 13 4204)(234xxxxxf)(5 0 2 0)5)(2(4 0)()5)(2(4 )103(4 40124)(4204 )(223234捨去或為了求駐點，令xxxxxfxxxxxxxxxxfxxxxf15.4 絕對極值與最優化問題絕對極值與最優化問題、134)3(20)3(4)3()3(234f284)2(20)2(4)2()2(23

13、4f44)0(20)0(4)0()0(234f194)1(20)1(4)1()1(234f解：解：例例 15.1315.4 絕對極值與最優化問題絕對極值與最優化問題所以，f(x)在區間 3 x 1 的絕對極大值與絕對極小值分別為 13 及 28。小值的絕對極大值及絕對極在區間試求函數 13 4204)(234xxxxxf134)3(20)3(4)3()3(234f284)2(20)2(4)2()2(234f44)0(20)0(4)0()0(234f194)1(20)1(4)1()1(234f解：解：例例 15.1315.4 絕對極值與最優化問題絕對極值與最優化問題所以，f(x)在區間 3 x

14、1 的絕對極大值與絕對極小值分別為 13 及 28。小值的絕對極大值及絕對極在區間試求函數 13 4204)(234xxxxxf例例 15.14長被裁去的小正方形的邊試求角上若要盒子有最大容積，上蓋的盒子然後摺成一個沒有形的四角分別裁去小正方的正方形紙板所示，把邊長為如圖 cm 12 15.17 15.4 絕對極值與最優化問題絕對極值與最優化問題解：解：15.17 圖例例 15.1415.4 絕對極值與最優化問題絕對極值與最優化問題長被裁去的小正方形的邊試求角上若要盒子有最大容積，上蓋的盒子然後摺成一個沒有形的四角分別裁去小正方的正方形紙板所示，把邊長為如圖 cm 12 15.17 xxxxx

15、xVVx144484 60 )212(cm cm 2323，其中積為及沒有上蓋的盒子的容邊長為設角上裁去的小正方形15.18 圖1449612dd 2xxxVx求導數，得對在上述方程的兩邊同時9624dd22xxV解：解：15.17 圖例例 15.1415.4 絕對極值與最優化問題絕對極值與最優化問題長被裁去的小正方形的邊試求角上若要盒子有最大容積，上蓋的盒子然後摺成一個沒有形的四角分別裁去小正方的正方形紙板所示，把邊長為如圖 cm 12 15.17)(6 2 0)6)(2(12 01449612 0dd2捨去或時，當xxxxxxV取極大值時，所以，當時，當 2 048dd 2 22VxxVx

16、容積所摺成的盒子便有最大時，小正方形的邊長為所以，當角上被裁去的 cm 2 15.18 圖解：解：15.17 圖例例 15.1415.4 絕對極值與最優化問題絕對極值與最優化問題長被裁去的小正方形的邊試求角上若要盒子有最大容積，上蓋的盒子然後摺成一個沒有形的四角分別裁去小正方的正方形紙板所示，把邊長為如圖 cm 12 15.17 與變率相關的問題與變率相關的問題 例例 15.20表面面積的增長率半徑的增長率；時，試求當氣球的半徑為定為氣球，使它的膨脹率固把空氣注入一個球狀的 (b)(a)cm 2 scm 13 解：解：33 34 cm cm (a)rVrVt 及徑分別為秒時，氣球的面積及半設在

17、trrtrrtVtdd4 dd334 dd 22，求導數間在方程的兩邊同時對時15.4 絕對極值與最優化問題絕對極值與最優化問題 dd tV已知時，當 2 rtrdd(2)4 2161 ddtr1 cm 161 s所以，半徑的增長率為與變率相關的問題與變率相關的問題 例例 15.20解：解：15.4 絕對極值與最優化問題絕對極值與最優化問題表面面積的增長率半徑的增長率；時，試求當氣球的半徑為定為氣球，使它的膨脹率固把空氣注入一個球狀的 (b)(a)cm 2 scm 13 224 cm cm )b(r A rAt及及半徑分別為秒時，氣球的表面面積設在trrtAdd24dd trrdd8時，當 2 r161(2)8ddtA s cm 12率為所以，表面面積的增長與變率相關的問題與變率相關的問題 例例 15.20解：解：15.4 絕對極值與最優化問題絕對極值與最優化問題表面面積的增長率半徑的增長率；時，試求當氣球的半徑為定為氣球，使它的膨脹率固把空氣注入一個球狀的 (b)(a)cm 2 scm 13