第一组力的功为课件.ppt

1、10-1 概述概述10-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算10-3 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式 10-4 互等定理互等定理10-5 卡氏定理卡氏定理10-6 虚功原理虚功原理10-7 单位载荷法单位载荷法 莫尔积分莫尔积分10-8 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法10-1 概述概述l 能量原理能量原理与功和能有关的定理，统称为与功和能有关的定理，统称为能量原理能量原理。运用能量原理求解问题的方法称为运用能量原理求解问题的方法称为能量法能量法。l 功能原理功能原理外力的功等于变形能外力的功等于变形能:WU 10-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算1 轴向拉伸或压缩轴向拉伸或

2、压缩WU lP21EAlP22Pll1 轴向拉伸或压缩轴向拉伸或压缩WU lP21EAlP22l 轴力轴力N是是x的函数时的函数时EAxxNU2d)(d2lEAxxNU2d)(2l 应变能密度应变能密度21uE22PlllEAxxNU2d)(2l 应变能密度应变能密度21uE222 纯剪切纯剪切21uG22l 应变能密度应变能密度3 扭转扭转WU m21pGIlm223 扭转扭转WU m21pGIlm22l 扭矩扭矩T是是x的函数时的函数时lpGIxxTU2d)(24 弯曲弯曲l 纯弯曲时纯弯曲时EImxdd4 弯曲弯曲l 纯弯曲时纯弯曲时转角转角EImxddxEImdd纯弯曲时各截面的弯矩相

3、等，纯弯曲时各截面的弯矩相等，m为常数。为常数。lxEIm0dEIml变形能变形能WU m21EIlm22lxEIm0dEIml变形能变形能WU m21EIlm22l 横力弯曲时横力弯曲时对细长梁，对细长梁，剪力剪力引起的变形能与引起的变形能与弯矩弯矩引起的变引起的变形能相比很小，通常可忽略不计。形能相比很小，通常可忽略不计。横力弯曲时，弯矩是横力弯曲时，弯矩是x的函数。的函数。EIxxMU2d)(d2lEIxxMU2d)(2EIxxMU2d)(d2lEIxxMU2d)(25 用广义力和广义位移表示变形能用广义力和广义位移表示变形能WU P21,21lPU可将可将统一写为统一写为,21mU m

4、U216 非线性弹性材料的变形能非线性弹性材料的变形能WU,d10P10du例例 1.已知已知:圆截面半圆曲杆，圆截面半圆曲杆，P，R,EI,GIp。求求：A点的垂直位移。点的垂直位移。解解：1 求内力求内力l 截面截面mn,取左段取左段TM,sinPRM)cos1(PRT2 变形能变形能EIRMU2d)(d2pGIRT2d)(21 求内力求内力l 截面截面mn,取左段取左段,sinPRM)cos1(PRT2 变形能变形能EIRMU2d)(d2pGIRT2d)(2TMEIRP2dsin232pGIRP2d)cos1(23202322dsinEIRPU02322d)cos1(pGIRP02322

5、dsinEIRPU02322d)cos1(pGIRPEIRP432pGIRP43323 外力的功外力的功APW21由由U=W，得，得:AP21EIRP432pGIRP4332EIPRA23pGIPR233例例 2.已知已知 应变能密度公式。应变能密度公式。求求：横力弯曲时的：横力弯曲时的弯曲变形能和剪切弯曲变形能和剪切变形能公式。变形能公式。解解：应变能密度为应变能密度为,221EuGu222y处应力处应力,)(IyxMIbSxQz*)(解解：应变能密度为应变能密度为,221EuGu222y处应力处应力,)(IyxMIbSxQz*)(,2)(2221EIyxMu 222*222)(bGISxQ

6、uzVuUVd11 lAxAEIyxMdd2)(222l 弯曲变形能弯曲变形能VuUVd11lAxAyEIxMdd2)(222lxEIxMUd2)(21与前面导出的与前面导出的弯曲弯曲变形能变形能公式相同。公式相同。I222*222)(bGISxQuzl 弯曲变形能弯曲变形能u 剪切应变能密度剪切应变能密度 lAxAEIyxMdd2)(222222*222)(bGISxQuzl 剪切变形能剪切变形能u 剪切应变能密度剪切应变能密度VzVbGISxQUd2)(222*22lAzxAbSGIxQdd)(2)(22*22lAzxAbSIAGAxQdd)(2)(22*22记为记为 klAzxAbSGI

7、xQdd)(2)(22*22lAzxAbSIAGAxQdd)(2)(22*22记为记为 klxGAxQkUd2)(22AzAbSIAkd)(22*2其中的系数其中的系数对矩形截面对矩形截面,5/6k圆截面圆截面,9/10k薄壁圆环薄壁圆环2k例例 3 已知已知:矩形截面简支梁。矩形截面简支梁。求求：比较弯曲和剪切变形能的：比较弯曲和剪切变形能的大小。大小。解解：由于对称性，只需计算一半梁中的变形能。由于对称性，只需计算一半梁中的变形能。)2/0(,2/)(lxPxQl 剪力方程剪力方程)2/0(,)2/()(lxxPxMl 弯矩方程弯矩方程l 弯曲变形能弯曲变形能2/021d)2(212lxx

8、PEIUEIlP9632l 弯曲变形能弯曲变形能2/021d)2(212lxxPEIUEIlP9632l 剪切变形能剪切变形能2/022d)2(22lxPGAkUGAlkP82l 两种变形能之比两种变形能之比21212GAlEIkUUl 对矩形截面对矩形截面,5/6k12/2hAI又：又：)1(2EG212)(1(512lhUUl 两种变形能之比两种变形能之比21212GAlEIkUUl 对矩形截面对矩形截面,5/6k12/2hAI又：又：)1(2EG212)(1(512lhUUl 取取 =0.3，当当 h/l=1/5 时时:125.0/12UU当当 h/l=1/10 时时:0312.0/12

9、UUl 所以，对长梁，所以，对长梁，剪切变形能剪切变形能可可忽略不计忽略不计。10-3 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式1 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式10l 比例加载比例加载比例系数比例系数:时广义力的大小为时广义力的大小为:nPP,1l 线弹性线弹性体体 l 无刚体位移无刚体位移l 广义力广义力 P1,Pn l 力作用点力作用点沿力的方向沿力的方向的的广义位移广义位移 1,n d,d1n 时广义力的大小为时广义力的大小为:当当 有有d 时时,位移的增量为位移的增量为:nPP,1则功的增量为则功的增量为:ddd11nnPPW1011d)(nnPPW力的总功为力的总功为:nnPP2

10、121111011d)(nnPPW力的总功为力的总功为:nnPP212111由功能原理，变形能为由功能原理，变形能为:WU nnPP212111 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式注意注意：i 是是 P1,P2,Pn 共同共同作用下的位移作用下的位移。取一微段为研究对象取一微段为研究对象2 组合变形时的变形能组合变形时的变形能2 组合变形时的变形能组合变形时的变形能取一微段为研究对象取一微段为研究对象由由变形能的普遍表达变形能的普遍表达式，有：式，有：Ud)d()(21lxNd)(21xMd)(21xTEAxxN2d)(2EIxxM2d)(2pGIxxT2d)(2积分可得杆的总变形能积分可得

11、杆的总变形能lEAxxNU2d)(2lpGIxxT2d)(2lEIxxM2d)(2积分可得杆的总变形能积分可得杆的总变形能lEAxxNU2d)(2lpGIxxT2d)(2lEIxxM2d)(2注注：1)上式中忽略了剪切变形能；上式中忽略了剪切变形能；2)若为非圆截面杆，则扭转变形能中的若为非圆截面杆，则扭转变形能中的Ip,应改为应改为It；3)不同内力分量引起的变形能可以叠加，同一内力分量的不同内力分量引起的变形能可以叠加，同一内力分量的变形能不能叠加。变形能不能叠加。10-4 互等定理互等定理1 功的互等定理功的互等定理l 两种加载方式下的两种加载方式下的变形能变形能1)先加第一组，再加先加

12、第一组，再加第二组。第二组。l 线弹性线弹性体上作用有体上作用有两组力。两组力。第一组为第一组为 P1,Pm;第二组为第二组为 Q1,Qn。1)先加第一组，再加第二组先加第一组，再加第二组u 加完第一组力时的功为加完第一组力时的功为:PmmPPP212111u 加完第二组力时，第二加完第二组力时，第二组力的功为组力的功为:QnnQQQ212111u 加第二组力时，第一组加第二组力时，第一组力的功为力的功为:PmmPPP11u 总的功为三项之和总的功为三项之和:PmmPPPU2121111QnnQQQ212111u 加第二组力时，第一组加第二组力时，第一组力的功为力的功为:PmmPPP11u 总

13、的功为三项之和总的功为三项之和:PmmPPP112)先加第二组，再加第一组先加第二组，再加第一组2)先加第二组，再加第一组先加第二组，再加第一组u 加完第二组力时的功为加完第二组力时的功为:PmmPPP212111u 加完第一组力时，第一组力加完第一组力时，第一组力的功为的功为:QnnQQQ212111u 加第一组力时，第二组加第一组力时，第二组力的功为力的功为:QnnQQQ11u 总的功为三项之和总的功为三项之和:PmmPPP212111QnnQQQU2121112u 加第一组力时，第二组加第一组力时，第二组力的功为力的功为:u 总的功为三项之和总的功为三项之和:l 变形能与加载次序无关，所

14、以变形能与加载次序无关，所以:QnnQQQ11QnnQQQ1121UU PmmPPP212111QnnQQQU2121112l 变形能与加载次序无关，所以变形能与加载次序无关，所以:QnnQQQ1121UU PmmPPPU2121111QnnQQQ212111PmmPPP11QnnQQQ11PmmPPP11这就是这就是功的互等定理功的互等定理，即，即:QnnQQQ11PmmPPP11这就是这就是功的互等定理功的互等定理，即，即:第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。

15、2 位移互等定理位移互等定理当仅有两个力当仅有两个力P1和和P2作用时作用时,P1P2记记 P1作用时，在作用时，在P2作用点产作用点产生的沿生的沿P2作用线方向的位移作用线方向的位移为为 21,212 位移互等定理位移互等定理当仅有两个力当仅有两个力P1和和P2作用时作用时,P1P2记记 P1作用时，在作用时，在P2作用点产作用点产生的沿生的沿P2作用线方向的作用线方向的位移为位移为 21,21 12而而P2作用时，在作用时，在P1作用点产生的作用点产生的沿沿P1作用线方向的位移为作用线方向的位移为 12,则由功的互等定理，有则由功的互等定理，有:212121PP当当P1=P2 时，则有时，

16、则有2112P1P2 21 12则由功的互等定理，有则由功的互等定理，有:212121PP当当P1=P2 时，则有时，则有2112即即:当当P1=P2 时，时，P1作用点沿作用点沿P1方向由于方向由于P2的作用而引起的的作用而引起的位移，等于位移，等于P2作用点沿作用点沿P2方向由于方向由于P1的作用而引起的位移。的作用而引起的位移。位移互等定理位移互等定理说明：说明：1)位移应理解为位移应理解为广义位移广义位移；2)功的互等定理和位移互等定理只对功的互等定理和位移互等定理只对线弹性线弹性材料和结材料和结构成立。构成立。例例 4.已知已知:静不定梁，静不定梁，P,a,l。求求：用功的互等定理：

17、用功的互等定理求求 B处反力。处反力。解解：l 取静定基取静定基l 相当系统如图相当系统如图RBl 取第一组力取第一组力:P,RBl 假想作用第二组力假想作用第二组力为为:X=1。l 设第一组力在设第一组力在 X作用点作用点B引起的位移为引起的位移为 B。Bl 取第一组力取第一组力:P,RBl 假想作用第二组力假想作用第二组力为为:X=1。l 设第一组力在设第一组力在 X作作用点用点B引起的位移引起的位移为为 B。RB Bl 由变形协调条件：由变形协调条件：0Bl 第二组力第二组力X在在P,RB作用点引起的位移为作用点引起的位移为1,2。),3(621alEIaEIl332RB B可得可得:)

18、,3(621alEIaEIl332l 第一组力在第二组力引起的位移上的功为第一组力在第二组力引起的位移上的功为:EIlRB3321BRP)3(62alEIPal 第二组力在第一组力引起的位移上的功为第二组力在第一组力引起的位移上的功为:0BXl 第一组力在第二组力引起的位移上的功为第一组力在第二组力引起的位移上的功为:EIlRB3321BRP)3(62alEIPal 第二组力在第一组力引起的位移上的功为第二组力在第一组力引起的位移上的功为:0BXl 由功的互等定理，二者应相等由功的互等定理，二者应相等:033EIlRB)3(62alEIPa)3(232allaPRB10-5 卡氏定理卡氏定理1

19、 卡氏第一定理卡氏第一定理设设i有一增量有一增量i,其它各其它各j不变，不变，则则 Pi作的功为作的功为Pi i，其它各，其它各Pj不作功，则不作功，则:iiPUiiPU两边取极限，得两边取极限，得:iiPU注注：卡氏第一定理适用于非线性材料及结构，是一个普遍定：卡氏第一定理适用于非线性材料及结构，是一个普遍定理，有较重要的理论价值。理，有较重要的理论价值。卡氏第一定理卡氏第一定理2 卡氏第二定理卡氏第二定理两边取极限，得两边取极限，得:iiPU注注：卡氏第一定理适用于非线性材料及结构，是一个普遍：卡氏第一定理适用于非线性材料及结构，是一个普遍定理，有较重要的理论价值。定理，有较重要的理论价值

20、。卡氏第一定理卡氏第一定理设设Pi有一增量有一增量Pi,其它各其它各Pj不变，不变，则则Pi的增量的增量Pi所所作的功为作的功为Pi i/2，其它各，其它各Pi所作的功为所作的功为Pi i 。但由于但由于i 一般是未知的，使用不方便。一般是未知的，使用不方便。忽略高阶微量忽略高阶微量Pi i/2，有，有:2 卡氏第二定理卡氏第二定理设设Pi有一增量有一增量Pi,其它各其它各Pj不变，不变，则则Pi的增量的增量Pi所所作的功为作的功为Pi i/2，其它各，其它各Pi所作的功为所作的功为Pi i 。iiPU2111 P22 PiiP11PU22 PiiPl 为应用功的互等定理，取两组力为应用功的互

21、等定理，取两组力忽略高阶微量忽略高阶微量Pi i/2，有，有:11PU22 PiiPl 为应用功的互等定理，取两组力为应用功的互等定理，取两组力将将P1,P2,Pn看作第一组力看作第一组力,Pi 看作第二组力。看作第二组力。第一组力在第二组第一组力在第二组由功的互等定理由功的互等定理,有有力力Pi 作用点引起的位移为作用点引起的位移为i，第二组力在第一组力第二组力在第一组力作用点引起的位移为作用点引起的位移为1，2,n。将将P1,P2,Pn看作第一组力看作第一组力,Pi 看作第二组力看作第二组力,第一组力在第二组第一组力在第二组由功的互等定理由功的互等定理,有有力力Pi 作用点引起的位移为作用

22、点引起的位移为i，第二组力在第一组力第二组力在第一组力作用点引起的位移为作用点引起的位移为1，2,n。11P22 PiiPiiPUiiPUiiPU由功的互等定理由功的互等定理,有有11P22 PiiPiiPUiiPUiiPU两边取极限，得两边取极限，得:iiPU注注：推导卡氏第二定理时，用了功的互等定理，所以它只：推导卡氏第二定理时，用了功的互等定理，所以它只适用于适用于线弹性线弹性材料及结构。材料及结构。卡氏第二定理卡氏第二定理3 几种常见情况几种常见情况l 横力弯曲横力弯曲3 几种常见情况几种常见情况l 横力弯曲横力弯曲横力弯曲的变形能横力弯曲的变形能lEIxxMU2d)(2代入卡氏第二定

23、理代入卡氏第二定理iiPUliEIxxMP2d)(2交换求导和积分的次序，有交换求导和积分的次序，有liixPxMEIxMd)()(l 桁架、拉、压杆桁架、拉、压杆设有设有n根杆，则变形能为根杆，则变形能为:njjjjEAlNU122代入卡氏第二定理代入卡氏第二定理iiPUl 桁架、拉、压杆桁架、拉、压杆设有设有n根杆，则变形能为根杆，则变形能为:njijjjjPNEAlN1l 扭转扭转代入卡氏第二定理代入卡氏第二定理iiPU扭转变形能为扭转变形能为:lpGIxxTU2d)(2xPxTGIxTlipd)()(l 组合变形组合变形代入卡氏第二定理代入卡氏第二定理iiPU扭转变形能为扭转变形能为:

24、lpGIxxTU2d)(2xPxTGIxTlipd)()(若若Pi力同时引起轴力、扭矩和弯矩，则力同时引起轴力、扭矩和弯矩，则iiPUxPxTGIxTlipd)()(njijjjjPNEAlN1lixPxMEIxMd)()(iiPUxPxTGIxTlipd)()(njijjjjPNEAlN1lixPxMEIxMd)()(l 用卡氏定理解题的一般步骤用卡氏定理解题的一般步骤1)求约束反力；求约束反力；2)分段列出内力方程（轴力、扭矩、弯矩方程分段列出内力方程（轴力、扭矩、弯矩方程）；）；3)对广义力对广义力求偏导数；求偏导数；4)将内力方程和偏导数代入将内力方程和偏导数代入卡氏定理，积分。卡氏定

25、理，积分。例例 1.已知已知:EI,m,P,a,l。求求：fC,A。解解：l 求反力求反力AB段段,PlalmRAlmalPRB)(l 分段列弯矩方程分段列弯矩方程RBRAmxRxMA111)(mxPlalm1)(BC段段222)(PxxMAB段段l 分段列弯矩方程分段列弯矩方程mxRxMA111)(mxPlalm1)(BC段段222)(PxxMRBRAl 求偏导数求偏导数PxM)(11mxM)(11PxM)(22mxM)(221xlalx112x0l 求偏导数求偏导数,)(111xlaPxM1)(111lxmxM,)(222xPxM0)(22mxMl 由卡氏定理由卡氏定理PUfCLxPxME

26、IxMd)()(RBRAl 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理CflxPxMEIxM011111d)()(axPxMEIxM022222d)()(l 由卡氏定理由卡氏定理PUfCLxPxMEIxMd)()(l 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理CflxPxMEIxM011111d)()(axPxMEIxM022222d)()(1110d1xxlamxlPalmEIl2022d)(xxEIPxa363132PamallPaEIl 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理1110d1xxlamxlPalmEIl2022d)(x

27、xEIPxa363132PamallPaEICflxPxMEIxM011111d)()(axPxMEIxM022222d)()(l 求求 CmUALxmxMEIxMd)()(lxmxMEIxM011111d)()(axmxMEIxM022222d)()(l 求求 CmUALxmxMEIxMd)()(lxlxmxlPalmEI0111d11202d)0()(1xPxEIa631PalmlEIRBRAlAxlxmxlPalmEI0111d11202d)0()(1xPxEIa631PalmlEIl 问题问题RBRA本例中求本例中求 fC,A。题中正好题中正好C点作用点作用有有P，A点作用有点作用有m

28、。若没有若没有P力作用或没力作用或没有力偶有力偶m作用，则怎样求出作用，则怎样求出 fC 或或A？aa2aABCDm例例 2.已知已知:EI为常数为常数,m。求求：C 及及D点的水平位点的水平位移移x，轴力及剪力不计轴力及剪力不计。解解：1 为求为求 C，加，加 m2,22ammRAyl 分段列弯矩方程并求对分段列弯矩方程并求对m2的偏导数的偏导数m2l 求反力求反力ammRD22l 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理积分求出积分求出)(322mmEIaCl 将弯矩方程和偏导数将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理代入卡氏定理积分求出积分求出)(322mmEIaC实际上并无实

29、际上并无m2，所以，所以令令m2=0，得：，得：通常在通常在积分前积分前即令即令m2=0，可使积分简单。，可使积分简单。EIamC32aa2aABCDmm22 为求为求 x，加，加 Paaa2aABCDmPa,aAxPRl 分段列弯矩方程并求分段列弯矩方程并求对对Pa的偏导数的偏导数l 求反力求反力aDAyPamRR2l 在弯矩方程和偏导数中，令在弯矩方程和偏导数中，令 Pa=0积分求出积分求出EImax6172l 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理10-6 虚功原理虚功原理微小位移微小位移力在虚位移上所作的功。力在虚位移上所作的功。分为分为:弹性体的虚位移：满足弹性

30、体的虚位移：满足约束条件约束条件和和连续条件连续条件的的微小位移。微小位移。小变形小变形2 虚功虚功1 虚位移虚位移外力的虚功外力的虚功;内力的虚功内力的虚功 虚变形能虚变形能3 虚功原理虚功原理外力的虚功等于内力的虚功。外力的虚功等于内力的虚功。ieWW即即:3 虚功原理虚功原理外力的虚功等于内力的虚功。外力的虚功等于内力的虚功。ieWW即即:4 外力虚功表达式外力虚功表达式l 广义力广义力 P1,Pn;q(x)l 力作用点力作用点沿力的沿力的l 外力的虚功外力的虚功)(;,*2*1xvvvvn lnnexxvxqvPvPvPWd*22*11方向方向的广义虚位移的广义虚位移l 外力的虚功外力

31、的虚功 lnnexxvxqvPvPvPWd*22*115 内力虚功表达式内力虚功表达式l 取微段考虑取微段考虑l 内力在内力在刚体虚位移刚体虚位移上的虚功为零上的虚功为零l 内力在内力在虚变形虚变形上作上作虚功虚功l 不同内力的虚功可不同内力的虚功可以叠加以叠加微段上内力的虚功为微段上内力的虚功为l 不同内力的虚功可不同内力的虚功可以叠加以叠加*d)d(MlN*ddTQ积分可得物体上内力积分可得物体上内力的总虚功为的总虚功为*ddd)d(TQMlNWi微段上内力的虚功为微段上内力的虚功为(忽略高阶微量后忽略高阶微量后)积分可得物体上内力的总虚功为积分可得物体上内力的总虚功为*ddd)d(TQM

32、lNWi6 虚功方程虚功方程*ddd)d(TQMlN将外力的虚功和内力的虚功代入虚功原理，得将外力的虚功和内力的虚功代入虚功原理，得:lnnxxvxqvPvPvPd*22*11l 虚功原理可用于虚功原理可用于线弹性线弹性材料，也可用于材料，也可用于非线性弹性非线性弹性材料。材料。例例已知已知:P,1号杆长号杆长 l,三杆材料均为相同的三杆材料均为相同的线弹性材料，截面积线弹性材料，截面积相同，相同，E，A已知。已知。求求：三杆的内力。：三杆的内力。解解：设平衡时，设平衡时，A点的点的真实位移为真实位移为v。l 各杆的伸长各杆的伸长l 由胡克定律由胡克定律n,1vl cos32vll,1vlEA

33、N 232cosvlEANNl 由胡克定律由胡克定律,1vlEAN 232cosvlEANN vl 设设A点有一虚位移点有一虚位移l 外力虚功外力虚功vPWel 内力虚功内力虚功*)d(ililNi因为杆中轴力为常量因为杆中轴力为常量iliilN*)d(*)(iilN l 内力虚功内力虚功*)d(ililNi因为杆中轴力为常量因为杆中轴力为常量iliilN*)d(*)(iilN v而而vl*1)(*3*2)()(llcosviW*11)(lN*22)(2lNvlEAv)cos21(3vlEAvvP)cos21(3iW*11)(lN*22)(2lNvlEAv)cos21(3l 代入虚功方程代入虚

34、功方程ieWW)cos21(3EAPlvl 代入轴力表达式代入轴力表达式,cos2131PN3232cos21cosPNN10-7 单位载荷法单位载荷法 莫尔积分莫尔积分为求出结构上某为求出结构上某一点沿某方向的一点沿某方向的位移位移 ，1 单位载荷法单位载荷法取结构在取结构在外载外载荷荷作用下产生作用下产生加一加一单位载荷单位载荷。1的的真实位移真实位移作为作为虚位移虚位移，d)(d)()d()(xQxMlxN取结构在取结构在外载荷外载荷作用下产生的作用下产生的真实位移真实位移作为作为虚位移虚位移，由虚由虚位移原理位移原理 1为为单位载荷单位载荷引起的内力引起的内力;其中，其中，d)(d)(

35、)d()(xQxMlxN)(),(),(xQxMxNd,d),d(l为外载荷引起的为外载荷引起的真实位移真实位移.l 几种简化形式几种简化形式u 以弯曲为主的杆以弯曲为主的杆lxMd)(u 拉压杆拉压杆llxN)d()(r 轴力为常量时轴力为常量时llN)d(lNl 几种简化形式几种简化形式u 以弯曲为主的杆以弯曲为主的杆lxMd)(u 拉压杆拉压杆llxN)d()(r 轴力为常量时轴力为常量时llN)d(lNr n根杆根杆(桁架桁架)niiilN1u 扭转扭转lxTd)(l 注注：1)单位载荷法可用于单位载荷法可用于非线性弹性非线性弹性材料材料;u 扭转扭转lxTd)(l 注注：1)单位载荷

36、法可用于单位载荷法可用于非线性弹性非线性弹性材料材料;2)若求出的若求出的为正，则表示为正，则表示与单位力的方向相同。与单位力的方向相同。3)单位力和位移均为单位力和位移均为广义广义的。的。2 莫尔积分莫尔积分对于对于线弹性材料线弹性材料，单位载荷法中的位移为，单位载荷法中的位移为EIxMx)(ddxEIxMd)(d2 莫尔积分莫尔积分对于对于线弹性材料线弹性材料，单位载荷法中的位移为，单位载荷法中的位移为EIxMx)(ddxEIxMd)(d,d)()d(xEAxNl xGIxTpd)(d则则:lxMd)(llxN)d()(lxEIxMxMd)()(lxEAxNxNd)()(则则:lxMd)(

37、llxN)d()(lxEIxMxMd)()(lxEAxNxNd)()(niiilN1lxTd)(niiiiiEAlNN1lpxGIxTxTd)()(这些公式统称为这些公式统称为莫尔定理莫尔定理，积分称为，积分称为莫尔积分莫尔积分。lxEIxMxMd)()(lxEAxNxNd)()(niiiiiEAlNN1lpxGIxTxTd)()(这些公式统称为这些公式统称为莫尔定理莫尔定理，积分称为，积分称为莫尔积分莫尔积分。或或:式中：加一杠的内力是式中：加一杠的内力是单位力单位力引起的内力；引起的内力；未加杠的内力是未加杠的内力是原外力原外力引起的内力。引起的内力。显然，莫尔积分仅适用于显然，莫尔积分仅

38、适用于线弹性线弹性结构。结构。l 求相对位移求相对位移加一对方向相反的单位力。加一对方向相反的单位力。BA11例例 3已知已知:P,l,截面积截面积A,求求：B点垂直位移。点垂直位移。解解：单位载荷法可求解单位载荷法可求解材料非线性问题。材料非线性问题。l 对杆系对杆系l 求杆的伸长求杆的伸长,C应力应变关系为应力应变关系为其中，其中，C为常数，为常数，s,e 皆皆取绝对值取绝对值。niiivlN12211lNlNN1N2u 取取B点，受力如图点，受力如图l 对杆系对杆系l 求杆的伸长求杆的伸长niiilN12211lNlNN1N2u 由平衡方程由平衡方程,sin1PN cot2PN u 应力

39、应力AN11AN22,sinAPAPcotu 取取B点，受力如图点，受力如图(压力压力)(压应力压应力)u 应力应力AN11AN22,sinAPAPcotu 应变应变2211C,sin2222ACP2222cotACP2222Cu 杆的伸长杆的伸长11BDll cossin2222AClP22ll 2222cotAClPu 杆的伸长杆的伸长11BDll cossin2222AClP22ll 2222cotAClPl 单位载荷引起的轴力单位载荷引起的轴力u 取取B点，受力如图点，受力如图u 由平衡方程由平衡方程,sin11Ncot2N2211lNlNvcossincos134222AClP例例

40、4已知已知:P,l,a,E,I1,I2,不计轴力和剪力的影响。不计轴力和剪力的影响。求求：A点垂直位移点垂直位移 y及及B截面的转角截面的转角 B。解解：1 实际载荷的弯矩实际载荷的弯矩l AB段段在在A点加点加 y方向单位力方向单位力,)(11PxxMlaCEI2BAEI1x1x2l BC段段PaxM)(22 求求 y CBAx1x21 实际载荷的弯矩实际载荷的弯矩l AB段段在在A点加点加 y方向单位力方向单位力,)(11PxxMl BC段段PaxM)(22 求求 y CBAx1x2l 单位载荷的弯矩单位载荷的弯矩AB段段,)(11xxMBC段段axM)(2l 代入莫尔积分公式代入莫尔积分

41、公式ayxEIxMxM01111d)()(lxEIxMxM02222d)()(l 代入莫尔积分公式代入莫尔积分公式ayxEIxMxM01111d)()(lxEIxMxM02222d)()(axPxxEI01111d)(1lxPaaEI022d)(1133EIPa22EIlPal AB段段,)(11PxxMl BC段段PaxM)(2,)(11xxMaxM)(2133EIPay22EIlPa在在B点加单位力偶矩点加单位力偶矩2 求求 B CBAx1x2l 单位载荷的弯矩单位载荷的弯矩AB段段,0)(1xMBC段段1)(2xMl 代入莫尔积分公式代入莫尔积分公式aBxEIxMxM01111d)()(

42、lxEIxMxM02222d)()(l 代入莫尔积分公式代入莫尔积分公式aBxEIxMxM01111d)()(lxEIxMxM02222d)()(0lxPaEI022d)(112EIPall AB段段,)(11PxxMl BC段段PaxM)(2,0)(1xM1)(2xMCBAx1x2l 这里的负号表示转向为顺时针的。这里的负号表示转向为顺时针的。10-8 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法杆件为杆件为等截面等截面直杆直杆。l 图乘法的条件：图乘法的条件：莫尔积分莫尔积分对对等截面等截面直杆直杆，EI,GIp 或或 EA 为常量。为常量。所以需要计算积分所以需要计算积分lxEIxMxMd)

43、()(lxxMxMEId)()(1成为成为lxxMxMd)()(l 用图乘法计算莫尔积分用图乘法计算莫尔积分所以需要计算积分所以需要计算积分lxxMxMd)()(l 用图乘法计算莫尔积分用图乘法计算莫尔积分u 通常通常)(xM是是x的线性函数的线性函数u 设直线与设直线与x轴的夹角为轴的夹角为tan)(xxM则有：则有：上述积分可表示为：上述积分可表示为：lxxMxMd)()(lxxMxd)(tanlxxxMd)(tanM(x)弯矩图的面积对弯矩图的面积对y轴的静矩。轴的静矩。lxxMxMd)()(lxxMxd)(tanlxxxMd)(tanM(x)弯矩图的面积对弯矩图的面积对y轴轴的静矩。的

44、静矩。记记M(x)弯矩图的面积为弯矩图的面积为。lxxxMd)(CxlxxMxMd)()(tanCxCM根据静矩的计算公式，有根据静矩的计算公式，有:lxxxMd)(CxlxxMxMd)()(tanCxCM式中，式中，CM为为)(xM图中与图中与)(xM图的形心位置图的形心位置C所对应所对应处的纵坐标。处的纵坐标。u 莫尔积分的图乘公式为莫尔积分的图乘公式为lxEIxMxMd)()(EIMCu 莫尔积分的图乘公式为莫尔积分的图乘公式为lxEIxMxMd)()(EIMCu 此式对此式对轴力轴力和和扭矩扭矩也适用也适用即：莫尔积分的计算，可用即：莫尔积分的计算，可用载荷的弯矩图载荷的弯矩图的的面积

45、面积与该图形与该图形形心位置所对应之处的单位载荷形心位置所对应之处的单位载荷(直线直线)的弯矩图的弯矩图的的幅度幅度之之积代替。积代替。l 几种常用图形的面积和形心位置几种常用图形的面积和形心位置l 几种常用图形的面积和形心位置几种常用图形的面积和形心位置顶点顶点顶点顶点顶点顶点例例 5已知已知:F,q,a,l,EI。求求：A截面转角。截面转角。解解：用图乘法用图乘法。l 外载荷的弯矩外载荷的弯矩图图(叠加法）叠加法）l 单位载荷的弯单位载荷的弯矩图矩图FlaABCql 面积面积ABC1Fa281ql1123MMl 面积面积Faa211Fal212238132qlll 高度高度,11M322M

46、213MFlaABCqABC1Fa281ql1123MMC1C2C31M2M3Ml 高度高度,11M322M213Ml 图乘图乘)(1332211MMMEIAEIqlalEIFa24)321(32ABC1Fa281ql1123MMC1C2C31M2M3MABCq2l2l例例 6已知已知:q,l,EI。求求：中点的挠度。：中点的挠度。解解：用图乘法用图乘法。l 外载荷的弯外载荷的弯矩图矩图l 单位载荷的弯单位载荷的弯矩图矩图l)(xM图有折点图有折点 应应分段分段图乘。图乘。ABC12M281qlM14lCMC1CC2CMl 面积面积182322qlll 高度高度485 lMC243ql325l

47、l 图乘图乘)(121CCCMMEIw2EIql3845412M281qlM4lCMC1CC2CM例例 7已知已知:q,a,l,EI为常数。为常数。求求：Cx 及 C，轴力及剪轴力及剪力不计力不计。解解：用图乘法用图乘法。l 外载荷的弯矩图外载荷的弯矩图laCBAqCBAM22qa22qaC2C112u 面积面积12312qaa63qa222qallqa221l 外载荷的弯矩图外载荷的弯矩图CBAM22qa22qaC2C112u 面积面积1,63qa2lqa221l 求求 Cx l 单位载荷的弯矩图单位载荷的弯矩图CBA1M1l12MlM2112)(1122MEICx)221(12llqaEI

48、EIlqa422CBAM22qa22qaC2C112CBA1M1l12M)(1122MEICx)221(12llqaEIEIlqa422l 求求 Cl 单位载荷的弯矩图单位载荷的弯矩图121MCBA2M111122M21M22MCBAM22qa22qaC2C112l 求求 Cl 单位载荷的弯矩图单位载荷的弯矩图,121M122M)(1222211MMEIC161(13qaEI)3(22laEIqa)1212lqau 面积面积1,63qa2lqa221CBA2M11121M22MCBAM22qa22qaC2C112l 正负号正负号问题问题)(1222211MMEIC161(13qaEI)3(22laEIqa)1212lqaCBA2M11121M22M对刚架，对刚架，外载荷外载荷的弯矩图与的弯矩图与单位载荷单位载荷的弯矩图在的弯矩图在同侧同侧的，的，乘积取乘积取正号正号；分别在分别在两侧两侧的，乘积取的，乘积取负号负号。第十章结束第十章结束