1212任意角的三角函数(二)课件(人教A版必修4).ppt

1、1.2.1 任意角的三角函数(二)1.1.了解三角函数线的意义了解三角函数线的意义.2.2.会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切.3.3.会用三角函数线来解三角不等式问题会用三角函数线来解三角不等式问题.1.1.本课重点是会用三角函数线来表示角的正弦、余弦、正切本课重点是会用三角函数线来表示角的正弦、余弦、正切.2.2.本课难点是对三角函数线的理解本课难点是对三角函数线的理解.1.1.有向线段有向线段(1)(1)定义：带有定义：带有_的线段的线段.(2)(2)表示：用大写字母表示，如有向线段表示：用大写字母表示，如有向线段OM,MP.OM,MP.方向方向

2、2.2.三角函数线三角函数线ATATOMOMMPMP1.1.三角函数线的长度和方向各表示什么？三角函数线的长度和方向各表示什么？提示：提示：长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负正负.2.2.三角函数线的方向有何特点？三角函数线的方向有何特点？提示提示:正弦线由垂足指向正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点原点指向垂足；正切线由切点(1,0)(1,0)指向切线与指向切线与终边的交点终边的交点.3.3.角角的正弦线长度为的正弦线长度为1 1，则角，则角的余弦线的长度为的余

3、弦线的长度为_._.【解析【解析】若角若角的正弦线长度为的正弦线长度为1 1，则角，则角的终边在的终边在y y轴上，此时轴上，此时其余弦线的长度为其余弦线的长度为0.0.答案：答案：0 04.4.若若cos0cos0，则，则的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】由单位圆中的余弦线可知，若由单位圆中的余弦线可知，若cos0cos0，则角，则角的终边的终边落在落在y y轴或其左侧，此时轴或其左侧，此时2k+2k+2k+2k+，kZkZ.答案：答案：2k+2k+2k+2k+，kZkZ232232解读三角函数线解读三角函数线(1)(1)三角函数线的意义三角函数线的意义正弦线、余弦线、正切线分别

4、是正弦、余弦、正切函数的几何正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示表示,凡与凡与x x轴或轴或y y轴正向同向的为正值轴正向同向的为正值,反向的为负值反向的为负值.三角函三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便为从几何途径解决问题提供了方便.(2)(2)三角函数线的画法三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线,同时也给同时也给出了角出了角的三角函数线的画法的三角函数线的画法,即先找到即先找到P P，M M，T

5、 T点点,再画出再画出MPMP，OMOM，AT.AT.(3)(3)三角函数线的作用三角函数线的作用三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小数值的大小,同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础础.三角函数线的作法及应用三角函数线的作法及应用【技法点拨【技法点拨】应用三角函数线作应用三角函数线作f(f()=m(-1m1)=m(-1m1)的三角函数的角的终边的三角函数的角的终边的方法的方法(1)(1)先作出直线先作出直线y=my=m或或x=mx=m与单位圆的交点与单位圆的交点.

6、(2)(2)将原点与交点连接，所得射线即为所求角的终边将原点与交点连接，所得射线即为所求角的终边.【典例训练【典例训练】1.1.已知已知tantan=，则，则的取值集合是的取值集合是_._.2.2.在单位圆中画出适合下列条件的角在单位圆中画出适合下列条件的角的终边范围，并由此写的终边范围，并由此写出角出角的集合的集合.(1)sin (1)sin ；(2)cos .(2)cos .33212【解析【解析】1.1.如图所示如图所示:在在0 0,360,360)范围范围内，正切值为内，正切值为 的角有两个：的角有两个：6060和和240240，满足满足tantan=的角的角的终边与的终边与6060或

7、或240240的终边重合，则的终边重合，则的取值集合是的取值集合是|=60=60+k+k360360或或=240=240+k+k360360,kZ,kZ，即，即|=60=60+k+k180180,kZ.,kZ.答案：答案：x|xx|x=60=60+k+k180180,kZ,kZ332.(1)2.(1)作直线作直线y=y=交单位圆于交单位圆于A A，B B两点，连接两点，连接OAOA，OBOB，则角则角的终边在如图的终边在如图所示的阴影区域内所示的阴影区域内.故角故角的集合为的集合为|2k+2k+|2k+2k+，kZkZ.32323(2)(2)作直线作直线x=x=交单位圆于交单位圆于C C，D

8、D两点，连接两点，连接OCOC，ODOD，则角，则角的的终边在如图终边在如图所示的阴影区域内所示的阴影区域内.故角故角的集合为的集合为|2k+2k+|2k+2k+，kZkZ.122343【互动探究【互动探究】若将题若将题2(2)“cos-”2(2)“cos-”改为改为“coscos=”=”，又如何画出角又如何画出角的终边？的终边？【解析【解析】作直线作直线x=x=交单位圆于点交单位圆于点A,B,A,B,连接连接OA,OB,OA,OB,则射线则射线OA,OA,OBOB即为角即为角的终边的终边,如图所示如图所示.121212【思考【思考】解答题解答题2 2的关键是什么？在解题的关键是什么？在解题1

9、 1的过程中体现了什么的过程中体现了什么数学思想数学思想.提示：提示：(1)(1)解答题解答题2 2的关键在于借助于单位圆，作出符合条件的的关键在于借助于单位圆，作出符合条件的三角函数线，然后利用运动的观点，找出符合条件的角或角的三角函数线，然后利用运动的观点，找出符合条件的角或角的范围范围.(2)(2)在解题过程中实现了转化，即把代数问题几何化，把抽象在解题过程中实现了转化，即把代数问题几何化，把抽象问题具体化，体现了数形结合的思想问题具体化，体现了数形结合的思想.【变式训练【变式训练】已知已知a=sin a=sin ，b=cosb=cos ，c=tan c=tan ，则，则()()(A)a

10、(A)ab bc (B)ac (B)ac cb b(C)b(C)bc ca (D)ba (D)ba ac c【解析【解析】选选D.D.，作出角，作出角 的三角函数线如图的三角函数线如图:可知：可知：b ba ac.c.247227272727 利用三角函数线解三角不等式利用三角函数线解三角不等式【技法点拨【技法点拨】利用三角函数线解三角不等式利用三角函数线解三角不等式(1)(1)三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具,利用利用它会使解不等式更加简便它会使解不等式更加简便.(2)(2)求三角函数的定义域时求三角函数的定义域时,一般应转化为求不

11、等式一般应转化为求不等式(组组)的解的的解的问题问题,然后利用数轴或三角函数线求解然后利用数轴或三角函数线求解.【典例训练【典例训练】1.1.若若0,2)0,2)，且，且coscos ，则，则的取值范围是的取值范围是_._.2.2.求函数求函数y y 的定义域的定义域.【解析【解析】1.1.如图，如图，OMOM为为0,2)0,2)内的角内的角 和和 的余弦线，欲使的余弦线，欲使coscos ，角，角的余的余弦弦OMOM，当，当OMOM伸长时，伸长时，OPOP与与OQOQ扫过部分为扇扫过部分为扇形形POQPOQ，0 0 或或 2.2.答案：答案：0 0，2)2)322cosx 161163261

12、1661162.2.解题流程：解题流程：转化转化结论结论观察观察作图作图 2cosx-10cosx2cosx-10cosx12作出余弦值等于作出余弦值等于 的角：的角：和和 123.3阴影区域内每一个角阴影区域内每一个角x x，都满足，都满足cosxcosx ，故角，故角的集合为的集合为 +2k+2k，+2k+2k（kZkZ）1233函数的定义域为函数的定义域为 +2k+2k，+2k+2k（kZkZ）33【归纳【归纳】解三角不等式的步骤以及常采用的思想方法解三角不等式的步骤以及常采用的思想方法.提示：提示：(1)(1)解三角不等式，可借助于单位圆中的三角函数线，解三角不等式，可借助于单位圆中的

13、三角函数线，在一定的范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表在一定的范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合达式写出符合条件的所有角的集合.(2)(2)解决此类问题要注意数形结合思想的运用解决此类问题要注意数形结合思想的运用.【变式训练【变式训练】解不等式解不等式3tan3tan .【解析【解析】3tan3tan ，即，即tantan .由正切线知由正切线知-+k-+k +k+k，kZkZ.不等式的解集为不等式的解集为(k(k ，kk )(kZ).)(kZ).33336262 三角函数线的综合应用三角函数线的综合应用【技法点拨【技法点拨】求解角的范围的

14、方法求解角的范围的方法准确应用单位圆中的三角函数线来求解角的范围，熟记并充分准确应用单位圆中的三角函数线来求解角的范围，熟记并充分应用以下几种情形：应用以下几种情形：【典例训练【典例训练】1.1.已知点已知点P(sin-cos,tanP(sin-cos,tan)在第一象限，在在第一象限，在0,20,2内，内，的取值范围为的取值范围为_._.2.2.利用三角函数线证明利用三角函数线证明|sin|+|cos|1.|sin|+|cos|1.【解析【解析】1.1.由题意由题意 如图，如图，由三角函数线可得由三角函数线可得 或或 .答案：答案：()(,)()(,)sincos,tan0,5,4430,2

15、2 或 42 54,4 2 542.2.在在OMPOMP中，中，OP=1OP=1，OM=|cos|,MP=|sinOM=|cos|,MP=|sin|，因为三角形两边之和大于第三边，所以因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin|+|cos|1.|sin|+|cos|1.【想一想【想一想】解决题解决题1 1的关键点在哪？利用三角函数线来求角的的关键点在哪？利用三角函数线来求角的范围时应注意哪些问题？范围时应注意哪些问题？提示：提示：(1)(1)关键是明确三角函数在各象限内的符号关键是明确三角函数在各象限内的符号.(2)(2)注意角的终边落在哪个象限，以及三角函数线的方向问题注意角的终边落在哪个象

16、限，以及三角函数线的方向问题.【变式训练【变式训练】已知集合已知集合E=|cosE=|cossin,0sin,022，F=|tanF=|tansinsin，则，则EF=_.EF=_.【解析【解析】结合正弦线、余弦线可知结合正弦线、余弦线可知E=|E=|，而，而 时，时，tantansinsin；=时，时，tantan不存在；不存在；时，时，tantansin;sin;时，时，tansintansin；所以；所以EF=|EF=|.答案：答案：|45442222254【易错误区【易错误区】三角函数线的解题误区三角函数线的解题误区【典例】已知角【典例】已知角的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那的正

17、弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角么角的终边在的终边在()()(A)y(A)y轴的正半轴上轴的正半轴上 (B)y(B)y轴的负半轴上轴的负半轴上(C)x(C)x轴上轴上 (D)y(D)y轴上轴上【解题指导【解题指导】【解析【解析】选选D.D.由题意可知，由题意可知，sinsin=1 1，故角，故角的终边在的终边在y y轴上轴上.【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：题启示总结如下：常常见见错错误误选选A A由角由角的正弦线是长度为单位长度的有向线段，错误的正弦线是长度为单位长度的有向线段，错误地认为其正弦值

18、为正值，即地认为其正弦值为正值，即sinsin=1=1，误判出角，误判出角的的终边在终边在y y轴的正半轴上轴的正半轴上.选选C C由角由角的正弦线是长度为单位长度的有向线段的正弦线是长度为单位长度的有向线段,得出得出sinsin=1 1，但把正弦线和余弦线的位置弄错，从而，但把正弦线和余弦线的位置弄错，从而误判为误判为x x轴上，错选为轴上，错选为C.C.解解题题启启示示 (1)(1)对有向线段的理解不到位，没有把握好有向线段是带对有向线段的理解不到位，没有把握好有向线段是带有方向的线段，有正也有负有方向的线段，有正也有负.(2)(2)对余弦线与正弦线的位置要把握准确，理解好两者的对余弦线与

19、正弦线的位置要把握准确，理解好两者的区别区别.【即时训练【即时训练】已知角已知角的正切线是长度为单位长度的有向线段，的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角那么角的终边在的终边在()()(A)(A)直线直线y=xy=x上上 (B)(B)直线直线y=-xy=-x上上(C)(C)直线直线y=xy=x上或直线上或直线y=-xy=-x上上 (D)x(D)x轴上或轴上或y y轴上轴上【解析【解析】选选C.C.由角由角的正切线是长度为单位长度的有向线段，的正切线是长度为单位长度的有向线段，得得tantan=1 1，故角，故角的终边在直线的终边在直线y=xy=x上或直线上或直线y=-xy=-x上上.1.1

20、.角角 和角和角 有相同的有相同的()()(A)(A)正弦线正弦线 (B)(B)余弦线余弦线(C)(C)正切线正切线 (D)(D)不能确定不能确定【解析【解析】选选C.C.由于由于 =+=+，即两角的终边在一条直线上，即两角的终边在一条直线上，因而它们的正切线相同因而它们的正切线相同.5655652.2.下列说法不正确的是下列说法不正确的是()()(A)(A)当角当角的终边在的终边在x x轴上时，角轴上时，角的正切线是一个点的正切线是一个点(B)(B)当角当角的终边在的终边在y y轴上时，角轴上时，角的正切线不存在的正切线不存在(C)(C)正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化正弦线的始点随角

21、的终边位置的变化而变化(D)(D)余弦线和正切线的始点都是原点余弦线和正切线的始点都是原点【解析【解析】选选D.D.余弦线始点是原点，正切线的始点是点余弦线始点是原点，正切线的始点是点(1(1，0).0).3.3.若若sin(+)0,sin(+)0(-)0，则，则是是()()(A)(A)第一象限角第一象限角 (B)(B)第二象限角第二象限角(C)(C)第三象限角第三象限角 (D)(D)第四象限角第四象限角【解析【解析】选选B.sin(+)=cosB.sin(+)=cos000，是第二象限角是第二象限角.22224.4.比较大小：比较大小：tan1_tan (tan1_tan (填填“”或或“”)【解析【解析】因为因为1 1 ，由它们的正切线知，由它们的正切线知tantantan .tan .答案：答案：3335.5.利用单位圆写出满足利用单位圆写出满足sinsin ，且，且(0,)(0,)的角的角的集合的集合【解析【解析】作出正弦线如图：作出正弦线如图：MP=NQ=MP=NQ=，当，当sinsin 时，角时，角对应的正弦线变短，所以对应的正弦线变短，所以0 0 或或 ，即，即(0,)(,).(0,)(,).222222434434