23数学归纳法课件.pptx

1、我是我是一毛一毛我是我是二毛二毛我是我是三毛三毛我是我是谁？谁？我不是我不是四毛！四毛！我是小我是小明！明！猜：猜：四四毛！毛！111a 212a 313a 解解:猜想数列的通项公式为猜想数列的通项公式为验证验证:同理得同理得717=a515=a616=a818=a啊啊,有完有完没完啊没完啊?919=a正整数正整数无数个无数个!414=a提出问题：提出问题：对于数列，已知，对于数列，已知，na11=annnaaa+=+11)(*Nn （1）求出数列前）求出数列前4项项,你能得到什么猜你能得到什么猜想？想？（2）你的猜想一定是正确的吗？）你的猜想一定是正确的吗？)(*Nnnan1本题有没有行之有

2、效本题有没有行之有效,步骤有限的方法呢步骤有限的方法呢?下面我们看看下列的情景对我们解决本题证明有下面我们看看下列的情景对我们解决本题证明有什么启示？什么启示？问题情景问题情景你见过多米诺骨牌游戏吗你见过多米诺骨牌游戏吗?请欣赏一请欣赏一下那下那场景场景!1、第一块骨牌倒下、第一块骨牌倒下2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下后一块倒下条件（条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第就是假设第K块倒下，则相邻的第块倒下，则相邻的第K+1块也倒下块也倒下请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足请同学

3、们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件哪几个条件 数学归纳法数学归纳法.多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题的相似多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题的相似性。性。多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理（1）第一块骨牌倒下。）第一块骨牌倒下。（2）若第）若第k块倒下时，块倒下时，则相邻的第则相邻的第k+1块也块也倒下。倒下。根据（根据（1）和）和（2），可），可知不论有多少块骨牌，知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。（1）当）当n=1时，猜想成立时，猜想成立根据（根据（1）和（）和（2），可知），可知对任意的正整数对任意的正整数n，猜想，猜想都成立。都成立。通项

4、公式为通项公式为 的证的证明方法明方法1nan（2）若当）若当n=k时猜想成时猜想成立，即立，即 ，则当，则当kak1=111+=+kakn=k+1时猜想也成立，时猜想也成立，即即 。nnnaaa+=+1111=a对于数列，已知，对于数列，已知，na)(*Nn写出数列前写出数列前4项项,并猜想其通项公式并猜想其通项公式 ;同学们同学们,你能验证你能验证你的猜想是不是正确的呢你的猜想是不是正确的呢?na证明证明:(1)当当,1时=n猜想成立。猜想成立。,1111=a(2),猜想成立时假设当kn=kak1=即那么那么,当当,1时+=kn=+kkaa1=+kk111111a 212a 313a 解解

5、:猜想数列的通项公式为猜想数列的通项公式为414=a1nan 11+k猜想也成立时即当,1+=kn根据根据(1)和和(2)，猜想对于任何，猜想对于任何 都成立。都成立。*Nn=+1ka见书见书P93 1.1.验证第一个命题成立验证第一个命题成立(即即nn0 0第一个命题对应的第一个命题对应的n的值，如的值，如n0 01)1)；2.2.假设当假设当n=k时命题成立，证明当时命题成立，证明当n=k1 1时命题也时命题也成立成立.(归纳奠基）归纳奠基）数学归纳法数学归纳法:关于正整数关于正整数n的命题的命题(相当于多米诺骨牌相当于多米诺骨牌),),我我们可以采用下面方法来证明其正确性：们可以采用下面

6、方法来证明其正确性：由由(1)(1)、(2)(2)知，对于一切知，对于一切nn0 0的自然数的自然数n都成立！都成立！(归纳递推）归纳递推）注意注意:运用数学归纳法证题运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可以上两步缺一不可.证明：证明：（1）当）当n=1时，时，左边左边=12=1 右边右边=1 等式成立等式成立(2)假设当假设当n=k时等式成立时等式成立,即即6)12)(1(3212222+=+kkkk那么那么,当当n=k+1时时2)1(+k6)1(6)12)(1(2+=kkkk6)672)(1(2+=kkk6)32)(2)(1(+=kkk6 1)1(21)1)(1(+=kkk即当即当n=k+1

7、等式也成立等式也成立根据根据(1)和和(2),可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立.*Nn22222)1(321+kk凑出目标凑出目标6)12)(1(+=kkk用到假设用到假设例例1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明)(6)12)(1(321*2222Nnnnnn+=+见书见书P94例例1练习练习:用数学归纳法证明用数学归纳法证明1+3+51+3+5+(2+(2n-1-1)=)=n2 2(nN ）.证明证明:(1)当当n=1时时,左左1，右，右121n=1时，等式成立时，等式成立 (2)假设假设n=k时，等式成立，即时，等式成立，即1+3+5+(2k 1)=k2 那么，当那么，当n=k+

8、1时时左左1+3+5+(2k 1)2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2=右右即即n=k+1时等式成立时等式成立由由(1)、(2)可知等式对任何可知等式对任何n N*都成立都成立递推基递推基础础递推依据递推依据错误！错误！错误原因：没有第一步错误原因：没有第一步n=1等式成立的证明等式成立的证明其实其实n=1等式等式并不成立并不成立，左边，左边=1，右边，右边=2例例2.试判断下列用试判断下列用数学归纳法证明过程数学归纳法证明过程是否正确是否正确?)(1)2(531)1(*2Nnnn即时命题成立假设证明，kn=:1)2(5312+=+kk那么，当那么，当n=k+1时时)12()2(53

9、1+kk112)12(122+=+=kkkk1)1(2+=k即当即当n=k+1时等式也成立时等式也成立可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立.*Nn那么，当那么，当n=k+1时时)(1222222*1210Nn、nn=+证明证明:(1)当当n=1时时,左边左边=20=1,右边右边=21 1=1等式成立等式成立（2）假设）假设n=k时，等式成立，即时，等式成立，即1222221210kk=+kk222221210即当即当n=k+1时等式也成立时等式也成立根据根据(1)和和(2),可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立.*Nn错误原因：由证明错误原因：由证明n=k+1等式成立时等式成立时没

10、有用到没有用到n=k命题成立的命题成立的归纳假设归纳假设12 k122k121k21211k121k错误！错误！k2例例3.已知数列已知数列 计算计算 ,根据计算的结果根据计算的结果,猜想猜想 的表达式的表达式,并用数学归纳法进行证明并用数学归纳法进行证明.nS12341234S,S,S,SS,S,S,S1111,1 4 4 7 7 10(32)(31)nn31nnSn 猜猜想想：12132431111 441224 771337 101014410 1313nSnSnSSnSS 解解：，S S ，当当 时时当当 时时当当 时时当当 时时然后用数学归纳法然后用数学归纳法证明猜想证明猜想 见书见书P94例例2（略）（略）p 经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量p Study Constantly,And You Will Know Everything.The More You Know,The More Powerful You Will Be写在最后感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings结束语讲师：XXXXXX XX年XX月XX日