Ch2波函数与薛定谔方程课件.ppt

1、 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation1 第第 二二 章章 波函数与薛定谔方程波函数与薛定谔方程The wave function and Schrdinger Equation Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation2 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation 2.2 2.2 态叠加原理态叠加原理 The principle of superposition 2.3

2、 2.3 薛定谔方程薛定谔方程 The Schrdinger equation 2.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 The current density of particles and conservation laws 2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 Time independent Schrdinger equation 2.6 一维无限深势阱 The infinite potential well 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子 The linear harmonic oscillator 2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 The

3、 transmission of potential barrier学习内容学习内容 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation3 1.1.理解微观粒子运动状态的描述理解微观粒子运动状态的描述 波函数波函数及其统计解释。及其统计解释。2.2.通过对实验的分析通过对实验的分析,理解态叠加原理。理解态叠加原理。3.3.掌握微观粒子运动的动力学方程掌握微观粒子运动的动力学方程 波函波函数随时间演化的规律数随时间演化的规律 SchrSchrdingerdinger方程。方程。4.4.掌握定态及其性质。掌握定态及其性质。5.5.通过对三个实例的讨

4、论通过对三个实例的讨论,掌握定态掌握定态SchrSchrdingerdinger方程的求解。方程的求解。学 习 要 求学 习 要 求 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation4 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即微观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度微观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。等物理量来描述。这就要求在描述微观粒子的运这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统

5、一波和粒子这动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像样两个在经典物理中截然不同的物理图像。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释1 1微观粒子状态的描述微观粒子状态的描述 德布罗意德布罗意指出指出：微观粒子的运动状态可用一个复微观粒子的运动状态可用一个复函数函数 来描述，来描述，函数函数 称为称为波函数。波函数。(,)r t(,)r t 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation5()(,)iP rE

6、tPr tAe 如果粒子处于随时间和位置变化的力场如果粒子处于随时间和位置变化的力场 中中 运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：复杂的波描写，一般记为：(,t)r描写粒子状态的描写粒子状态的波函数，它通常波函数，它通常是一个是一个复函数复函数。三个问题？三个问题？(1)(1)是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？(2)(2)如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3)(3)描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？

7、dedeBroglieBroglie 波波2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1 1）U,r t Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation6avI I0 0 1 1XP P电子单缝衍射实验电子单缝衍射实验2 2波函数的统计解释波函数的统计解释电子源电子源感感光光屏屏PPQQO电子小孔衍射实验电子小孔衍射实验2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续2 2）Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation7 两种错误的两种错误的看法看法（1 1）波由粒子组

8、成波由粒子组成 如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形成的一种分布。成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单不能解释长时间单个电子衍射实验个电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。事实上，正是由于单个电子具有波动性，事实上，正是由于单个

9、电子具有波动性，才能才能理解氢原子理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。性以及能量量子化这样一些量子现象。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续3 3）Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation8 波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。（2 2）粒子由波组成粒子由波组成l电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构

10、，。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。小，波包的群速度即电子的运动速度。l什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义成，那么

11、自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，的，与实验事实相矛盾。与实验事实相矛盾。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续4 4）Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation9l 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小1 1 。0Al电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒，既不是经典的粒子也不是

12、经典的波，但是我们也可以说，子也不是经典的波，但是我们也可以说，“电子既电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。中的粒子。1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性;2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念经典概念中粒子意中粒子意味着味着 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续5 5）Chapter 2The wave functi

13、on and Schrdinger Equation101.1.实在的物理量的空间分布作周期性的实在的物理量的空间分布作周期性的 变化变化;2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概经典概念中波念中波意味着意味着 （1 1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样性，长时间亦显示衍射图样;我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射实验 玻恩的解释：玻恩的解释：OPP电子源电子源感感光光屏屏QQ衍射实验事实：衍射实验事实：2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续6 6）Chapter 2Th

14、e wave function and Schrdinger Equation1119261926年年,玻恩玻恩(M.Born)(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：首先提出了波函数的统计解释：波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率成比例。方）与粒子在该点出现的概率成比例。（2 2）入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样.可见，波函数模的平方可见，波函数模的平方 与粒子与粒子 时刻在时刻在 处附近出现的概率成正比。处附近出现的概率成正比。rt2,r t2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的

15、统计解释（续续7 7）波波 动动 观观 点点 粒粒 子子 观观 点点明纹处明纹处:电子波强电子波强 (x,y,z,t)(x,y,z,t)2 2大大 电子出现的概率大电子出现的概率大暗纹处暗纹处:电子波强电子波强 (x,y,z,t)(x,y,z,t)2 2小小 电子出现的概率小电子出现的概率小 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation122*(,)(,)(,)r tr tr t设粒子状态由波函数设粒子状态由波函数 描述，波的强度是描述，波的强度是(,)r t2(,)(,)dW r tCr td则微观粒子在则微观粒子在t t 时刻出现在时

16、刻出现在 处体积元处体积元d d内的内的几率几率r 这表明描写粒子的波是几率波这表明描写粒子的波是几率波(概率波概率波),反映微反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数观客体运动的一种统计规律性，波函数 有时有时也称为几率幅。也称为几率幅。,r t 按按BornBorn提出的波函数的统计解释提出的波函数的统计解释,粒子在空间中粒子在空间中某一点某一点 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的处出现的概率与粒子的波函数在该点模的平方成比例平方成比例r2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续8 8）Chapter 2The wave function and Schrdinger Equ

17、ation132(,)(,)(,)dW r tr tCr td （1 1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒描写粒子的波是几率波子的波是几率波”，这是，这是量子力学的量子力学的一个基本假设一个基本假设（基本原理）基本原理）。知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道，子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道，波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系的量子状态（简称状态或态）的量子状态（简称状态或态）（2 2）波函

18、数一般用复函数表示。）波函数一般用复函数表示。（3 3）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。必 须 注 意必 须 注 意 称为几率密度称为几率密度(概率概率密度密度)2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续9 9）Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation14(,)(,)r tCr t令令3 3波函数的归一化条件波函数的归一化条件 和和 所描写状态的相对几率是相所描写状态的相对几率是相同的，这里的同的，这里的 是常数。是常数。,r t,Cr tC 时刻，时刻，在在空间任意两点空间任

19、意两点 和和 处找到粒子的处找到粒子的相对几率是：相对几率是：t1r2r221122(,)(,)(,)(,)Cr tr tCr tr t可见，可见，和和 描述的是同一几率波，所描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。以波函数有一常数因子不定性。,r t,r t2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1010）Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation15 非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，

20、它在全全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 和和 描述同一状态描述同一状态,r t,Cr t 这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的一倍（原来的 2 2 倍）时，则相应的波动能量将为原倍）时，则相应的波动能量将为原来的来的 4 4 倍，

21、因而代表完全不同的波动状态。经典波倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。无归一化问题。为消除波函数为消除波函数有任一常数因子有任一常数因子的这种不确定性，利的这种不确定性，利用粒子在用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，全空间出现的几率等于一的特性，提出波函提出波函数的归一化条件：数的归一化条件：2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1111）Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation16又因又因222(,)(,)1r tdCr td21(,)Cr td其中其中称为称为归一化常数归一化常数于是于是dtrtr

22、trtr222),(),(),(),(归一化条件消除了波函数归一化条件消除了波函数常数因子常数因子的一种不确定性的一种不确定性。12d)t,r(d)t,r(满足此条件的波函数满足此条件的波函数 称为称为归一化波函数归一化波函数。,r t2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1212）Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation17Ex.1 已知一维粒子状态波函数为已知一维粒子状态波函数为221(,)exp22ir tAa xt求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处出现的几率

23、最大。出现的几率最大。dxeAdxtrxa2222),(22Aa2/1/aA归一化常数归一化常数Solve:12 211/222(,)/ia xtr tae 归一化的波函数归一化的波函数(1).求求归一化的波函数归一化的波函数2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1313）Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation18（2 2）几率分布）几率分布：222),(),(xaeatxtx（3 3）由几率密度的极值条件）由几率密度的极值条件 2 22(,)20a xdx taa xedx 由于由于 220(,)0 xdx tdx

24、0 x 故故 处，粒子出现几率最大。处，粒子出现几率最大。0 x2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1414）Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation19注注 意意（1 1）归一化后的波函数归一化后的波函数 仍有一个模为一的因仍有一个模为一的因子子 不定性（不定性（为实函数）。为实函数）。若若 是归一化波函数，那末，是归一化波函数，那末，也是也是归一化波函数，与前者描述同一几率波。归一化波函数，与前者描述同一几率波。ie),(tr,r t,ir t e若若 对空间非绝对可积时，需用所对空间非绝对可积时，需用所谓谓函数

25、归一化方法进行归一化。函数归一化方法进行归一化。2(,)(,)r tr t（2 2）只有当几率密度）只有当几率密度 对空间绝对可积时，才对空间绝对可积时，才能按归一化条件能按归一化条件 进行归一化。进行归一化。1),(2dtr(,)r t2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1515）Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation20()2xxiPP xAedx)(122xxPPA22()xxAPP Solve：1/2A归一化常数归一化常数()xxPP 例如例如 平面波的归一化问题平面波的归一化问题 ex.2 已知已知平面波

26、平面波 ,求归一化求归一化 常数常数xxipx etpAe A2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1616）归一化的平面波归一化的平面波：)EtxP(i/Pxxe/2121001212ix xx xed利用利用dxtxtxdxtxxxxPPP),(),(),(*2 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation21补 充 作 业 题补 充 作 业 题1.1.下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态?并指出每并指出每个状态由哪几个波函数描写个状态由哪几个波函数描写。2/2/(2)/1233

27、/2/2/456,3,(42).ixixixi xixixeeeeei e 同理，三维平面波：同理，三维平面波：()3/21(,)(2)iP r EtPr te)(),(2xxPPPdxtxx归一化条件归一化条件23(,)()Pr tdPP归一化条件归一化条件 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation2212sin()|()1,2,3,20|sin()|()1,2,3,20|nAx axaxnaxanAx axaxnaxa2.2.已知下列两个波函数已知下列两个波函数试判断试判断:(1)(1)波函数波函数 和和 是否描述同一状态是否描述

28、同一状态?(2)(2)对对 取取 两种情况两种情况,得到的两个波函得到的两个波函 数是否等价数是否等价?1()x2()x1()x2n Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation23开开1 1闭闭2 2，衍射花样（兰曲线），衍射花样（兰曲线）211开开2 2闭闭1 1，衍射花样（紫红曲线），衍射花样（紫红曲线）222同时开同时开1 1，2 2，衍射花样（黑曲线），衍射花样（黑曲线）实实 验验 事事 实实2212显然显然1222122.2 2.2 态叠加原理态叠加原理1.1.电子双缝衍射实验电子双缝衍射实验S D1 12 22P1PP12

29、表明表明几率不遵守迭加原则，而波函数（几率幅）遵几率不遵守迭加原则，而波函数（几率幅）遵守迭加原则：守迭加原则：21 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation24物 理 意 义物 理 意 义 当两个缝都开着时，电子既可能处在当两个缝都开着时，电子既可能处在 态，也态，也可能处在可能处在 态，也可处在态，也可处在 和和 的线性迭加态的线性迭加态 。可见，。可见，若若 和和 是电子的可能状态，是电子的可能状态，则则 也是电子的可能状态也是电子的可能状态。21212211 反言之，电子经双缝衍射后处于反言之，电子经双缝衍射后处于 态，则态，

30、则电子部分地既可处于电子部分地既可处于 态，也可部分地处在态，也可部分地处在 态。态。21122.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续1 1）迭加态的概率迭加态的概率:221222*121212 干 涉 项干 涉 项电子穿过狭缝出现电子穿过狭缝出现在点的几率密度在点的几率密度电子穿过狭缝出现电子穿过狭缝出现在点的几率密度在点的几率密度 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation25 态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依赖于实验的证实。正确性也依赖于实验的证实。nccc32211

31、112nkkc 1.1.若若 是粒子的可能状态，则粒子是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态也可处在它们的线性迭加态12,n2 2态迭加原理态迭加原理2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续3 3）当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对称时，迭加态称时，迭加态 ,其概率为其概率为2211cc22222112212121212ccc cc c 干 涉 项干 涉 项2kc 2.2.当体系处于当体系处于 态时，发现体系处于态时，发现体系处于 态的几率态的几率是是 ，并且，并且k(1,2,)kn Chapter 2The wave functi

32、on and Schrdinger Equation26()3/21(,)(2)iP rEtPr te 3 3电子在晶体表面的衍射，电子在晶体表面的衍射，动量空间的波函数动量空间的波函数 dP 电子从晶体表面出射后，既可能处在电子从晶体表面出射后，既可能处在 态，也态，也可能处在可能处在 、等状态，按态迭加原等状态，按态迭加原理，理，在晶体表面反射后，电子的状态在晶体表面反射后，电子的状态 可表示成可表示成 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即),(trP),(trP ),(trP P2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续4 4）电子沿垂直方向射到电子沿垂直

33、方向射到单晶表面，出射后将以各单晶表面，出射后将以各种不同的动量运动，出射种不同的动量运动，出射后的电子为自由电子，其后的电子为自由电子，其状态波函数为平面波。状态波函数为平面波。Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation27PP)t,r()P(C)t,r(PdtrPCtrP3),()(),(,)33/21()(2)iP r EtC P ed P33/21(,)(2)iP rC P t ed P考虑到电子的动量可以连续变化考虑到电子的动量可以连续变化2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续5 5）,33/21(,)(,)(2)iP r

34、C P tr t ed r而而 （2 2）（1 1）33/21(,)(,)(2)iPrr tC P t ed P即即衍射图样正是这些平衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果面波叠加干涉的结果显然显然,二式互为二式互为FourerFourer变换式变换式,所以所以 与与 一一一对应一对应,是同一量子态的两种不同描述方式。是同一量子态的两种不同描述方式。),(tr),(tPC Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation282.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续6 6）(,)()(,)()ppr tr drr tr dr dp 若若 归一化

35、，则归一化，则 也是归一化的也是归一化的,r t,C r t2|(,)|(,)(,)C p tdpC p t C p t dpProve:Prove:(,)()(,)PC p trr t dr(,)(,)()()pPr tr trr dp drdr r r),(tPC),(tr以坐标以坐标 为自变量的波函数，为自变量的波函数，坐标空间（坐标表象）波函坐标空间（坐标表象）波函数数r以动量以动量 为自变量的波函数，为自变量的波函数，动量空间（动量表象）波函动量空间（动量表象）波函数数P 给出给出t t 时刻粒子处在时刻粒子处在 位置位置 处的几率处的几率 r 给出给出t t 时刻粒子动量时刻粒子动

36、量 为为 的几率的几率 P二者描写同一量子状态二者描写同一量子状态2,C P t 2,r t Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation29(,)(,)()r tr trr drdr(,)(,)1r tr t dr2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续7 7）此显示出把平面波归一化为此显示出把平面波归一化为 函数的目的函数的目的一维情况下，一维情况下，与与 的的FourerFourer变换变换关系：关系：(,)x t(,)xC P t1/21(,)(,)(2)iPxx tC P t edP1/21(,)(,)(2)iPxC P tx

37、 t edx 如果仅考虑在某一给定时刻粒子的两表象波函数的如果仅考虑在某一给定时刻粒子的两表象波函数的关系，可取关系，可取t t=0 0,33/21()()(2)iP rrC Ped P,33/21()()(2)iP rC Pr ed r Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation302.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程1 1微观粒子运动方程应具有的特点微观粒子运动方程应具有的特点（1）含有波函数对时间的一阶导数）含有波函数对时间的一阶导数（2）方程必为线性的）方程必为线性的（3）质量为）质量为 的非相对性粒子的非相对性粒子(即低速运动

38、的粒即低速运动的粒子子),其总能为其总能为ttr),(),(22trUPE 本节研究量子力学的动力学问题，建立量子力学的动力学方程 Schrdinger方程 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation31)Etr,P(i/Pe)()t,r(2321PPiEt2221PPP22PE又又（2）222PPP（3）22PPPE（1）PPEit2 2自由粒子的运动方程自由粒子的运动方程将（将（1 1）和（）和（2 2）式代入（）式代入（3 3）式，得）式，得2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程（续续1 1）),(2),(22trttriPP（4）

39、Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation32 满足满足运动方程应具有的运动方程应具有的三个三个特点，此特点，此即为为自由粒子的基本运动方程自由粒子的SchrSchrdingerdinger方程。讨论讨论 通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果将能量关系式果将能量关系式E=pE=p2 2/2/2写成如下方程形式写成如下方程形式：即得自由粒子的SchrSchrdingerdinger方程（4）。2()02pEEitpi 再做算符替换：再做算符替换：（5）2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程（

40、续续2 2）称为为能量算符称为为动量算符 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation333 3势场中运动粒子的势场中运动粒子的SchrSchrdingerdinger方程方程设势场设势场 中运动粒子的状态波函数为中运动粒子的状态波函数为),(tr(,)U r t),(),(),(2),(2trtrUtrPtrE),(),(2),(22trtrUttri（6）2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程（续续3 3）用能量关系式用能量关系式 乘以乘以波函数波函数)t,r(UPE22,r t 按（按（5 5）式，将能量）式，将能量 和动量和动量 分

41、别用分别用能量算符能量算符和和动量算符动量算符 替代，即得替代，即得SchrSchrdingerdinger方程方程EPiti 粒子的哈密顿函数粒子的哈密顿函数2(,)2PHU r t Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation34哈密顿函数哈密顿函数2121(,)2NiNiiPHU r rrt 4 4多粒子体系的多粒子体系的SchrSchrdingerdinger方程方程2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程（续续5 5）iPP作动量算符替代作动量算符替代222(,)(,)22PHHU r tU r t 则则利用哈密顿算符，可将利用哈密

42、顿算符，可将SchrSchrdingerdinger方程（方程（6 6）写成另）写成另一形式一形式(,)(,)r tiHr tt（7）称为哈密顿算符称为哈密顿算符iiiPPi Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation35（1 1）SchrSchrdingerdinger作为一个作为一个基本假设基本假设提出来，它提出来，它的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而得到证实得到证实。注 意注 意（2 2）SchrSchrdingerdinger方程在非相对论量子力学中的方程在非相对论量子力学中

43、的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿,只要给只要给出粒子在初始时刻的波函数，由方程即可求得粒出粒子在初始时刻的波函数，由方程即可求得粒子在以后任一时刻的波函数。子在以后任一时刻的波函数。2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程（续续6 6）SchrSchrdingerdinger方程方程1212(,)(,)NNr rr tiHr rr tt （9）哈密顿算符哈密顿算符22121(,)2NiNiiHU r rr t （8）Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation362.42.4粒子流密度和粒子数守恒定律

44、粒子流密度和粒子数守恒定律1 1几率守恒定律几率守恒定律由由Schrdinger方程方程 222iUt （1）ttt*2*(,)(,)(,)(,)r tr tr tr t则则设设 是粒子状态的归一化波函数是粒子状态的归一化波函数 (,)r t22iiUt*2*2iiUt 取复共取复共轭轭 讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化时间变化代入（代入（1 1）式后，有）式后，有 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation37*22*2it*2i（2）*2iJ令令称为几率流密度称为几率流密度

45、几率连续性方程几率连续性方程（3）0Jt（2 2）几率连续性方程与经典电动力学中的电荷守恒方几率连续性方程与经典电动力学中的电荷守恒方程程 具有相同的形式具有相同的形式。0eeJt（3 3）式对空间）式对空间V V作体积分作体积分VVdJdt02.2.粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（续续1 1）(4)(4)VSddJ ddt Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation38当当 时时V (4)(4)式表明式表明:粒子单位时间在内出现的几率的粒子单位时间在内出现的几率的增量等于单位时间内流入内的几率增量等于单位时间内流

46、入内的几率(负号表示流负号表示流入入)。(3)3)式是几率守恒守律的积分形式。式是几率守恒守律的积分形式。VV 0ddtd(4)(4)式02ddtd即即表明粒子的总几率不表明粒子的总几率不变变,即几率守恒即几率守恒。表明波函数归一化不表明波函数归一化不随时间改变，其物理随时间改变，其物理意义是粒子既未产生意义是粒子既未产生也未消灭。也未消灭。2.2.粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（续续）Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation39量子力学的量子力学的电荷密度电荷密度),(),(tretre),(),(trtr),

47、(),(trJetrJe),(),(trJtrJ量子力学的量子力学的质量流密度质量流密度量子力学的量子力学的电流密度电流密度量子力学的量子力学的质量密度质量密度2 2电荷守恒定律，粒子数守恒电荷守恒定律，粒子数守恒设粒子的电荷为，质量为设粒子的电荷为，质量为e0eeJt0Jt量子力学的量子力学的电荷守恒律电荷守恒律量子力学的量子力学的物质守恒律物质守恒律2.2.粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（续续）Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation403 3波函数的标准条件波函数的标准条件（1 1）根据）根据BornBor

48、n统计解释，统计解释，是粒子在是粒子在时刻出现在时刻出现在 点的几率，这是一个确定的数，所以点的几率，这是一个确定的数，所以要求应是要求应是 的单值函数且有限。的单值函数且有限。2(,)(,)r tr trt(,)r t(,)r t（2 2）根据粒子数守恒定律）根据粒子数守恒定律:(,)2SSVdir t dJ dSdSdt 此式右边含有及其对坐标一阶导数的积分，由此式右边含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是任意选取的，所以是任意闭合面。于积分区域是任意选取的，所以是任意闭合面。要是积分有意义，必须在变数的全部范围，即空要是积分有意义，必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连

49、续且其一阶导数亦连续。间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。VS概括之，波函数在全空间每一点应满足概括之，波函数在全空间每一点应满足单值、有单值、有限、连续限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。三个条件，该条件称为波函数的标准条件。2.2.粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（续续）Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation412.52.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程1 1定态，定态波函数定态，定态波函数),(),(2),(22trtrUttri（1）221()2i dfU rEf dt（2）(,)()

50、()r tr f t若若 与与 无关，则无关，则可以分离变量可以分离变量，令令)(rUt (2)代入代入(1)式，两边同除式，两边同除 ，得到，得到()()r f t)()()(222rErrU（3）等式两边是相互无等式两边是相互无关的物理量，故应关的物理量，故应等于与等于与 无关的无关的常数常数r t、()dfiEf tdt（4）Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation42()iEtf tCe（5）(,)()iEtr tr e（6）(5)代入代入(2)式，得到式，得到/E令令=Ede Broglie能量式 可见分离变量中引入的常数可