1977年普通高等学校招生考试（上海市）理科数学试题含答案.pdf

1、 1977 年普通高等学校招生考试理科数学(上海市)试题及答案 1 （1）化简)() 2 ( 22 2 22 2 ba a ba a baba a ba a + + + 解：原式=. )1 ( )1 ( ba ab ba a ba a ba a ba a + = + + + （2）计算2log9log1 . 0lg2lg25lg 2 1 32 + 解：原式= 2 1 （3）i=1，验算 i 是否方程 2x 4+3x3-3x2+3x-5=0 的解 奎屯 王新敞 新疆 解：令 x=i,左边=2-3i+3+3i-5=0 所以 i 是所给方程的一个解 奎屯 王新敞 新疆 （4）求证：. 2cos 2

2、) 4 cos( ) 4 cos( ) 4 sin( ) 4 sin( = + + + . 2cos 2 2cos 2 1 1 ) 4 cos() 4 sin( 2 sin ) 4 cos() 4 sin( ) 4 sin() 4 cos() 4 cos() 4 sin( : 右边 左边证 = = = = + + + = 2在ABC 中，C 的平分线交 AB 于 D，过 D 作 BC 的平分线交 AC 于 E，已知 BC=a,AC=b,求 DE 的长 奎屯 王新敞 新疆 解：DEBC，1=3 奎屯 王新敞 新疆 又1=2，2=3 DE=EC 由ADEABC， , b DEb a DE AC A

3、E BC DE = B D 3 1 2 A E C bDE=ab-aDE， . ba ab DE + = 3已知圆 A 的直径为32，圆 B 的直径为324，圆 C 的直径为 2， 圆 A 与圆 B 外切，圆 A 又与圆 C 外切，A=60 0，求 BC 及C 奎屯 王新敞 新疆 解：由已知条件可知，AC=31+，AB=2，CAB=60 0 奎屯 王新敞 新疆 根据余弦定理，可得 BC=6 奎屯 王新敞 新疆 由正弦定理，则= =45, 2 2sin sinC BC AAB C 4正六棱锥 V-ABCDEF 的高为 2cm，底面边长为 2cm 奎屯 王新敞 新疆 （1）按 1:1 画出它的二视

4、图;（2）求其侧面积; （3）求它的侧棱和底面的夹角 奎屯 王新敞 新疆 解： （1）见六五年试题 1 奎屯 王新敞 新疆 （2）斜高为)(7672 2 1 6),(7)2 2 3 (2 222 cmcm=+故侧面积 （3）侧棱与底面的夹角为 45 0 奎屯 王新敞 新疆 5解不等式 06 016 2 2 xx x 并在数轴上把它的解表示出来 奎屯 王新敞 新疆 解：略 奎屯 王新敞 新疆-4x-2，3x4. 6已知两定点 A（-4，0） 、B（4，0） ，一动点 P（x,y）与两定点 A、 B 的连线 PA、PB 的斜率的乘积为 4 1 奎屯 王新敞 新疆求点 P 的轨迹方程，并把它化为 标

5、准方程，指出是什么曲线 奎屯 王新敞 新疆 解：直线 PA、PB 的斜率分别是 故此曲线为椭圆 其标准方程为 由题意 , 1 416 164 4 1 44 . 4 , 4 22 22 21 =+=+ = + = + = yx yx x y x y x y k x y k 7等腰梯形的周长为 60，底角为 60 0，问这梯形各边长为多少时，面 积最大？ 解：设等腰梯形的腰长为 x，则有 AE= 2 x ，BE= 2 3x ， . 2 360 2 260 2 2260 xxx AEAB BC = = = 等腰梯形 ABCD 的面积=BEAEBCBE ADBC += + )( 2 .)15(225

6、2 3 )30( 2 3 2 3 ) 22 360 ( 2 2 = =+ = x xxx xx 由此可知， 当且仅当x=15时等腰梯形的面积最大 奎屯 王新敞 新疆此时， 腰AB=CD=x=15, 上底 BC=7.5，下底 AD=BC+2AE=22.5 奎屯 王新敞 新疆 8当 k 为何值时，方程组 = = )2(0102 ) 1 (02 kykx yx 有两组相同的解？ 并求出它的解 奎屯 王新敞 新疆 解：由（1） ，x0，y2 奎屯 王新敞 新疆 由（2） ，y=kx-2k-10.代入（1） ，得 B C x A 600 D E 0)122( , )122( 2 =+ += kkxx k

7、kxx 此方程有二等根的条件是判别式为零，即 k 2-4(2k+12)=0,k2-8k-48=0,(k-12)(k+4)=0, k1=12,k2=-4(增根） 当 k=12 时，x=6,y=38. 附加题附加题 9如图所示，半圆 O 的直径为 2，A 为半圆直径的延长线上的一点， 且 OA=2，B 为半圆上任一点，以 AB 为边作等边ABC，问 B 在什么地 方时，四边形 OACB 的面积最大？并求出这个面积的最大值 奎屯 王新敞 新疆 解：四边形 OACB 的面积 =OAB 的面积+ABC 的面 积 设AOB=， 则 OAB 的面积 = = sinsin12 2 1 sin 2 1 OBOA

8、 ABC 的面积 C B A O )cos45( 4 3 )cos2( 4 3 4 3 60sin 2 1 22 2 = += = OAOBOAOB ABACAB 四边形 OACB 的面积 当-60 0=900，即=1500时，四边形 OACB 的面积最大，其最大面 积为. 2 4 35 + 10已知曲线 y=x 2-2x+3 与直线 y=x+3 相交于点 P（0，3） 、Q（3，6） 两点， （1）分别求出曲线在交点的切线的斜率; （2）求出曲线与直线所围成的图形的面积 奎屯 王新敞 新疆 解： （1）y=x 2-2x+3， y=2x-2, 过点（0，3）的切线斜率 k1=y|x=0=-2 奎屯 王新敞 新疆 过点（3，6）的切线斜率 k1=y|x=3=4 奎屯 王新敞 新疆 （2） 设所求的带阴影的图形的面积为 S 奎屯 王新敞 新疆则 S 为梯形 OAQP 的面积 与曲边梯形 OAQP 的面积的差 奎屯 王新敞 新疆 而梯形 OAQP 的面积. 2 27 )( 2 1 =+=OAAQOP 曲边梯形 OAQP 的面积9)3 3 1 ()32( 3 0 3 0 232 =+=+=xxxdxxx . 5 . 49 2 27 =S Y 6 Q P O 3 A X )60sin(2 4 35 cos3sin 4 35 += +=