1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案（理）.pdf

1、 1999 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.满分 150 分.考试时间 120 分 钟. 第第 I 卷卷（选择题共（选择题共 60 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 14 小题；第小题；第 110 题每小题题每小题 4 分，第分，第 1114 题每小题题每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 1.如图，I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集

2、，则阴 影部分所表示的集合是 ( ) (A) （MP）S (B) （MP）S (C) （MP）S (D) （MP）S 2.已知映射f：BA，其中，集合 ,4 , 3 , 2 , 1 , 1, 2, 3=A集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象， 且对任意的,Aa 在 B 中和它对应的元素是a，则集合 B 中元素的个数是 ( ) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 3. 若函数( )xfy =的反函数是( )( )0,=abbafxgy，则( )bg等于 ( ) (A) a (B) 1 a (C) b (D) 1 b 4. 函 数( )()()0sin+=xMxf在 区 间ba,上

3、 是 增 函 数 ， 且 ( )( ),MbfMxf=则函数( )()+=xMxgcos在ba,上 ( ) (A) 是增函数 (B) 是减函数 (C) 可以取得最大值 M (D) 可以取得最小值M 5.若( )xxfsin是周期为的奇函数，则( )xf可以是 ( ) (A) xsin (B) xcos (C) x2sin (D) x2cos 6.在极坐标系中，曲线 = 3 sin4 关于 ( ) (A) 直线 3 =轴对称 (B) 直线 6 5 =轴对称 (C) 点 3 , 2 中心对称 (D) 极点中心对称 7.若干毫升水倒入底面半径为cm2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm6，若将这 些

4、水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 ( ) (A) cm36 (B) cm6 (C) cm 3 182 (D) cm 3 123 8.若(),32 4 4 3 3 2 210 4 xaxaxaxaax+=+则()()2 31 2 420 aaaaa+的值 为 ( ) (A) 1 (B) 1 (C) 0 (D) 2 9.直线0323=+ yx截圆4 22 =+ yx得的劣弧所对的圆心角为 ( ) (A) 6 (B) 4 (C) 3 (D) 2 10.如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边 长为 3 的正方形，EFAB，EF 2 3 =，EF 与面 AC 的距

5、离 为 2，则该多面体的体积为 ( ) (A) 2 9 (B) 5 (C) 6 (D) 2 15 11.若, 22 sin ctgtg则 ( ) (A) 4 , 2 (B) 0 , 4 (C) 4 , 0 (D) 2 , 4 12.如果圆台的上底面半径为 5，下底面半径为 R，中截面把圆台分为上、下两个圆台， 它们的侧面积的比为 1：2，那么 R= ( ) (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25 13.已知两点, 4 5 , 4, 4 5 , 1 NM给出下列曲线方程： 0124=+yx 3 22 =+ yx 1 2 2 2 =+ y x 1 2 2 2 = y x 在曲线上存

6、在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 ( ) (A) (B) (C) (D) 14.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件 和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式共有 ( ) (A) 5 种 (B) 6 种 (C) 7 种 (D) 8 种 第第 II 卷卷（非选择题共（非选择题共 90 分）分） 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题；每小题小题；每小题 4 分，共分，共 16 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上. 15.设椭圆()01 2 2 2 2 =+ba b y a

7、 x 的右焦点为 1 F，右准线为 1 l，若过 1 F且垂直于x轴的 弦长等于点 1 F到 1 l的距离，则椭圆的率心率是_ 奎屯 王新敞 新疆 16.在一块并排 10 垄的田地中，选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物，每种作物种植一 垄，为有利于作物生长，要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则不同的选垄方法共有 _种（用数字作答） 奎屯 王新敞 新疆 17.若正数a、b满足, 3+=baab则ab的取值范围是_ 奎屯 王新敞 新疆 18.、 是两个不同的平面，m、n是平面及 之外的两条不同直线，给出四 个论断： mn n m 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认

8、为正确的一个 命题： _ 奎屯 王新敞 新疆 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题；共小题；共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分 10 分） 解不等式()1, 01log22log3aaxx aa 20.（本小题满分 12 分） 设复数.sin2cos3+=iz求函数 = 2 0arg zy的最大值以及对应的 值. 21.（本小题满分 12 分） 如图，已知正四棱柱 1111 DCBAABCD ，点E在棱DD1上，截面EACBD1， 且面EAC与底面ABCD所成的角为.,45aAB = .求截面EAC

9、的面积； .求异面直线 11B A与 AC 之间的距离； .求三棱锥EACB 1 的体积. 22.（本小题满分 12 分） 右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对 轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减 薄后输出. .输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过 0 r.问冷 轧机至少需要安装多少对轧辊？ （一对轧辊减薄率 输入该对的带钢厚度 从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度 = ） .已知一台冷轧机共有 4 对减薄率为 20%的轧辊， 所有轧辊周长均为 1600.mm若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距 为. k

10、 L为了便于检修，请计算 1 L、 2 L、 3 L并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且 不考虑损耗）. 轧锟序号k 1 2 3 4 疵点间距 k L（单位：mm） 1600 23.（本小题满分 14 分） 已知函数( )xfy =的图像是自原点出发的一条折线，当(), 2 , 1 , 01=+nnyn 时，该图像是斜率为 n b的线段（其中正常数1b） ，设数列 n x由()(), 2 , 1=nnxf n 定义. .求 1 x、 2 x和 n x的表达式； .求( )xf的表达式，并写出其定义域； .证明：( )xfy =的图像与xy =的图像没有横坐标大于 1 的交点. 24.（本小

11、题满分 14 分） 如 图 ， 给 出 定 点()()00 ,aaA和 直 线 Bxl. 1:=是直线l上的动点，BOA的角平分线 交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示 的曲线类型与a值的关系. 1999 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（理工农医类）参考解答 一、选择题（本题考查基础知识和基础运算）一、选择题（本题考查基础知识和基础运算）. 1. C 2. A 3. A 4. C 5. B 6. B 7. B 8. A 9. C 10. D 11.B 12. D 13.D 14. C 二、填空题（本题考查基本知识和基本运算）二、填空题（本题考查

12、基本知识和基本运算）. 15. 2 1 16. 12 17. )+, 9 18. nmnm,或nmnm, 三、解答题三、解答题 19. 本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考 查分类讨论的思想. 解：原不等式等价于 () . 01log2 ,1log22log3 , 02log3 2 x xx x a aa a 由得, 3 2 logx a 由得, 4 3 logx a 或1logx a ， 由得. 2 1 logx a 由此得, 4 3 log 3 2 x a 或. 1logx a 当1a时得所求的解是 axxaxax | 4 3 3 2 ； 当10a时得所求

13、的解是 .0| 3 2 4 3 axxaxax 20.本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所 学数学知识解决问题的能力. 解：由 2 0 得. 0tg 由sin2cos3iz+=得 2 arg0 z及 (). 3 2 cos3 sin2 arg tgtg=z 故 ()zyarg=tgtg 2 3 2 1 3 2 tg tgtg + = , 2 3 1 tg tg + = 因为,622 3 + tg tg 所以. 12 6 2 3 1 + tg tg 当且仅当 = 2 02 3 tg tg 时，即 2 6 =tg时，上式取等号. 所以当 2 6 arctg=时，

14、函数ytg取得最大值. 12 6 由zyarg=得. 2 , 2 y由于在 2 , 2 内正切函数是递增函数，函数y 也取最大值. 12 6 arctg 21.本小题主要考查空间线面关系、 二面角和距离的概 念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力. . 解：如图，连结 BD 交 AC 于 O，连结 EO 因为底面 ABCD 是正方形， 所以 DOAC 又因为 ED底面 AC， 因为 EOAC 所以EOD 是面 EAC 与底面 AC 所成二面角的平面角. 所以， 45=EOD .45sec 2 2 ,2, 2 2 aaEOaACaDO= 故. 2 2 2 aS EAC = II. 解：由题设

15、1111 DCBAABCD 是正四棱柱，得AA1底面 AC，AA1AC， 又AA1, 11B A 所以AA1是异面直线 11B A与 AC 间的公垂线. 因为 11B D面 EAC，且面BDD1与面 EAC 交线为 EO 所以 11B DEO 又 O 是 DB 的中点， 所以 E 是DD1的中点， 11B D=2EO =2a 所以DD1.2 22 1 aDBBD= 异面直线 11B A与 AC 间的距离为.2a . 解法一：如图，连结 11B D 因为DD1=DB=.2a 所以 11B BDD是正方形， 连结DB1交BD1于 P，交 EO 于 Q 因为DB1BD1，EOBD1， 所以DB1EO

16、 又 ACEO，ACED 所以 AC面 11B BDD， 所以DB1AC， 所以DB1面 EAC. 所以QB1是三棱锥EACB 1 的高. 由 DQ=PQ，得. 2 3 4 3 11 aDBQB= 所以. 4 2 2 3 2 2 3 1 32 1 aaaV EACB = 所以三棱锥EACB 1 的体积是. 4 2 3 a 解法二：连结OB1，则 11 2 EOBAEACB VV = 因为 AO面 11B BDD， 所以 AO 是三棱锥 1 EOBA的高，AO. 2 2 a= 在正方形 11B BDD中，E、O 分别是DD1、DB 的中点（如右图） ，则 . 4 3 2 1 aS EOB = .

17、 4 2 2 2 4 3 3 1 2 32 1 aaaV EACB = 所以三棱锥EACB 1 的体积是. 4 2 3 a 22. 本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法 解决实际问题的能力. .解：厚度为的带钢经过减薄率均为 0 r的n对轧辊后厚度为 ().1 0 n ra 为使输出带钢的厚度不超过，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足 () n ra 0 1 即().1 0 a r n 由于(), 0, 01 0 a r n 对比上式两端取对数，得 ().lg1lg 0 a rn 由于(), 01lg 0 r 所以 () . 1lg lglg 0 r a n

18、因此，至少需要安装不小于 () 0 1lg lglg r a 的整数对轧辊. . 解法一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢 体积为 () k ra 11600宽度(),%20=r其中 而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为 () 4 1raLk宽度. 因宽度相等，且无损耗，由体积相等得 ()= k ra 11600()41raLk (),%20=r 即.8 . 01600 4 = k k L 由此得(),2000 3 mmL = (),2500 2 mmL = ()mmL3125 1= 填表如下 轧锟序号k 1 2 3 4 疵点间距 k L（单位：mm） 3125

19、2500 2000 1600 解法二：第 3 对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与 冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有 (),2 . 011600 3 = L 所以().2000 8 . 0 1600 3 mmL= 同理(),2500 8 . 0 3 2 mm L L= ().3125 8 . 0 2 1 mm L L= 填表如下 轧锟序号k 1 2 3 4 疵点间距 k L（单位：mm） 3125 2500 2000 1600 23.本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推 理和综合的能力. .解：依题意( )00 =f

20、，又由( )1 1 =xf，当10 y时，函数( )xfy =的图像是 斜率为1 0 =b的线段，故由 ( )( ) 1 0 0 1 1 = x fxf 得. 1 1 =x 又由()2 2 =xf，当21 y时，函数( )xfy =的图像是斜率为b的线段，故由 ()( ) b xx xfxf = 12 12 ，即 b xx 1 12 =得. 1 1 2 b x+= 记. 0 0 =x由函数( )xfy =图像中第n段线段的斜率为 1n b，故得 ()() . 1 1 1 = n nn nn b xx xfxf 又()()1, 1 = nxfnxf nn ； 所以 .2 , 1, 1 1 1 =

21、 = n b xx n nn 由此知数列 1 nn xx为等比数列，其首项为 1，公比为. 1 b 因, 1b得 () , 1 1 11 1 1 1 1 1 =+= = = b b b bb xxx n n n k kkn 即. 1 1 1 = b b b x n n . 解：当10 y，从可知, xy =当10 x时，( ). xxf= 当1+nyn时，即当 1+ nn xxx时，由可知 ( )() ().3 , 2 , 1, 1 =+= + nxxxxxbnxf nnn n 为求函数( )xf的定义域，须对 (), 3 , 2 , 1 1 1 1 = = n b b b x n n 进行讨

22、论. 当1b时， 11 1 limlim 1 = = b b b b b x n n n n ； 当10b时， n xn,也趋向于无穷大. 综上，当1b时，( )xfy =的定义域为 1 , 0 b b ； 当10b时，( )xfy =的定义域为)+, 0. . 证法一：首先证明当1b， 1 1 b b x时，恒有( )xxf成立. 用数学归纳法证明： （）由知当1=n时,在( 2 , 1 x上, ( )(),11+=xbxfy 所以( )()()011=bxxxf成立 （）假设kn =时在( 1 , +kk xx上恒有( )xxf成立. 可得 (),1 11+ += kk xkxf 在( 2

23、1,+kk xx上,( )().1 1 1 + + += k k xxbkxf 所以 ( )()xxxbkxxf k k += + + 1 1 1 ()() ()011 11 1 += + + kk k xkxxb也成立. 由()与()知,对所有自然数n在( 1 , +nn xx上都有( )xxf成立. 即 1 1 b b x时,恒有( )xxf. 其次，当1b,仿上述证明,可知当1x时,恒有( )xxf成立. 故函数( )xfy =的图像与xy =的图像没有横坐标大于 1 的交点. 证法二:首先证明当1b, 1 1 b b x时,恒有( )xxf成立. 对任意的, 1 , 1 b b x存在

24、 n x,使 1+ nn xxx，此时有 ( )()()(),1 0 =nxxxxbxfxf n n n 所以( )(). nn xxfxxf 又(), 11 1 1 n n n x bb nxf=+= 所以()0 nn xxf， 所以( )()0 nn xxfxxf， 即有( )xxf成立. 其次，当1b，仿上述证明，可知当1x时，恒有( )xxf成立. 故函数( )xf的图像与xy =的图像没有横坐标大于 1 的交点. 24. 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基 本技能和综合运用数学知识解决问题的能力. 解法一：依题意，记()(), 1R RbbB则直线

25、 OA 和 OB 的方程分别为0=y和 .bxy= 设点()yxC,，则有ax0，由 OC 平分AOB，知点 C 到 OA、OB 距离相等.根据 点到直线的距离公式得 . 1 2 b bxy y + + = 依题设，点 C 在直线 AB 上，故有 (). 1 ax a b y + = 由0ax，得 () . 1 ax ya b + = 将式代入式得 () () () , 11 1 2 2 2 2 2 + = + + ax xya y ax ya y 整理得()(). 0121 222 =+yaaxxay 若0y，则()()()axyaaxxa=+00121 22 ； 若0=y，则=AOBb,

26、0，点 C 的坐标为（0，0） ，满足上式. 综上得点 C 的轨迹方程为 ()()()axyaaxxa=+00121 22 （） 当1=a时， 轨迹方程化为().10 2 =xxy 此时，方程表示抛物线弧段； （）当1a时，轨迹方程化为 ()ax a a y a a a a x = + 01 1 1 1 2 2 2 2 2 所以，当10a时，方程表示椭圆弧段； 当1a时，方程表示双曲线一支的弧段. 解法二：如图，设 D 是l与x轴的交点，过点 C 作 CEx轴，E 是垂足. （）当| BD |0 时，设点 C（x，y） ，则. 0,0yax 由 CEBD 得 ().1a xa y EA DAC

27、E BD+ = = 因为COA=COB =CODBOD =COABOD， 所以 2COA=BOD 所以(), 1 2 2 2 COA COA COA = tg tg tg ()BODBOD=tgtg 因为, x y COA =tg ().1a xa y OD BD BOD+ =tg 所以(),1 1 2 2 2 a xa y x y x y + = 整理得()()().00121 22 axyaaxxa=+ （）当| BD | = 0 时，BOA = ，则点 C 的坐标为（0，0） ，满足上式. 综合（） ， （） ，得点 C 的轨迹方程为 ()()().00121 22 axyaaxxa=+ 以下同解法一.