2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案（理）.pdf

1、 2000 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分第 I 卷 1 至 2 页第 II 卷 3 至 9 页共 150 分考试时间 120 分钟 第卷第卷(选择题共选择题共 60 分分) 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 (1) 设集合 A 和 B 都是自然数集合 N，映射BAf:把集合 A 中的元素n映射

2、到集合 B 中的元素n n +2，则在映射f下，象 20 的原象是 ( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (2) 在复平面内，把复数i 33对应的向量按顺时针方向旋转 3 ，所得向量对应的复 数是 ( ) (A) 23 (B) i 32 (C) i 33 (D) 3i 3+ (3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的 长是 ( ) (A) 23 (B) 32 (C) 6 (D) 6 (4) 已知sinsin，那么下列命题成立的是 ( ) (A) 若、是第一象限角，则coscos (B) 若、是第二象限角，则tgtg (C) 若、是第三象限角，

3、则coscos (D) 若、是第四象限角，则tgtg (5) 函数xxycos=的部分图像是 ( ) (6)中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的 部分不必纳税，超过 800 元的部分为全月应纳税所得额此项税款按下表分段累进计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过 500 元的部分 5% 超过 500 元至 2000 元的部分 10% 超过 2000 元至 5000 元的部分 15% 某人一月份应交纳此项税款 26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( ) (A) 800900 元 (B) 9001200 元 (C) 12001500 元 (D) 150

4、02800 元 (7) 若1ba，P=ba lglg ，Q=()balglg 2 1 +，R= + 2 lg ba ，则 ( ) (A) RPQ (B) PQ R (C) Q PR (D) P RQ (8) 以极坐标系中的点()1 , 1为圆心，1 为半径的圆的方程是 ( ) (A) = 4 cos2 (B) = 4 sin2 (C) ()1cos2= (D) ()1sin2= (9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( ) (A) 2 21+ (B) 4 41+ (C) 21+ (D) 2 41+ (10) 过原点的直线与圆034 22 =+xyx相切，若切

5、点在第三象限，则该直线的方程 是 ( ) (A) xy3= (B) xy3= (C) xy 3 3 = (D) xy 3 3 = (11) 过抛物线()0 2 =aaxy的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是p、q，则 qp 11 +等于 ( ) (A) a2 (B) a2 1 (C) a4 (D) a 4 (12) 如图，OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线，OA 绕轴旋 转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹 角为 ( ) (A) 3 2 1 arccos (B) 2 1 arccos (C) 2 1 arccos (D) 4

6、2 1 arccos 第第 II 卷卷(非选择题共非选择题共 90 分分) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分把答案填在题中横线分把答案填在题中横线 (13) 乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛3 名主力队员要安排 在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共 有_种(用数字作答) 奎屯 王新敞 新疆 (14) 椭圆1 49 22 =+ yx 的焦点为 1 F、 2 F，点 P 为其上的动点，当 21PF F为钝角时，点 P 横坐标的取值范围是_ 奎屯 王新敞

7、 新疆 (15) 设 n a是首项为 1 的正项数列， 且()01 1 22 1 =+ +nnnn aanaan(n=1， 2， 3， )， 则它的通项公式是 n a=_ 奎屯 王新敞 新疆 (16) 如图，E、F 分别为正方体的面 11A ADD、面 11B BCC的中心， 则四边形EBFD1在该正方体的面上的射 影可能是_(要求：把可能的图的序号都 填上) 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7474 分，解答应写出文字说明分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分 12 分) 已知函数1cossin 2 3 co

8、s 2 1 2 +=xxxy，R Rx (I) 当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； (II) 该函数的图像可由()R=xxysin的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (18) (本小题满分 12 分) 如图， 已知平行六面体 ABCD- 1111 DCBA的底面 ABCD 是 菱形，且CBC1=CDC1=BCD= 60 (I) 证明：CC1BD； (II) 假定 CD=2， 1 CC= 2 3 ，记面BDC1为，面 CBD 为 ，求二面角 BD的平面角的余弦值； (III) 当 1 CC CD 的值为多少时，能使CA1平面BDC1？请给出证明 (19) (本小题满分 12 分) 设函数

9、( )axxxf+=1 2 ，其中0a (I) 解不等式( )1xf； (II) 求a的取值范围，使函数( )xf在区间)+, 0上是单调函数 C1 CD A B D1 B1 A1 (20) (本小题满分 12 分) (I) 已知数列 n c，其中 nn n c32 +=，且数列 nn pcc +1 为等比数列，求常数p； (II) 设 n a、 n b是公比不相等的两个等比数列， nnn bac+=，证明数列 n c不是等 比数列 (21) (本小题满分 12 分) 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市 场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；

10、西红柿的种植成本与上市时间的关系用 图二的抛物线段表示 () 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P=( )tf； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式 Q=( )tg； () 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/ 2 10kg，时间单位：天) (22) (本小题满分 14 分) 如图，已知梯形 ABCD 中CDAB2=，点 E 分有向线段AC所 成的比为， 双曲线过 C、 D、 E 三点， 且以 A、 B 为焦点 当 4 3 3 2 时，求双曲线离心率e的取值范围 20002000 年普通高等学校招生全国统一考试年普通

11、高等学校招生全国统一考试 数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准 一选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题一选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分分 (1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D 二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 4 分，满分分，满分 1616 分分 (13)252 (14) 5 3 5 3 x (15) n 1 (16) 三三解答题解答题 (17)本

12、小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以 及运算能力满分 12 分 解：() y= 2 1 cos2x 2 3 sinxcosx1 = 4 1 (2cos2x1) 4 1 4 3 (2sinxcosx)1 = 4 1 cos2x 4 3 sin2x 4 5 = 2 1 (cos2x sin 6 sin2x cos 6 ) 4 5 = 2 1 sin(2x 6 ) 4 5 6 分 y 取得最大值必须且只需 2x 6 = 2 2k，kZ， 即 x= 6 k，kZ 所以当函数 y 取得最大值时，自变量 x 的集合为 x|x= 6 k，kZ 8 分 ()将函数 y=sin

13、x 依次进行如下变换： (i)把函数 y=sinx 的图像向左平移 6 ，得到函数 y=sin(x 6 )的图像； (ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 2 1 倍(纵坐标不变)， 得到函数 y=sin(2x 6 ) 的图像； (iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 2 1 倍(纵坐标不变)，得到函数 y= 2 1 sin(2x 6 )的图像； (iv)把得到的图像向上平移 4 5 个单位长度，得到函数 y= 2 1 sin(2x 6 ) 4 5 的图像；综 上得到函数 y= 2 1 cos2x 2 3 sinxcosx1 的图像 12 分 (18)本小题主要考查直线与直线、直

14、线与平面的关系，逻辑推理能力，满分 12 分 ()证明： 连结 A1C1、 AC、 AC 和 BD 交于 O， 连结 C1O 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，BD=CD 又BCC1=DCC1，C1C= C1C， C1BCC1DC C1B=C1D， DO=OB C1OBD， 2 分 但 ACBD，ACC1O=O， BD平面 AC1， 又 C1C平面 AC1 C1CBD 4 分 ()解：由()知 ACBD，C1OBD， C1OC 是二面角BD的平面角 在C1BC 中，BC=2，C1C= 2 3 ，BCC1=60， C1B2=22( 2 3 )222 2 3 cos60= 4 13 6 分 O

15、CB=30， OB= 2 1 BC=1 C1O2= C1B2OB2= 4 9 1 4 13 =， C1O= 2 3 即 C1O= C1C 作 C1HOC，垂足为 H O H G C1 CD A B D1 B1 A1 点 H 是 OC 的中点，且 OH= 2 3 ， 所以 cosC1OC= OC OH 1 = 3 3 8 分 ()当 1 CC CD =1 时，能使 A1C平面 C1BD 证明一： 1 CC CD =1， BC=CD= C1C， 又BCD=C1CB=C1CD， 由此可推得 BD= C1B = C1D 三棱锥 CC1BD 是正三棱锥 10 分 设 A1C 与 C1O 相交于 G A1

16、 C1AC，且 A1 C1OC=21， C1GGO=21 又 C1O 是正三角形 C1BD 的 BD 边上的高和中线， 点 G 是正三角形 C1BD 的中心， CG平面 C1BD 即 A1C平面 C1BD 12 分 证明二： 由()知，BD平面 AC1， A1 C平面 AC1，BDA1 C 10 分 当 1 CC CD =1 时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同 BDA1 C 的证法可得 BC1A1C， 又 BDBC1=B， A1C平面 C1BD 12 分 (19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方 法和运算、推理能力满分 12 分 O H G C1

17、CD A B D1 B1 A1 解：()不等式 f(x) 1 即 1 2 +x1ax， 由此得 11ax，即 ax0，其中常数 a0 所以，原不等式等价于 + . 0 ,)1 (1 22 x axx 即 + . 02) 1( , 0 2 axa x 3 分 所以，当 0a1 时，所给不等式的解集为x|0 2 1 2 a a x ； 当 a1 时，所给不等式的解集为x|x0 6 分 ()在区间0，+上任取 x1、x2，使得 x1x2 f(x1)f(x2)=1 2 1 +x 1 2 2 +xa(x1x2) = 11 2 2 2 1 2 2 2 1 + xx xx a(x1x2) =(x1x2)(

18、11 2 2 2 1 21 + + xx xx a) 8 分 ()当 a1 时 11 2 2 2 1 21 + + xx xx f(x2) 所以，当 a1 时，函数 f(x)在区间), 0 +上是单调递减函数 10 分 (ii)当 0a2pq，又 a1、b1不为零， 因此 2 2 cc1 c3，故cn不是等比数列 12 分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学 知识解决实际问题的能力，满分 12 分 解：()由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)= ;300200,3002 ,2000300 tt tt， 2 分 由图二可得种植成本与时间的函

19、数关系为 g(t)= 200 1 (t150)2100，0t300 4 分 ()设 t 时刻的纯收益为 h(t)，则由题意得 h(t)=f(t)g(t) 即 h(t)= + + 300200 2 1025 2 7 200 1 2000 2 175 2 1 200 1 2 2 ttt ttt ， ， 6 分 当 0t200 时，配方整理得 h(t)= 200 1 (t50)2100， 所以，当 t=50 时，h(t)取得区间0，200上的最大值 100； 当 20087.5 可知，h(t)在区间0,300上可以取得最大值 100，此时 t=50，即从二 月一日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯

20、收益最大 12 分 (22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能 力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分 14 分 解：如图，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，直线 AB 为 x 轴，建立直角坐标系 xoy，则 CD y 轴 因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关于 x 轴对 称 2 分 依题意，记 A(c，0)，C( h c ，h)，E(x0, y0)，其中 c= 2 1 |AB|为双曲线的半焦距，h 是梯 形的高 由定比分点坐标公式得 x0= + + 1 2 c c = ) 1(2 )2( + c ， + = 1 0 h y 设双曲线的方程为1 2 2 2 2 = b y a x ，则离心率 a c e =. 由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 a c e =代入双曲线方程得 1 4 2 22 = b he ， 1 11 2 4 2 2 22 2 = + + b he 7 分 由式得 1 4 2 2 2 = e b h ， 将式代入式，整理得 ()2144 4 2 += e ， 故 2 3 1 2 + = e 10 分 由题设 4 3 3 2 得， 4 3 2 3 1 3 2 2 + e 解得107 e 所以双曲线的离心率的取值范围为107， 14 分