2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（广东卷）(附解答).pdf

1、 2000 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 奎屯 王新敞 新疆第卷 1 至 2 页 奎屯 王新敞 新疆第卷 3 至 8 页 奎屯 王新敞 新疆共 150 分 奎屯 王新敞 新疆考试时间 120 分钟 奎屯 王新敞 新疆 第卷（选择题共 60 分） 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号、考试科目、试卷类型（A 或 B）用铅笔涂写在答题卡上，同时将才生号条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处” 奎屯 王新敞 新疆 2每小题选出答案后，用铅笑把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

2、如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上 奎屯 王新敞 新疆 3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回 奎屯 王新敞 新疆 参考公式： 三角函数的积化和差公式 )cos()cos( 2 1 sinsin )sin()sin( 2 1 sincos )sin()sin( 2 1 cossin += += += 正棱台、圆台的侧面积公式 lS) cc ( 2 1 += 台侧 其中 c 、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长 台体的体积公式 hSSSV)S ( 3 1 += 台体 其中 S 、S分别表示上、下底面积，h表示高 奎屯 王新敞 新疆 一、选择题：本大题共 1

3、2 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 （1）已知集合,43 , 2 , 1 =A，那么A的真子集的个数是： （A）15 （B）16 （C）3 （D）4 （2）在复平面内，把复数i 33对应的向量按顺时钟方向旋转 3 ，所得向量对应的 复数是： （A）23 （B）i 32 （C）3i 3 （D）3+i 3 （3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线 的长是： （A）23 （B）32 （C）6 （D）6 （4）已知sinsin，那么下列命题成立的是 （A）若、是第一象限角，则coscos （B

4、）若、是第二象限角，则tgtg （C）若、是第三象限角，则coscos （D）若、是第四象限角，则tgtg （5）函数xxycos=的部分图象是 （6） 中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的 部分不必纳税，超过 800 元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过 500 元的部分 5% 超过 500 元至 2000 元的部分 10% 超过 2000 元至 5000 元的部分 15% 某人一月份应交纳此项税款 26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于 （A）800900 元 （B）9001200 元 （C）1

5、2001500 元 （D）15002800 元 （7）若ab1， + =+= 2 lg),lg(lg 2 1 ,lglg ba RbaQbaP，则 （A）RPQ （B）PQR （C）QPR （D）PRQ （8）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1 为半径的圆的方程是 （A） = 4 cos2 （B） = 4 sin2 （C）()1cos2= （C）()1sin2= （9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 （A） 2 21+ （B） 4 41+ （C） 21+ （D） 2 41+ （10）过原点的直线与圆 2 x+ 2 y+x4+3=0 相切，若切点在第三象限，则

6、该直线的方程 是 （A）xy3= （B）xy3= （C）xy 3 3 = （D）xy 3 3 = （11）过抛物线)0( 2 aaxy =的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q，则 p 1 + q 1 等于 （A）a2 （B） a2 1 （C）a4 （D） a 4 （12）如图，OA是圆雏底面中心O互母线的垂线，OA绕轴 旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹 角的余弦值为 （A） 3 2 1 （B） 2 1 （C） 2 1 （D） n 2 1 2000 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学 第卷（非选择题共 90

7、 分） 注意事项： 1第卷共 6 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中 奎屯 王新敞 新疆 2答卷前将密封线内的项目填写清楚，并在试卷右上角填上座位号 奎屯 王新敞 新疆 题号 二 三 总分 17 18 19 20 21 22 分数 得分 评卷人 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 （13）乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛，3 名主力队员要安 排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共 有 种（用数字作答） 奎屯 王新敞 新疆 （14）椭圆1 49 2

8、2 =+ yx 的焦点 1 F、 2 F，点P为其上的动点，当 1 FP 2 F为钝角时, 点P横坐标的取值范围是 奎屯 王新敞 新疆 （15） 设 n a是首项为 1 的正项数列， 且 （n+1）0 1 2 2 1 =+ +nnnn aanaa(n=1， 2， 3， )， 则它的通项公式是= n a 奎屯 王新敞 新疆 （16）如图，E、F 分别为正方体面 ADD1A1、面 BCC1B1的中 心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是 奎屯 王新敞 新疆 （要求：把可能的图序号都填上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 奎屯 王

9、新敞 新疆 得分 评卷人 （17） （本小题满分 12 分） 已知函数Rxxxy+=,cossin3 （）当函数取得最大值时，求自变量x的集合； （）该函数的图象可由)(sinRxxy=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 得分 评卷人 （18） （本小题满分 12 分） 设 n a为等比数例， nnn aaannaT+= 121 2) 1(，已知1 1 =T，4 2 =T 奎屯 王新敞 新疆 （）求数列 n a的首项和公式； （）求数列 n T的通项公式 奎屯 王新敞 新疆 得分 评卷人 （19） （本小题满分 12 分） 如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 上菱

10、形，且C1CB=C1CD= BCD， （）证明：C1CBD； （） 当 1 CC CD 的值为多少时， 能使 A1C平面 C1BD？ 请给出证明 奎屯 王新敞 新疆 得分 评卷人 （20） （本小题满分 12 分） 设函数 axxxf+=1)( 2 ，其中0a 奎屯 王新敞 新疆 （）解不等式)(xf1； （）证明：当a1 时，函数)(xf在区间0，+上是单调函数 奎屯 王新敞 新疆 得分 评卷人 （21） （本小题满分 12 分） 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿场售 价与上市时间的关系用图一的一条折线表示； 西红柿的种植成本与上市时间的关系用图

11、二的 抛物线段表示 奎屯 王新敞 新疆 （）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式)(tfp =； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式)(tgQ =； （）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价各种植成本的单位：元/102，时间单位：天） 得分 评卷人 （22） （本小题满分 14 分） 如图， 已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|， 点 E 分有向线段AC所成的比为， 双曲线过 C、 D、E 三点，且以 A、B 为伪点，当 4 3 3 2 时，求双曲线离心率 c 的取值范围 奎屯 王新敞 新疆 2000 年普通高等学校招生全国统一考试（

12、广东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与本解答不局， 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 奎屯 王新敞 新疆 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 奎屯 王新敞 新疆 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 奎屯 王新

13、敞 新疆 四、只给整数分数，选择题和填空不给中间分 奎屯 王新敞 新疆 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分 奎屯 王新敞 新疆 A 型卷答案 （1）A （2）B （3）D （4）D （5）D （6）C （7）B （8） C （9）A （10）C （11）C （12）D B 型卷答案 （1）C （2）B （3）D （4）D （5）D （6）A （7）B （8） A （9）C （10）A （11）A （12）D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分 奎屯 王新敞 新疆 （13）252 （14） 5 3 5 3 x （15） n

14、1 （16） 23 三、解答题 （17） 本小题主要考查三角函数的图象和性质、 利用三角公式进行恒等变形的技能以及 运算能力 奎屯 王新敞 新疆满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 解： （1） += += += 6 sincos 6 cossin2 cos 2 1 sin 2 3 2 cossin3 xx xx xxy Rxx +=, 6 sin2 奎屯 王新敞 新疆 3 分 取得最大值必须且只需 即 ,2 3 ,2 26 Zkkx Zkkx += +=+ 所以，使函数取得最大值的自变量x的集合为 ,2 3 |Zkkxx+= 6 分 （）变换的步骤是： （1）把函数xysin=的图象向左平移,

15、 6 得到 9 分 += 6 sin xy的图象； （2）令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到 += 6 sin2 xy的图象； 经过这样的变换就得到函数xxycossin3+=的图象 奎屯 王新敞 新疆 12 分 （18）本小题主要考查等比数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （）解：设等比数列 n a以比为q，则 )2(2, 121211 qaaaTaT+=+= 奎屯 王新敞 新疆 2 分 4, 1 21 =TT， 2, 1 1 =qa 奎屯 王新敞 新疆 4 分 （）解法一：由（）知2, 1 1 =qa，故 11 1 2 =

16、 nn n qaa, 因此， 12 21222) 1(1 += nn n nnT， 6 分 22- 21 222 - 2222 21222) 1(1 - 21222) 1(2 2 1 12 1 -n2 12 += += += + += = + n n nn n nn nnn n - n -n nn nn TTT 1 2)2( + += n n 奎屯 王新敞 新疆 12 分 解法二：设 nn aaaS+= 21 奎屯 王新敞 新疆 由（）知 1 2 = n n a 奎屯 王新敞 新疆 12 221 1 = += n n n S 6 分 分 分 12 22 21 222 222 121212 10

17、 S )()(a 2) 1( 1 21 121211 121 n n )-n( )-()-()( SS aaaaaa aaannaT n n nn nn n nn nnn = = += += += += += + （19）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （）证明：连结 1 A 1 C、AC和BD交于O，连结OC1 奎屯 王新敞 新疆 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，BC=CD 奎屯 王新敞 新疆 又BC 1 C= 1 DCC，CC1=CC1， DCCBCC 11 ， 1 CB= 1 CD， OBDO = BDOC 1 ， 3

18、分 但OOCACBDAC= 1 ,， BD平面 1 AC 奎屯 王新敞 新疆 又CC1平面 1 AC， CC1BD 奎屯 王新敞 新疆 6 分 （）当1 1 = CC CD 时，能使CA1平面BDC1 奎屯 王新敞 新疆 证明一： 1 1 = CC CD ， CCCDBC 1 =， 又CDCCBCBCD 11 =， 由此可推得DCBCBD 11 = 奎屯 王新敞 新疆 三棱锥BDCC 1 是正三棱锥 奎屯 王新敞 新疆 9 分 设CA1与OC1相交于G 奎屯 王新敞 新疆 ACCA/ 11 ，且 11C A：2=OC：1， GC1：GO=2：1 奎屯 王新敞 新疆 又OC1是正三角形BDC1的

19、BD边上的高和中线， 点G是正三角形BDC1的中心， CG平面BDC1， 即CA1平面BDC1 奎屯 王新敞 新疆 12 分 证明： 由（）知，BC平面 1 AC， CA1平面 1 AC，CABD 1 奎屯 王新敞 新疆 9 分 当1 1 = CC CD 时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同CABD 1 的正法可得CABC 11 奎屯 王新敞 新疆 又BBCBD= 1 ， CA1平面BDC1 奎屯 王新敞 新疆 12 分 （20）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想 方法和运算、推理能力，满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （）解：不等式1)(xf即 ax

20、x+11 2 ， 由此得ax+11，即0ax，其中常数0a 奎屯 王新敞 新疆 所以，原不等式等价于 + . 0 ,)1 (1 22 x axx 即 + 02) 1( , 0 2 axa x 3 分 所以，当10 a时，所给不等式的解集为 1 2 0| 2 a a xx ； 当1a时，所给不等式的解集为0|xx 奎屯 王新敞 新疆 6 分 （）证明：在区间), 0 +上任取 21,x x使得 21 xx 分9 . 11 )( )( 11 )(11)()( 2 2 2 1 21 21 21 2 2 2 1 2 2 2 1 21 2 2 2 121 + + = + = += a xx xx xx

21、xxa xx xx xxaxxxfxf 1a, 1 11 2 2 2 1 21 + + 且 xx xx ， 0 11 2 2 2 1 21 a xx xx + + ， 又0 21 xx ， 0)()( 21 xfxf， 即)()( 21 xfxf 奎屯 王新敞 新疆 所以，当1a时，函数)(xf在区间), 0 +上是单调递减函数 奎屯 王新敞 新疆 12 分 （21） 本小题主要考查由函数图建立函数关系式和求函数最大值的问题， 考查运用所学 知识解决实际问题的能力，满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 解： （）由图一可得市场售价与时间的函数关系为 = 300t200 3002 200,t0 ,

22、300 )( t t tf 分2 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 300t0 ,100)150( 20 1 )( 2 +=ttg 奎屯 王新敞 新疆 4 分 （）设t时刻的纯收益为)(th，则由题意得 )(th=)(tf)(tg， 即 )(th= + + 300t200 , 2 1025 2 7 200 1 - 200,t0 , 2 175 2 1 200 1 2 2 tt tt 6 分 当2000t时，配方整理得 )(th=100)50( 200 1 2 +t 奎屯 王新敞 新疆 所以，当50=t时，)(th取得区间0，200上的最大值 100； 当300200t时，配方整理得 )(t

23、h=100)350( 200 1 2 +t， 所以，当300=t时，)(th取得区间（200，300）上的最大值 87.5 10 分 综上，由5 .87100 可知，)(th在区间0，300上可以取得最大值 100，此时50=t， 即 从 二 月 一 日 开 始 的 第50天 时 ， 上 市 的 西 红 柿 纯 收 益 最 大 奎屯 王新敞 新疆 12 分 （22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算 能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分 14 分 奎屯 王新敞 新疆 解：如图，以 AB 的垂直平分线为轴，直线 AB 为x轴，建立直角坐标系xO，则 CD

24、轴 奎屯 王新敞 新疆 因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关于轴对 称，2 分 依题意，记(),(,),0 ,( 002 yxEhCcA c ，其中| 2 1 ABc =为双曲线的半焦距，h是梯 形的高，由定比分点坐标公式得 . 1 , ) 1(2 )2( 1 0 2 0 + = + = + + = h cc x c 设双曲线的方程为1 2 2 2 2 = b y a x ，则离心率 a c e =，由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 坐标和 a c e =代入双曲线的方程，得 1 4 2 22 = b he ， 1 1 11 2 4 2 2 22 2 = + + b he . 2 7 分 由1 式得1 4 2 2 2 = e b h ， 3 将3 式代入2 式，整理得 21)44( 4 2 += e ， 故 2 3 1 2 + = e 10 分 由题设 4 3 3 2 得， 4 3 2 3 1 3 2 2 + e 奎屯 王新敞 新疆 解得107 e， 所以，双曲线的离心率的取值范围为10,7， 14 分