2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案（理）.pdf

1、 20012001 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第卷 1 至 2 页第卷 3 至 8 页共 150 分考试时间 120 分钟 第第卷卷( (选择题共选择题共 6060 分分) ) 注意事项：注意事项： 1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回 参考公式： 三角函数的积化和差公式 ()()+=si

2、nsin 2 1 cossina ()()+=sinsin 2 1 sincosa ()()+=coscos 2 1 coscosa ()()+=coscos 2 1 sinsina 正棱台、圆台的侧面积公式 S台侧lcc)( 2 1 += 其中 c、 c 分别表示上、 下底面周长， l 表示斜高或母线长 台体的体积公式 V台体hSSSS)( 3 1 += 一一. .选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 (1) 若

3、sinicos0，则 在 ( ) (A) 第一、二象限 (B) 第一、三象限 (C) 第一、四象限 (D) 第二、四象限 (2) 过点 A (1，1)、B (1，1)且圆心在直线 xy2 = 0 上的圆的方程是 ( ) (A) (x3) 2(y1) 2 = 4 (B) (x3) 2(y1) 2 = 4 (C) (x1) 2(y1) 2 = 4 (D) (x1) 2(y1) 2 = 4 (3) 设an是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (4) 若定义在区间(1，0)的函数 f (x) = log2a(x1)

4、满足 f (x)0，则 a 的取值范围是 ( ) (A)( 2 1 0，) (B) 2 1 0， (C) ( 2 1 ，) (D) (0，) (5) 极坐标方程) 4 sin(2 +=的图形是 ( ) (6) 函数 y = cos x1(x0)的反函数是 ( ) (A) y =arc cos (x1)(0x2) (B) y = arc cos (x1)(0x2) (C) y = arc cos (x1)(0x2) (D) y = arc cos (x1)(0x2) (7) 若椭圆经过原点，且焦点为 F1 (1，0) F2 (3，0)，则其离心率为 ( ) (A) 4 3 (B) 3 2 (C)

5、 2 1 (D) 4 1 (8) 若 0 4 ，sin cos = ，sin cos = b，则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab1 (D) ab2 (9) 在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 1 2BBAB =，则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为 ( ) (A) 60 (B) 90 (C) 105 (D) 75 (10) 设 f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题： 若 f (x)单调递增，g (x)单调递增，则 f (x)g (x)单调递增； 若 f (x)单调递增，g (x)单调递减，则 f (x)g (x)单调递增； 若 f (x)单调递减，g (x

6、)单调递增，则 f (x)g (x)单调递减； 若 f (x)单调递减，g (x)单调递减，则 f (x)g (x)单调递减 其中，正确的命题是 ( ) (A) (B) (C) (D) (11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法： 单向倾斜； 双向倾斜； 四向倾斜 记 三种盖法屋顶面积分别为 P1、P2、P3 若屋顶斜面与水平面所成的角都是 ，则 ( ) (A) P3P2P1 (B) P3P2 = P1 (C) P3 = P2P1 (D) P3 = P2 = P1 (12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示 它们有网线相联连线标注的数字表示该段网线单位时间内可 以通过的最大信息

7、量现从结点 A 向结点 B 传递信息，信息可 以分开沿不同的路线同时传递则单位时间内传递的最大信息量为 ( ) (A) 26 (B) 24 (C) 20 (D) 19 第第卷卷( (非选择题共非选择题共 9090 分分) ) 注意事项：注意事项： 1.第卷共 6 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚 二二. .填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上 (13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 奎屯 王新敞 新疆 (14)双曲线1 169

8、22 = yx 的两个焦点为 F1、F2，点 P 在双曲线上若 PF1PF2，则点 P 到 x 轴的距离为 奎屯 王新敞 新疆 (15)设an是公比为 q 的等比数列，Sn是它的前 n 项和若Sn是等差数列，则 q = 奎屯 王新敞 新疆 (16)圆周上有 2n 个等分点(n1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 奎屯 王新敞 新疆 三三. .解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分 12 分) 如图， 在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中， ABC = 90 ，

9、 SA面 ABCD，SA = AB = BC = 1， 2 1 =AD ()求四棱锥 SABCD 的体积； ()求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值 (18) (本小题满分 12 分) 已知复数 z1 = i (1i) 3 ()求 arg z1及 1 z； ()当复数 z 满足 1 z=1，求 1 zz 的最大值 (19) (本小题满分 12 分) 设抛物线 y2 =2px (p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛 物线的准线上，且 BCx 轴证明直线 AC 经过原点 O (20) (本小题满分 12 分) 已知 i，m，n 是正整数，且 1i

10、mn ()证明 i n ii m i PmPn； ()证明(1m) n (1n) m (21) (本小题满分 12 分) 从社会效益和经济效益出发， 某地投入资金进行生态环境建设， 并以此发展旅游产业 根 据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 5 1 本年度当地旅游业收入估计 为 400 万元， 由于该项建设对旅游业的促进作用， 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 4 1 ()设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an万元，旅游业总收入为 bn万元写出 an，bn 的表达式； ()至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ (22) (本小题满分 14 分) 设 f

11、(x) 是定义在 R 上的偶函数，其图像关于直线 x = 1 对称对任意 x1，x20， 2 1 都有 f (x1x2) = f (x1) f (x2)且 f (1) = a0 ()求 f ( 2 1 ) 及 f ( 4 1 )； ()证明 f (x) 是周期函数； ()记 an = f (2n n2 1 )，求() n n alnlim 20012001 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（理工数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准农医类）参考解答及评分标准 说明：说明： 一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力， 并给出了一种或几种解法供参考， 如

12、 果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细 则 二. 对计算题， 当考生的解答在某一步出现错误时， 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四. 只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一一. .选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分分，满分 60 分分 （1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）C

13、（8）A （9）B （10）C （11）D （12）D 二二. .填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分分，满分 16 分分 （13）2 （14） 5 16 （15）1 （16）2n (n1) 三三. .解答题：解答题： （17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力满分 12 分 解： （）直角梯形 ABCD 的面积是 M底面() 4 3 1 2 5 . 01 2 1 = + =+=ABADBC， 2 分 四棱锥 SABCD 的体积是 =SAV 3 1 M底面 4 3 1 3 1 = 4 1 = 4 分 （）延

14、长 BA、CD 相交于点 E，连结 SE 则 SE 是所求二面角的棱 6 分 ADBC，BC = 2AD， EA = AB = SA， SESB， SA面 ABCD，得 SEB面 EBC，EB 是交线， 又 BCEB， BC面 SEB， 故 SB 是 CS 在面 SEB 上的射影， CSSE， 所以BSC 是所求二面角的平面角 10 分 22 ABSASB+=2=，BC =1，BCSB， tanBSC = 2 2 = SB BC 即所求二面角的正切值为 2 2 12 分 （18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力满分 12 分 解： （）z1 = i (1i) 3

15、= 22i， 将 z1化为三角形式，得 += 4 7 sin 4 7 cos22 1 iz， 4 7 arg 1 =z，22 1 =z 6 分 （）设 z = cos i sin ，则 zz1 = ( cos 2)(sin 2) i， ()()2 2 2 1 2sin2cos+=zz sin249+=( 4 )， 9 分 当 sin( 4 ) = 1 时， 2 1 zz 取得最大值249+ 从而得到 1 zz 的最大值为122+ 12 分 （19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能 力满分 12 分 证明一：因为抛物线 y2 =2px (p0)的焦点为 F (

16、 2 p ，0)，所以经过点 F 的直线的方程可 设为 2 p myx+=； 4 分 代入抛物线方程得 y2 2pmyp2 = 0， 若记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1，y2是该方程的两个根，所以 y1y2 = p2 8 分 因为 BCx 轴，且点 c 在准线 x = 2 p 上，所以点 c 的坐标为（ 2 p ，y2） ，故直线 CO 的斜率为 1 1 1 2 2 2 x y y p p y k= = 即 k 也是直线 OA 的斜率，所以直线 AC 经过原点 O 12 分 证明二：如图，记 x 轴与抛物线准线 l 的交点为 E，过 A 作 ADl，D 是垂足则 ADFEBC

17、2 分 连结 AC，与 EF 相交于点 N，则 AB BF AC CN AD EN =， ， AB AF BC NF = 6 分 根据抛物线的几何性质，ADAF =， BCBF =， 8 分 NF AB BCAF AB BFAD EN= = =， 即点 N 是 EF 的中点，与抛物线的顶点 O 重合，所以直线 AC 经过原点 O 12 分 （20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力满分 12 分 （）证明： 对于 1im 有 i m p= m(mi1)， = m m m m m p i i m 1 m im1+ ， 同理 = n n n n n p i i n 1

18、 n in1+ ， 4 分 由于 mn，对整数 k = 1，2，i1，有 m km n kn ， 所以 i i m i i n m p n p ，即 i m ii n i pnpm 6 分 （）证明由二项式定理有 () i n n i i n Cmm = =+ 0 1， () i m m i i m Cnn = =+ 0 1， 8 分 由 ()知 i n i pm i m i pn(1imn， 而 ! i p C i mi m =， ! i p C i ni n =， 10 分 所以， i m ii n i CnCm(1imn 因此， = m i i m i m i i n i CnCm 22

19、 又 1 0000 = mn CnCm，mnnCmC mn = 11 ，()nimCm i n i 0 = m i i m i n i i n i CnCm 00 即 (1m)n(1n)m 12 分 （21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用 数学知识解决实际问题的能力满分 12 分 解： （）第 1 年投入为 800 万元，第 2 年投入为 800（1 5 1 ）万元，第 n 年 投入为 800（1 5 1 ）n 1 万元 所以，n 年内的总投入为 an = 800800（1 5 1 ）800（1 5 1 ）n 1 = = n k k 1 1 ) 5 1

20、1 (800 = 40001( 5 4 )n； 3 分 第 1 年旅游业收入为 400 万元，第 2 年旅游业收入为 400（1 4 1 ）万元，第 n 年旅游业收入为 400（1 4 1 ）n 1 万元 所以，n 年内的旅游业总收入为 bn = 400400（1 4 1 ）400（1 4 1 ）n 1 = = n k k 1 1 ) 4 5 (400 = 1600 ( 5 4 )n1 6 分 （）设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 bnan0， 即 1600（ 4 5 ）n 140001（ 5 4 ）n0 化简得 5（ 5 4 ）n2（ 5 4 ）n 70， 9 分 设=x

21、（ 5 4 ）n，代入上式得 5x27x20， 解此不等式，得 5 2 x，x1(舍去) 即 （ 5 4 ）n 5 2 ， 由此得 n5 答：至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入 12 分 （22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础 知识；考查运算能力和逻辑思维能力满分 14 分 （）解：因为对 x1，x20， 2 1 ，都有 f (x1x2) = f (x1) f (x2)，所以 =)(xff ( 2 x ) f ( 2 x )0，x0，1 =) 1 (ff ( 2 1 2 1 +) = f ( 2 1 ) f ( 2 1 ) = f ( 2 1

22、)2， f ( 2 1 )=f ( 4 1 4 1 +) = f ( 4 1 ) f ( 4 1 ) = f ( 4 1 )2 3 分 0) 1 (= af， f ( 2 1 ) 2 1 a=，f ( 4 1 ) 4 1 a= 6 分 （）证明：依题设 y = f (x)关于直线 x = 1 对称， 故 f (x) = f (11x)， 即 f (x) = f (2x)，xR 8 分 又由 f (x)是偶函数知 f (x) = f (x) ，xR， f (x) = f (2x) ，xR， 将上式中x 以 x 代换，得 f (x) = f (x2)，xR 这表明 f (x)是 R 上的周期函数，

23、且 2 是它的一个周期 10 分 （）解：由（）知 f (x)0，x0，1 f ( 2 1 )= f (n n2 1 ) = f ( n2 1 （n1） n2 1 ) = f ( n2 1 ) f (（n1） n2 1 ) = f ( n2 1 ) f ( n2 1 ) f ( n2 1 ) = f ( n2 1 )n， f ( 2 1 ) = 2 1 a， f ( n2 1 ) = n a 2 1 f (x)的一个周期是 2， f (2n n2 1 ) = f ( n2 1 )，因此 an = n a 2 1 ， 12 分 () = n n n alimlnlim(a n ln 2 1 ) = 0 14 分